Esercizi su Funzioni goniometriche

Determinare l'ampiezza, il periodo e il primo zero positivo della funzione $\displaystyle { f(x)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1 }$.

Fornire i valori numerici con adeguata approssimazione.

Per la funzione $\displaystyle { y=3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+1 }$ determina l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento (direzione e valore) e la traslazione verticale.

Motiva brevemente come si ricavano questi valori dai parametri della funzione.

In un triangolo rettangolo l'angolo acuto $\displaystyle { \alpha }$ vale $\displaystyle { 37^\circ }$ e il cateto adiacente a $\displaystyle { \alpha }$ misura $\displaystyle { 10\,\text{cm} }$.

Calcola l'ipotenusa con cifre significative coerenti.

Dimostra l'identità trigonometrica $\displaystyle { \tan^2 x+1=\sec^2 x }$ per ogni angolo $\displaystyle { x }$ per cui le espressioni sono definite.

Mostra i passi algebrici che portano da un membro all'altro.

Risolvi nell'intervallo $\displaystyle { [0,2\pi) }$ l'equazione $\displaystyle { \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} }$.

Scrivi tutte le soluzioni nell'intervallo specificato.

Risolvi l'equazione $\displaystyle { \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} }$ per $\displaystyle { x\in[0,2\pi) }$.

Indica tutte le soluzioni nell'intervallo richiesto.

Risolvi l'equazione $\displaystyle { \cos x=\dfrac{1}{2} }$ nel campo $\displaystyle { [0,2\pi) }$.

Scrivi tutte le soluzioni nell'intervallo richiesto.

Risolvi l'equazione $\displaystyle { 2\sin x-1=0 }$ nell'intervallo $\displaystyle { [-\pi,\pi] }$.

Indica tutte le soluzioni nell'intervallo chiuso dato.

Risolvi nell'intervallo $\displaystyle { [0,2\pi) }$ l'equazione

$\displaystyle { \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} }$

In un triangolo rettangolo l'angolo acuto misura $\displaystyle { 30^\circ }$.

L'ipotenusa misura $\displaystyle { 10.0\ \mathrm{cm} }$.

Calcola il cateto opposto e il cateto adiacente all'angolo di $\displaystyle { 30^\circ }$.

Determina il valore massimo di $\displaystyle { g(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x }$ e gli argomenti in cui tale massimo si realizza.

Esplicita la soluzione usando la forma $\displaystyle { R\sin(x+\varphi) }$ o analoghe trasformazioni.

Per la funzione $\displaystyle { y=3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+1 }$ determina l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento verso destra e lo spostamento verticale.

Scrivi i valori corrispondenti.

Risolvi nell'insieme dei numeri reali l'equazione

$\displaystyle { 2\cos^2 x-1=0 }$

Calcola $\displaystyle { \sin\left(50^\circ\right)+\sin\left(10^\circ\right) }$ usando la formula somma-in-prodotto e fornisci l'approssimazione a tre cifre significative.

Calcola il valore esatto di $\displaystyle { \sin 75^\circ }$ usando identità goniometriche.

Mostra i passaggi necessari per ottenere una forma con radici quadrate.

Calcola i valori esatti delle seguenti espressioni.

$\displaystyle { \cos 150^\circ }$

$\displaystyle { \sin(-30^\circ) }$

$\displaystyle { \tan 225^\circ }$

Calcola i valori esatti di $\displaystyle { \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) }$ e di $\displaystyle { \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) }$.

Usa le proprietà di parità e la simmetria del cerchio goniometrico.

Calcola il valore di $\displaystyle { \sin 30^\circ }$ e di $\displaystyle { \cos 30^\circ }$.

Verifica che $\displaystyle { \tan 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} }$ confrontando i valori ottenuti.

Calcola esattamente $\displaystyle { \sin\left(75^\circ\right) }$.

Mostra i passaggi usando formule goniometriche elementari.

Dimostra l'identità

$\displaystyle { 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} }$

per ogni $\displaystyle { x }$ tale che $\displaystyle { \cos x\neq 0 }$