Esercizi su Forme hermitiane

Sia $\displaystyle { M=\begin{pmatrix}3 & 1+i\\[4pt]1-i & 2\end{pmatrix} }$ una matrice Hermitiana su $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Determinare gli autovalori di $\displaystyle { M }$.

Sia $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}3 & 1+i \\ 1-i & 3\end{pmatrix} }$.

Trovare gli autovalori di $\displaystyle { A }$ e una matrice unitaria $\displaystyle { U }$ le cui colonne siano autovettori ortonormali tali che $\displaystyle { U^*AU }$ sia diagonale.

Prendere la matrice hermitiana $\displaystyle { C=\begin{pmatrix}0&1+i\\1-i&0\end{pmatrix} }$.

Determinare gli autovalori di $\displaystyle { C }$ e la firma (numero di autovalori positivi, negativi e zeri).

Considerare la matrice Hermitiana $\displaystyle { N=\begin{pmatrix}2 & 1+i\\[4pt]1-i & 2\end{pmatrix} }$.

Calcolare gli autovalori di $\displaystyle { N }$ e fornire la loro espressione esatta.

Considerare la matrice hermitiana $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}4&1+i\\1-i&3\end{pmatrix} }$.

Determinare gli autovalori di $\displaystyle { A }$ e stabilire se la forma hermitiana associata è definita positiva.

Sia la forma hermitiana rappresentata dalla matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}1 & i \\ -i & 2\end{pmatrix} }$ nella base canonica di $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Si consideri la nuova base formata dai vettori $\displaystyle { u_1=\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix} }$ e $\displaystyle { u_2=\begin{pmatrix}i\\ 1\end{pmatrix} }$.

Calcolare la matrice $\displaystyle { A' }$ della stessa forma nella base $\displaystyle { \{u_1,u_2\} }$ usando la relazione $\displaystyle { A'=P^{\dagger}AP }$ dove le colonne di $\displaystyle { P }$ sono le coordinate dei vettori della nuova base nella base canonica.

Data la matrice hermitiana $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & i \\ -i & 1\end{pmatrix} }$ e la matrice di cambio di base $\displaystyle { P=\begin{pmatrix}1 & i \\ 0 & 1\end{pmatrix} }$, calcolare la matrice della forma nella nuova base usando la regola $\displaystyle { A'=P^*AP }$.

Determinare se la matrice hermitiana $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1+i \\ 1-i & 3\end{pmatrix} }$ è definita positiva applicando il criterio dei minori principali.

Sia $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}4 & 1+i \\ 1-i & 2\end{pmatrix} }$ matrice hermitiana su $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Determinare se la forma associata è definita positiva sullo spazio, verificando i minori principali e calcolando gli autovalori.

Sia $\displaystyle { F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix} }$ una matrice Hermitiana su $\displaystyle { \mathbb{C}^3 }$.

Determinare la firma della forma associata, cioè il numero di autovalori positivi, negativi e nulli.

Si consideri la forma sesquilineare $\displaystyle { \Phi(z,w)=2\overline{z_1}w_1+(1+i)\overline{z_1}w_2+(1-i)\overline{z_2}w_1+3\overline{z_2}w_2 }$ su $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Determinare la matrice $\displaystyle { A }$ che rappresenta $\displaystyle { \Phi }$ nella base canonica.

Sia data la forma hermitiana rappresentata nella base standard da $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix} }$.

Considerare la nuova base $\displaystyle { f_1=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\ f_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} }$ e calcolare la matrice della forma nella base $\displaystyle { \{f_1,f_2\} }$.

Nello spazio euclideo complesso $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$ con prodotto scalare standard $\displaystyle { \langle x,y\rangle=x^*y }$ considerare i vettori $\displaystyle { v_1=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} }$ e $\displaystyle { v_2=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix} }$.

Applicare il procedimento di Gram–Schmidt per ottenere una base ortonormale $\displaystyle { \{u_1,u_2\} }$.

Nello spazio $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$ con prodotto scalare standard $\displaystyle { \langle x,y\rangle=x^{\dagger}y }$ considerare i vettori $\displaystyle { u_1=\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix} }$ e $\displaystyle { u_2=\begin{pmatrix}i\\ 1\end{pmatrix} }$.

Applicare il processo di Gram–Schmidt per ottenere una base ortonormale. Esplicitare i vettori normalizzati.

Data la forma sesquilineare rappresentata dalla matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1+i\\[4pt]1-i & 3\end{pmatrix} }$ su $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Calcolare il valore della forma quadratica $\displaystyle { q(v)=\overline{v}^T A v }$ per $\displaystyle { v=\begin{pmatrix}1+i\\[4pt]1\end{pmatrix} }$.

Sia $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1-i \\ 1+i & 3\end{pmatrix} }$ hermitiana e sia $\displaystyle { v=\begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix} }$.

Calcolare il valore quadratico $\displaystyle { Q(v)=v^*Av }$ e verificare che sia reale.

Sia data la matrice hermitiana $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&3\end{pmatrix} }$ relativa alla forma hermitiana $\displaystyle { H(x,y)=x^*Ay }$ sullo spazio $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Calcolare il valore della forma quadratica $\displaystyle { Q(v)=H(v,v) }$ per $\displaystyle { v=\begin{pmatrix}1+i\\2\end{pmatrix} }$.

Sia la matrice hermitiana $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 3 & i \\ 0 & -i & 1\end{pmatrix} }$ e il vettore $\displaystyle { v=\begin{pmatrix}1\\ 2i\\ -1+i\end{pmatrix} }$ in $\displaystyle { \mathbb{C}^3 }$.

Calcolare il valore della forma hermitiana $\displaystyle { q(v)=v^{\dagger}Av }$.

Verificare che la forma sesquilineare $\displaystyle { \phi:\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2\to\mathbb{C} }$ definita da $\displaystyle { \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=3x_1\overline{y_1}+(1-2i)x_1\overline{y_2}+(1+2i)x_2\overline{y_1}+4x_2\overline{y_2} }$ sia hermitiana.

Trovare inoltre la matrice associata di $\displaystyle { \phi }$ nella base canonica $\displaystyle { \{e_1,e_2\} }$.

Sia la matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1+i \\ 1-i & 3\end{pmatrix} }$ definita su $\displaystyle { \mathbb{C}^2 }$.

Determinare se $\displaystyle { A }$ è hermitiana.

Calcolare il valore della forma hermitiana $\displaystyle { q(v)=v^*Av }$ per $\displaystyle { v=\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix} }$.