Esercizi su Forme bilineari

Sia la forma bilineare rappresentata nella base canonica da $\displaystyle { M=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix} }$.

Considera la nuova base $\displaystyle { f_1=(1,1) }$ e $\displaystyle { f_2=(1,-1) }$ espressa nella base standard.

Calcola la matrice $\displaystyle { M' }$ di $\displaystyle { B }$ nella base $\displaystyle { \{f_1,f_2\} }$ usando la formula $\displaystyle { M'=P^{T}MP }$ dove $\displaystyle { P }$ ha come colonne le coordinate di $\displaystyle { f_1,f_2 }$ nella base canonica.

Calcola infine $\displaystyle { \det(M') }$.

Sia la forma bilineare con matrice nella base canonica $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} }$.

Considera la nuova base $\displaystyle { \{f_1,f_2\} }$ con $\displaystyle { f_1=(1,1) }$ e $\displaystyle { f_2=(1,-1) }$.

Calcola la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base $\displaystyle { \{f_1,f_2\} }$ usando $\displaystyle { A'=P^{T}AP }$ dove $\displaystyle { P }$ ha colonne le coordinate di $\displaystyle { f_1,f_2 }$.

Nel piano con base canonica $\displaystyle { \{e_1,e_2\} }$ la forma bilineare ha matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} }$

Considera la nuova base $\displaystyle { f_1=e_1+e_2 }$ e $\displaystyle { f_2=e_1-e_2 }$

Determina la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base $\displaystyle { \{f_1,f_2\} }$

Considera la matrice simmetrica $\displaystyle { M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} }$ che rappresenta una forma bilineare su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$.

Determina gli autovalori e una base ortonormale di autovettori che diagonalizza $\displaystyle { M }$.

Scrivi la matrice diagonale corrispondente.

La forma bilineare associata alla matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 2\end{pmatrix} }$ è definita su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$.

Verifica se la forma è non degenere e determina il radicale $\displaystyle { \mathrm{Rad}(B)=\{v\in\mathbb{R}^2:Av=0\} }$.

Sia $\displaystyle { B }$ la forma bilineare simmetrica su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$ rappresentata nella base canonica da

$\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ [4pt] 1 & 2\end{pmatrix} }$.

Trovare una matrice di cambiamento di base che diagonalizzi $\displaystyle { A }$ e la matrice diagonale risultante; indicare la firma della forma.

Sia la matrice $\displaystyle { N=\begin{pmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{pmatrix} }$ che definisce una forma bilineare $\displaystyle { B(u,v)=u^{T}Nv }$ su $\displaystyle { \mathbb{R}^3 }$.

Calcola i valori $\displaystyle { B(e_i,e_j) }$ per coppie $\displaystyle { i<j }$ dove $\displaystyle { \{e_1,e_2,e_3\} }$ è la base canonica.

Mostra che la forma quadratica associata $\displaystyle { Q(v)=B(v,v) }$ è identicamente nulla.

Sia $\displaystyle { B }$ la forma bilineare con matrice nella base canonica $\displaystyle { \begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&4\\0&4&5\end{pmatrix} }$

Scrivi la forma quadratica $\displaystyle { Q(x)=B(x,x) }$

Calcola il valore $\displaystyle { Q(1,-1,2) }$

Considera la forma bilineare $\displaystyle { B(x,y)=2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+4x_2y_2 }$ definita su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$.

Determina la matrice associata, verifica se $\displaystyle { B }$ è simmetrica e calcola $\displaystyle { B((1,0),(0,1)) }$.

Sia $\displaystyle { B:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} }$ definita da $\displaystyle { B((x_1,y_1),(x_2,y_2))=3x_1x_2-2x_1y_2+x_2y_1+4y_1y_2 }$.

Determinare la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base canonica $\displaystyle { \{e_1,e_2\} }$ di $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$.

Sia la forma bilineare $\displaystyle { B:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} }$ definita da $\displaystyle { B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=3x_1y_1+2x_1y_2- x_2y_1+4x_2y_2 }$.

Determina la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base standard $\displaystyle { \{e_1,e_2\} }$.

Calcola il determinante di tale matrice.

Sia $\displaystyle { B:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} }$ definita da $\displaystyle { B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+2x_1y_2-x_2y_2 }$

Determina la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base canonica $\displaystyle { \{e_1,e_2\} }$

Verifica se la matrice è simmetrica

Trova il radicale di $\displaystyle { B }$

La forma bilineare $\displaystyle { B(u,v)=3u_1v_1-2(u_1v_2+u_2v_1)+5u_2v_2 }$ è definita su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$.

Trova la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base canonica e calcola il suo determinante.

La forma bilineare $\displaystyle { B }$ è definita su $\displaystyle { \mathbb{R}^3 }$ da

$\displaystyle { B((x_1,x_2,x_3),(u_1,u_2,u_3))=3x_1u_1-x_2u_2+2x_1u_3+4x_3u_1 }$

Trova la matrice di $\displaystyle { B }$ nella base canonica

Determina se è simmetrica

Calcola la parte simmetrica $\displaystyle { S=(A+A^T)/2 }$

Considera la forma bilineare simmetrica su $\displaystyle { \mathbb{R}^3 }$ data dalla matrice

$\displaystyle { A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ [4pt] 2 & 4 & 6 \\ [4pt] 3 & 6 & 9\end{pmatrix} }$ nella base canonica.

Determinare il nucleo $\displaystyle { \ker(B) }$, il rango e il determinante della matrice associata.

Sia $\displaystyle { B }$ la forma bilineare su $\displaystyle { \mathbb{R}^3 }$ la cui matrice nella base canonica è

$\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ [4pt] -1 & 3 & 4 \\ [4pt] 5 & 0 & 2\end{pmatrix} }$.

Calcolare la parte simmetrica $\displaystyle { S=\tfrac{1}{2}(A+A^T) }$ e la parte antisimmetrica $\displaystyle { K=\tfrac{1}{2}(A-A^T) }$.

Sia la matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\-2&1&6\end{pmatrix} }$ che rappresenta una forma bilineare su $\displaystyle { \mathbb{R}^3 }$ nella base canonica.

Calcola la parte simmetrica $\displaystyle { S=\frac{A+A^{T}}{2} }$ e la parte antisimmetrica $\displaystyle { K=\frac{A-A^{T}}{2} }$.

Esplicita la forma quadratica $\displaystyle { Q(v)=B(v,v) }$ in coordinate $\displaystyle { v=(x,y,z) }$.

Considera la matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix} }$ che rappresenta una forma bilineare simmetrica

Determina se la forma è definita positiva, definita negativa, semidefinita o indefinita

Trova il radicale e la classe di definiteness

Sia definita la forma bilineare su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$ tramite la matrice $\displaystyle { A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix} }$.

Calcola $\displaystyle { B(u,v)=u^{T}Av }$ per $\displaystyle { u=(1,2) }$ e $\displaystyle { v=(3,-1) }$.

Sia $\displaystyle { B }$ la forma bilineare su $\displaystyle { \mathbb{R}^2 }$ rappresentata dalla matrice

$\displaystyle { A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ [4pt] 1 & 0\end{pmatrix} }$ nella base canonica.

Calcolare $\displaystyle { B(u,v) }$ per $\displaystyle { u=(2,-1) }$ e $\displaystyle { v=(3,4) }$, calcolare $\displaystyle { B(u,u) }$, determinare se $\displaystyle { B }$ è non degenere e trovare la firma della forma.