Esercizi su Equivalenze asintotiche

Determinare un equivalente di $\displaystyle { \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) }$ quando $\displaystyle { x\to +\infty }$.

Usare una semplificazione della radice per grandi $\displaystyle { x }$.

Dimostrare quale termine domina in $\displaystyle { x^3+e^x }$ quando $\displaystyle { x\to+\infty }$ e trovare l'equivalente della somma.

Spiegare perché l'altro termine è trascurabile.

Per un parametro reale $\displaystyle { \alpha }$, trova l'equivalente di $\displaystyle { (1+x)^\alpha-1 }$ quando $\displaystyle { x\to0 }$.

Mostra che l'equivalente è $\displaystyle { \alpha x }$.

Per un esponente reale $\displaystyle { \alpha }$, trovare un equivalente di $\displaystyle { (1+x)^\alpha-1 }$ quando $\displaystyle { x\to0 }$.

Usare l'espansione binomiale o il primo termine del polinomio di Taylor.

Determinare l'equivalente della funzione $\displaystyle { 1-\cos x }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Si può usare la serie di Taylor o l'identità trigonometrica con $\displaystyle { \sin\frac{x}{2} }$.

Dimostra che $\displaystyle { 1-\cos x }$ è equivalente a $\displaystyle { \dfrac{x^2}{2} }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Usa lo sviluppo di Taylor di $\displaystyle { \cos x }$ fino al termine in $\displaystyle { x^2 }$ e considera il rapporto.

Determinare un equivalente per $\displaystyle { 1-\cos x }$ quando $\displaystyle { x\to0 }$.

Mostrare il procedimento con lo sviluppo di Taylor di $\displaystyle { \cos x }$.

Mostra che $\displaystyle { \ln(1+x) }$ è equivalente a $\displaystyle { x }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} }$.

Trovare l'equivalente della funzione $\displaystyle { \ln(1+x)-x }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Usare lo sviluppo in serie di $\displaystyle { \ln(1+x) }$ e motivare il termine dominante.

Trovare un equivalente per $\displaystyle { \ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2} }$ quando $\displaystyle { x\to0 }$.

Usare lo sviluppo in serie di $\displaystyle { \ln(1+x) }$ e indicare il termine dominante.

Stabilire un equivalente per $\displaystyle { \sin x - x }$ quando $\displaystyle { x\to 0 }$.

Usare lo sviluppo in serie di $\displaystyle { \sin x }$ fino all'ordine necessario.

Determinare l'equivalente della funzione $\displaystyle { \sin x }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Motiva la risposta usando uno sviluppo locale o identità note.

Mostra che $\displaystyle { \sin x }$ è equivalente a $\displaystyle { x }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} }$ e giustifica l'equivalenza con uno sviluppo.

Trovare l'equivalente della funzione $\displaystyle { \sqrt{1+x}-1 }$ per $\displaystyle { x\to0 }$.

Si può usare lo sviluppo binomiale o la razionalizzazione.

Determina l'equivalente di $\displaystyle { \sqrt{x^2+x}-x }$ quando $\displaystyle { x\to+\infty }$.

Usa manipolazioni algebriche e sviluppo per grandi valori di $\displaystyle { x }$.

Determinare un equivalente per $\displaystyle { e^x-1-x }$ quando $\displaystyle { x\to0 }$.

Scrivere l'espressione del termine dominante e giustificarla con uno sviluppo di Taylor.

Determinare un equivalente per $\displaystyle { x\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) }$ quando $\displaystyle { x\to 0^{+} }$.

Ricondurre l'espressione a una forma con la variabile $\displaystyle { y=\tfrac{1}{x} }$ se utile.

Determinare un equivalente per $\displaystyle { (1-\cos x)\,\ln(1+x) }$ quando $\displaystyle { x\to 0 }$.

Usare gli sviluppi per $\displaystyle { 1-\cos x }$ e per $\displaystyle { \ln(1+x) }$.

Determinare l'equivalente della somma $\displaystyle { e^{x}+x^{5} }$ per $\displaystyle { x\to+\infty }$.

Spiegare perché uno dei due termini domina l'altro.

Trovare un equivalente per $\displaystyle { e^{x}-1-x-\tfrac{x^{2}}{2} }$ quando $\displaystyle { x\to 0 }$.

Usare lo sviluppo esponenziale fino all'ordine appropriato.