Equivalenze asintotiche

Equivalenze asintotiche

Se due funzioni $\displaystyle { f(x) }$ e $\displaystyle { g(x) }$ si comportano nello stesso modo quando tendono ad un certo valore, cioè se il loro rapporto è uguale a $\displaystyle { 1: }$

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to x_0} {f(x)\over g(x)}= 1 }$

allora si dice che $\displaystyle { f(x) }$ è asintoticamente equivalente a $\displaystyle { g(x) }$ per $\displaystyle { x }$ che tende ad $\displaystyle { x_0 }$ e si scrive solitamente:

$\displaystyle { f(x) \sim g(x) }$ per $\displaystyle { x \to x_0 }$

Se però è sottinteso a quale $\displaystyle { x_0 }$ ci stiamo riferendo, possiamo scrivere anche solo $\displaystyle { f(x) \sim g(x). }$

A cosa ci serve a noi? Solitamente nei limiti che incontriamo $\displaystyle { x }$ tende sempre agli stessi valori, a $\displaystyle { 0 }$ o a $\displaystyle { +\infty, }$ dunque se andiamo a raggruppare funzioni che si comportano nello stesso modo in quei valori, potremo risolvere molti limiti molto più facilmente.

Se ad esempio incontrassimo il seguente limite:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to 0} {{e^{\sin(x)} - 1 \over x}} }$

Sappiamo che $\displaystyle { \sin(x) }$ si comporta come $\displaystyle { x }$ per $\displaystyle { x }$ che tende a $\displaystyle { 0, }$ dunque possiamo sostituire ed ottenere:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to 0} {{e^{\sin(x)} - 1 \over x}}= }$ $\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x - 1 \over x}= 1 }$

Potrete trovare limiti molto più complicati, ma il concetto è lo stesso: se dimostro che una funzione $\displaystyle { f(x) }$ è asintoticamente equivalente a $\displaystyle { g(x) }$ quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { x_0, }$ se poi incontro un altro limite per $\displaystyle { x }$ che tende ad $\displaystyle { x_0 }$ dove compare $\displaystyle { f(x), }$ posso sostituirla con $\displaystyle { g(x) }$ e viceversa.