Equivalenze asintotiche

Se due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ si comportano nello stesso modo quando tendono ad un certo valore, cioè se il loro rapporto è uguale a $1:$

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} {f(x)\over g(x)}= 1$

allora si dice che $f(x)$ è asintoticamente equivalente a $g(x)$ per $x$ che tende ad $x_0$ e si scrive solitamente:

$f(x) \sim g(x)$ per $x \to x_0$

Se però è sottinteso a quale $x_0$ ci stiamo riferendo, possiamo scrivere anche solo $f(x) \sim g(x).$

A cosa ci serve a noi? Solitamente nei limiti che incontriamo $x$ tende sempre agli stessi valori, a $0$ o a $+\infty,$ dunque se andiamo a raggruppare funzioni che si comportano nello stesso modo in quei valori, potremo risolvere molti limiti molto più facilmente.

Se ad esempio incontrassimo il seguente limite:

$\displaystyle \lim_{x\to 0} {{e^{\sin(x)} - 1 \over x}}$

Sappiamo che $\sin(x)$ si comporta come $x$ per $x$ che tende a $0,$ dunque possiamo sostituire ed ottenere:

$\displaystyle \lim_{x\to 0} {{e^{\sin(x)} - 1 \over x}}=$ $\displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x - 1 \over x}= 1$

Potrete trovare limiti molto più complicati, ma il concetto è lo stesso: se dimostro che una funzione $f(x)$ è asintoticamente equivalente a $g(x)$ quando $x$ tende a $x_0,$ se poi incontro un altro limite per $x$ che tende ad $x_0$ dove compare $f(x),$ posso sostituirla con $g(x)$ e viceversa.