Esercizi su Equazioni parametriche

$\displaystyle { x=3\cos t,\; y=3\sin t }$

Trova l'equazione cartesiana del luogo e il valore di $\displaystyle { t }$ (principalmente in $\displaystyle { [0,2\pi) }$) per il punto $\displaystyle { (0,-3) }$.

La curva è definita dalle equazioni parametriche $\displaystyle { x(t)=2\cos t }$ e $\displaystyle { y(t)=\sin t }$ per $\displaystyle { t\in[0,2\pi] }$.

Elimina il parametro $\displaystyle { t }$ e scrivi l'equazione cartesiana della curva.

$\displaystyle { x(t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} }$.

$\displaystyle { y(t)=\frac{2t}{1+t^{2}} }$ per ogni $\displaystyle { t\in\mathbb{R} }$.

Mostra che la curva è la circonferenza unitaria eliminando il parametro $\displaystyle { t }$.

$\displaystyle { \text{Curva A: }x=1+2t,\; y=3-t }$

$\displaystyle { \text{Curva B: }x=4+s,\; y=1+2s }$

Determina i valori di $\displaystyle { t }$ e $\displaystyle { s }$ che danno intersezione e il punto di intersezione $\displaystyle { P }$.

$\displaystyle { \vec{r}_1(t)=(1+2t,\,3-t) }$.

$\displaystyle { \vec{r}_2(s)=(4-s,\,1+2s) }$.

Determina i valori di $\displaystyle { t }$ e $\displaystyle { s }$ per cui le rette si intersecano e trova il punto di intersezione.

$\displaystyle { x(t)=\cos t }$.

$\displaystyle { y(t)=\sin t }$ per $\displaystyle { t\in[0,\pi] }$.

Calcola la lunghezza dell'arco della curva per l'intervallo indicato.

$\displaystyle { x=2t^{2},\; y=4t-1 }$

Calcola il vettore velocità $\displaystyle { \vec{v} }$ in funzione di $\displaystyle { t }$, il suo modulo in $\displaystyle { t=1 }$ e il vettore accelerazione $\displaystyle { \vec{a} }$.

$\displaystyle { x=2+3t,\, y=1-2t }$

Determina l'equazione cartesiana della retta e il valore di $\displaystyle { t }$ corrispondente al punto $\displaystyle { P(5,-1) }$.

$\displaystyle { x=t^{3}-3t,\; y=t^{2}+2 }$

Determina l'equazione della tangente alla curva nel punto corrispondente a $\displaystyle { t=1 }$.

$\displaystyle { x(t)=t^{2}-1 }$.

$\displaystyle { y(t)=\ln t }$ per $\displaystyle { t>0 }$.

Calcola il vettore tangente $\displaystyle { \vec{r}\,'(t) }$ e la velocità istantanea al punto $\displaystyle { t=1 }$.