Cos’è un’equazione parametrica?

Un'equazione è detta parametrica se appaiono uno o più parametri. In altre parole, oltre alla nostra incognita appariranno altre lettere.

Vediamo qualche esempio:

• $x+k=4$

• $x+ 2a=8$

• $17ax - x^2 + a^3 = {1 \over a}$

Non sono invece equazioni parametriche le seguenti:

• $x^2 = 3x$ - non appare alcun parametro

• $a = a^3 - 3a$ - non c'è alcun parametro, abbiamo solo cambiato il nome della variabile da $x$ ad $a$ .

Iniziamo subito col chiarire un importante concetto: bisogna saper distinguere quale è l' incognita che stiamo cercando e quali sono i parametri.

Molti commettono l’errore di associare sempre la $x$ all’incognita e altre lettere come $a$ o $k$ sempre come parametri, ma questo non è affatto detto, solitamente si indicano così, ma a seconda delle situazioni potrebbero apparire nomi diversi.

Ad esempio l'equazione:

$17t - a = 3$

Potrebbe avere come incognita $t$ e parametro $a$ , oppure potrebbe essere il contrario. Come capire quindi chi è cosa?

Per rispondere, vediamo prima meglio come si distinguono le incognite dai parametri.

Cos’è un incognita e cos’è un parametro?

L'incognita è la variabile che deve rispettare l'equazione, mentre il parametro è una variabile che può avere qualsiasi valore.

Se vuole essere $5$ , può essere $5$, se vuole essere $\pi$ , può essere $\pi$ . L'incognita invece deve sempre avere un valore che verifica l'equazione.

Solitamente vi sarà detto quali sono i parametri e quali le incognite, ed in generale le incognite sono rappresentate con le ultime lettere dell'alfabeto ( $x$ , $y$ , $z$ ) mentre i parametri con le prime lettere ( $a$ , $b$ , $c$ ) oppure con $k$ o $j$ , ma non è detto che sia sempre così. Potrebbe capitarvi un'equazione con incognita $c$ e parametro $y$ , dunque è bene saper distinguere i due.

Come risolvere un'equazione parametrica?

In un equazione parametrica si deve trovare una relazione diretta tra l'incognita e il parametro, in modo tale che, inserendo un qualsiasi valore di esso, si ottenga il conseguente valore di $x$.

Inoltre può essere chiesto di trovare per quali valori dei parametri l'equazione è determinata , imposssibile o indeterminata.

Facciamo un esempio:

• $6a + 3x = 17$

Isoliamo la $x$ , quindi:

$3x = 17 - 6a$

$x = {17 \over 3} - 2a$

Ed ecco fatto, tutto qua. Ora, inserendo al posto di $a$ qualsiasi numero, potremo ottenere il corrispettivo valore di $x$ . Ad esempio se $a=5$ , allora:

$x = {17 \over 3} - 2 \cdot 5 =$ ${17 \over 3} -10 = - {13 \over 3}$

In questo caso l'equazione è determinata per qualsiasi valore di $a$ (il parametro).

Facciamo un altro esempio con incognita $y$ e parametro $t$ :

• ${y \over t} + t = 1$

Isoliamo la $y$ :

${y \over t} = 1-t$

Prima di moltiplicare per entrambi i lati per $t$, dobbiamo ricordarci che deve essere diversa da $0$, perché il denominatore non può essere uguale a $0$:

$t \neq 0$

$y= t-t^2$

Abbiamo risolto l'equazione. Dobbiamo però guardare al caso in cui $t$ sia uguale a $0$.

In tal caso otteniamo:

${y \over 0} = 1$

Che è impossibile perché non si può dividere per $0$.

Quindi l'equazione parametrica sarà impossibile se $t=0$, mentre sarà determinata per qualsiasi altro valore di $t$.

Vediamo un ultimo esempio.

Risolviamo l'equazione parametrica:

$ax = a$

con parametro $a.$

Qua ci basta dividere entrambi i lati per $a,$ ma per farlo dobbiamo supporre che $a$ sia diverso da $0:$

$a\neq 0$

$x = {a\over a}$

$x=1$

Quindi, quando $a\neq 0,$ l'equazione parametrica è determinata. Quando però $a=0,$ otteniamo:

$0x=0$

Che è sempre verificata, perché qualsiasi numero moltiplicato per $0$ da sempre $0,$ quindi tutti i numeri reali sono una soluzione a quest'equazione. Si dice dunque che, per $a=0,$ l'equazione è indeterminata .

Equazioni parametriche di secondo grado

Ora passeremo ad analizzare come studiare il comportamento di un'equazione di secondo grado al variare di un parametro.

Ecco un esempio:

$3kx^2 + 5x + 7k^2 = 0$

In questo caso $k$ sarebbe il nostro parametro.

Data un'equazione parametrica di secondo può essere richiesto di discutere per quali valori del parametro l'equazione ha due soluzioni reali, per quali valori abbiamo due soluzioni reali coincidenti, per quali non abbiamo soluzioni nei numeri reali, per quali valori di $k$ abbiamo una certa soluzione, ecc.

Di seguito mostreremo come rispondere a domande simili.

Il delta

Iniziamo dal notare che chiedere se un'equazione ha radici reali non significa altro che verificare se il delta è maggiore o uguale a $0$ .

Quindi avremo una disequazione da risolvere che coinvolgerà il nostro parametro.

Ecco un esempio:

$x^2 - 4kx + 4k^2 + 3k = 0$

Notiamo che:

$a=1$ , $b=-4k$ e $c= 4k^2 +3k$ .

Quindi avremo:

$\Delta =$ $(-4k)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4k^2 +3k) =$ $16k^2 - 16k^2 -12k = -12k$

Notiamo dunque che il discriminante sarà $\geq 0$ per valori di $k \leq 0$ .

Questa è la nostra soluzione.

Problemi con somma e moltiplicazione delle radici

Ora notiamo che sfruttando le relazioni fra la somma e la moltiplicazione delle radici possiamo facilmente risolvere problemi riguardanti l’analisi dei loro coefficienti.

Forniamo un esempio di seguito per maggiore chiarezza:

Data $3kx^2 + k^2x + 5k = 0$ per quali valori di risulta $x_1 + x_2= 8$ e per quali valori risulta invece $x_1 \cdot x_2 = 7$ .

Per risolvere il primo punto ricordiamo dalla lezione sulle equazioni di secondo grado che:

$x_1 + x_2 = {-b \over a}$

(se non te lo ricordi, clicca qui 👈). Dato ${-b \over a} = {-k^2 \over 3k}$ abbiamo che la loro somma sarà uguale a ${-k \over 3}$ . Dunque affinché questo sia uguale a $8$ dobbiamo avere $k = -24$ .

Per risolvere il secondo invece ricordiamo anche che:

$x_1 \cdot x_2 = {c\over a}$

Quindi ${c \over a} = {5k \over 3k} = {5\over 3}$ .

Questo è un valore costante che non dipende dal variare di $k$ ed è dunque impossibile che sia uguale a $7$.

Domande di questo genere possono poi essere rese più complicate ma in generale sono sempre riportabili ai problemi di prima o a loro combinazioni.

Trovare il parametro avendo una soluzione

Per verificare quali valori del parametro danno una certa soluzione, ci basta inserirla nell'equazione e risolvere per il parametro.

Questo perché per definizione la soluzione, se inserita al posto dell'incognita, lascia vera l’equazione.

Proponiamo di seguito un esempio per rendere più chiaro il concetto:

Data $3nx^2 +2nx + 32 = 0$, sapendo che $2$ è una delle soluzione dell'equazione trovare $n$.

Poiché $2$ è una soluzione avremo che: $3n\cdot 2^2 + 2n\cdot 2 + 32 = 0$, quindi $12n + 4n + 32 = 0$ e dunque $16n = -32$ ottenendo $n = -2$.

Nel caso in cui uno o più parametri apparissero elevati alla seconda, allora dopo aver sostituito bisognerebbe semplicemente risolvere l'equazione di secondo grado risultante avente però come incognita il parametro.