Esercizi su Centro di massa

Un'asta uniforme di lunghezza $\displaystyle { L=1.20\ \text{m} }$ ha massa $\displaystyle { M=2.00\ \text{kg} }$ e occupa l'intervallo da $\displaystyle { x=0 }$ a $\displaystyle { x=L }$.

Una massa puntiforme $\displaystyle { m=0.500\ \text{kg} }$ è fissata all'estremo destro in $\displaystyle { x=L }$.

Calcola la coordinata $\displaystyle { x_{\text{cm}} }$ del sistema rispetto all'estremo sinistro $\displaystyle { x=0 }$.

Nel piano sono presenti due particelle.

La particella $\displaystyle { 1 }$ ha massa $\displaystyle { m_1=4.00\ \text{kg} }$ e posizione $\displaystyle { (x_1,y_1)=(1.00\ \text{m},\;0.50\ \text{m}) }$.

La particella $\displaystyle { 2 }$ ha massa $\displaystyle { m_2=6.00\ \text{kg} }$ e posizione $\displaystyle { (x_2,y_2)=(-0.50\ \text{m},\;1.50\ \text{m}) }$.

Determina le componenti $\displaystyle { x_{\text{cm}} }$ e $\displaystyle { y_{\text{cm}} }$ del centro di massa.

Tre masse occupano i vertici di un triangolo equilatero di lato $\displaystyle { a=0.600\ \text{m} }$.

La massa $\displaystyle { m_1=2.00\ \text{kg} }$ è in $\displaystyle { (0,0) }$.

La massa $\displaystyle { m_2=3.00\ \text{kg} }$ è in $\displaystyle { (a,0) }$.

La massa $\displaystyle { m_3=4.00\ \text{kg} }$ è al vertice superiore in coordinate $\displaystyle { (a/2,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}a) }$.

Trova le coordinate $\displaystyle { \vec{r}_{\text{cm}}=(x_{\text{cm}},y_{\text{cm}}) }$ del centro di massa.

Un filo sottile semicircolare ha raggio $\displaystyle { R=0.300\ \text{m} }$ e massa distribuita uniformemente lungo l'arco.

Prendo il centro del cerchio come origine e l'asse $\displaystyle { y }$ lungo la simmetria verticale verso il lato convesso dell'arco.

Calcola la distanza $\displaystyle { y_{\text{cm}} }$ del centro di massa del filo dall'origine lungo l'asse $\displaystyle { y }$.

Una barra uniforme ha lunghezza $\displaystyle { L=1.20\ \mathrm{m} }$ e massa $\displaystyle { M_r=0.500\ \mathrm{kg} }$.

Si prende l'origine in un'estremità della barra e l'asse positivo verso l'altra estremità.

Calcola prima il centro di massa della sola barra.

Poi si fissa una massa puntiforme $\displaystyle { m=0.200\ \mathrm{kg} }$ all'estremità opposta all'origine.

Calcola la nuova posizione del centro di massa del sistema barra più massa aggiunta.

Due aste sottili e uniformi giacciono sull'asse $\displaystyle { x }$: la prima va da $\displaystyle { x=0.00\ \mathrm{m} }$ a $\displaystyle { x=1.00\ \mathrm{m} }$ con massa $\displaystyle { M_1=2.00\ \mathrm{kg} }$.

La seconda va da $\displaystyle { x=1.00\ \mathrm{m} }$ a $\displaystyle { x=3.00\ \mathrm{m} }$ con massa $\displaystyle { M_2=4.00\ \mathrm{kg} }$.

Calcola la coordinata $\displaystyle { x }$ del centro di massa del sistema composto dalle due aste.

Due particelle si trovano nello spazio a coordinate cartesiane.

La massa $\displaystyle { m_1 }$ è $\displaystyle { 1.50\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (0.00\ \mathrm{m},\ 0.00\ \mathrm{m},\ 0.00\ \mathrm{m}) }$.

La massa $\displaystyle { m_2 }$ è $\displaystyle { 2.50\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (2.00\ \mathrm{m},\ -1.00\ \mathrm{m},\ 1.00\ \mathrm{m}) }$.

Determina le coordinate $\displaystyle { x_{CM},\ y_{CM},\ z_{CM} }$ del centro di massa del sistema.

Due masse sono disposte sull'asse $\displaystyle { x }$.

La massa $\displaystyle { m_1 }$ è $\displaystyle { 3.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_1=0.00\ \mathrm{m} }$.

La massa $\displaystyle { m_2 }$ è $\displaystyle { 5.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_2=2.00\ \mathrm{m} }$.

Calcola la posizione del centro di massa lungo l'asse $\displaystyle { x }$ rispetto all'origine scelta.

Due masse sono posizionate su un asse $\displaystyle { x }$.

La massa prima è $\displaystyle { m_1=3.00\,\mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_1=0.20\,\mathrm{m} }$.

La massa seconda è $\displaystyle { m_2=5.00\,\mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_2=0.80\,\mathrm{m} }$.

Determinare la posizione del centro di massa $\displaystyle { x_{cm} }$ misurata dall'origine.

Due masse puntiformi sono disposte sull'asse $\displaystyle { x }$.

La prima massa è $\displaystyle { m_1=2.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_1=1.50\ \mathrm{m} }$.

La seconda massa è $\displaystyle { m_2=3.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { x_2=4.00\ \mathrm{m} }$.

Calcola la coordinata $\displaystyle { x }$ del centro di massa del sistema.

Tre masse puntiformi giacciono sul piano: la prima è $\displaystyle { m_1=1.50\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (0.00,0.00)\ \mathrm{m} }$.

La seconda è $\displaystyle { m_2=2.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (2.00,0.00)\ \mathrm{m} }$.

La terza è $\displaystyle { m_3=3.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (0.00,3.00)\ \mathrm{m} }$.

Calcola le coordinate $\displaystyle { x }$ e $\displaystyle { y }$ del centro di massa del sistema.

Tre masse sono disposte sull'asse $\displaystyle { x }$.

La massa $\displaystyle { m_1 }$ vale $\displaystyle { 2.00\ \text{kg} }$ e si trova in $\displaystyle { x_1=0.00\ \text{m} }$.

La massa $\displaystyle { m_2 }$ vale $\displaystyle { 3.00\ \text{kg} }$ e si trova in $\displaystyle { x_2=1.20\ \text{m} }$.

La massa $\displaystyle { m_3 }$ vale $\displaystyle { 5.00\ \text{kg} }$ e si trova in $\displaystyle { x_3=2.50\ \text{m} }$.

Calcola la coordinata $\displaystyle { x_{\text{cm}} }$ del centro di massa del sistema.

Tre masse puntiformi giacciono nel piano $\displaystyle { xy }$.

La massa $\displaystyle { m_1 }$ è $\displaystyle { 2.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (0.00\ \mathrm{m},\ 0.00\ \mathrm{m}) }$.

La massa $\displaystyle { m_2 }$ è $\displaystyle { 3.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (1.00\ \mathrm{m},\ 0.50\ \mathrm{m}) }$.

La massa $\displaystyle { m_3 }$ è $\displaystyle { 4.00\ \mathrm{kg} }$ in $\displaystyle { (-0.50\ \mathrm{m},\ 1.00\ \mathrm{m}) }$.

Calcola le coordinate $\displaystyle { x_{CM} }$ e $\displaystyle { y_{CM} }$ del centro di massa del sistema.

Tre masse puntiformi si trovano nel piano $\displaystyle { xy }$.

La massa $\displaystyle { m_1=2.00\,\mathrm{kg} }$ è in $\displaystyle { (0.00\,\mathrm{m},0.00\,\mathrm{m}) }$.

La massa $\displaystyle { m_2=3.00\,\mathrm{kg} }$ è in $\displaystyle { (4.00\,\mathrm{m},0.00\,\mathrm{m}) }$.

La massa $\displaystyle { m_3=5.00\,\mathrm{kg} }$ è in $\displaystyle { (0.00\,\mathrm{m},6.00\,\mathrm{m}) }$.

Calcolare le coordinate $\displaystyle { x_{cm} }$ e $\displaystyle { y_{cm} }$ del centro di massa del sistema.

Si consideri un filo sottile che segue un semicerchio di raggio $\displaystyle { R=0.500\ \mathrm{m} }$, omogeneo nella densità lineare.

Il semicerchio è centrato nell'origine con l'apertura verso l'alto simmetrica rispetto all'asse $\displaystyle { y }$.

Determinare la distanza dal centro di curvatura al centro di massa lungo l'asse $\displaystyle { y }$.

Un'asta sottile uniforme occupa il segmento da $\displaystyle { x=0.00\,\mathrm{m} }$ a $\displaystyle { x=1.00\,\mathrm{m} }$ e ha massa $\displaystyle { M_a=2.00\,\mathrm{kg} }$.

Una massa puntiforme $\displaystyle { m_p=1.00\,\mathrm{kg} }$ si trova in $\displaystyle { x=2.00\,\mathrm{m} }$.

Determinare il centro di massa complessivo $\displaystyle { x_{cm} }$ del sistema asta+massa.

Un'asta lunga $\displaystyle { L=1.00\,\mathrm{m} }$ ha densità lineare che varia come $\displaystyle { \lambda(x)=\lambda_0 x }$ per $\displaystyle { 0\le x\le L }$.

La massa totale dell'asta è $\displaystyle { M=2.00\,\mathrm{kg} }$.

Determinare la posizione del centro di massa $\displaystyle { x_{cm} }$ usando gli integrali.

Un'asta sottile uniforme ha lunghezza $\displaystyle { L=2.00\,\mathrm{m} }$ e massa $\displaystyle { M=3.00\,\mathrm{kg} }$.

L'asse $\displaystyle { x }$ ha origine in un estremo dell'asta e l'asta si estende fino a $\displaystyle { x=L }$.

Determinare la posizione $\displaystyle { x_{cm} }$ del centro di massa rispetto all'origine usando il calcolo integrale.

Una barra sottile di lunghezza $\displaystyle { L=1.00\ \mathrm{m} }$ è orientata lungo l'asse $\displaystyle { x }$ con origine in $\displaystyle { x=0 }$.

La densità lineare varia secondo $\displaystyle { \lambda(x)=\lambda_0\dfrac{x}{L} }$ per $\displaystyle { 0\le x\le L }$.

Calcola il centro di massa della barra mediante integrazione ordinaria.

Una lastra rettangolare uniforme ha base $\displaystyle { 4.00\ \mathrm{m} }$ e altezza $\displaystyle { 2.00\ \mathrm{m} }$, con il vertice inferiore sinistro in $\displaystyle { (0.00,0.00)\ \mathrm{m} }$.

Dal rettangolo è stato tolto un foro circolare di raggio $\displaystyle { r=0.50\ \mathrm{m} }$ con centro in $\displaystyle { (1.00,1.00)\ \mathrm{m} }$.

Determinare le coordinate $\displaystyle { x }$ e $\displaystyle { y }$ del centro di massa della lastra forata, assumendo densità superficiale uniforme.