Un esagono regolare è un poligono cioè una figura piana chiusa con lati rettilinei, formato da 6 lati congruenti e 6 angoli congruenti di 120°. Si può scomporre in 6 triangoli equilateri, cioè triangoli con tre lati uguali.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Lato | I 6 lati sono congruenti. | |
| Angolo interno | Ogni angolo misura . | |
| Perimetro | Si ottiene sommando i 6 lati uguali. | |
| Apotema | È la distanza dal centro al lato. | |
| Area | Si calcola con lato e apotema oppure con il lato. | |
| Scomposizione | Si divide in 6 triangoli equilateri. | |
| Cerchio inscritto | Ha raggio uguale all'apotema. | |
| Cerchio circoscritto | Ha raggio uguale al lato. |
Un esagono regolare è un poligono cioè una figura piana chiusa formata da segmenti, con sei lati tutti uguali e sei angoli tutti uguali.
L’idea è quella di una figura molto simmetrica. Si può pensare a un esagono come a un cerchio approssimato da sei lati uguali.
Questa simmetria rende semplici perimetro e area. Per questo l’esagono regolare compare spesso in geometria e in problemi di misura.
Ogni angolo interno misura , cioè un angolo più ampio di un angolo retto. Per esempio, sei angoli da sommano .
La somma degli angoli interni di un esagono si ottiene con la formula dei poligoni, cioè . Con si ha .
Per esempio, se un esagono regolare ha lato , allora ogni lato è lungo e il poligono è completamente determinato da quel solo dato.
Il perimetro cioè la somma delle lunghezze di tutti i lati, si ottiene moltiplicando il lato per sei.
Questo succede perché tutti i lati sono congruenti, cioè hanno la stessa lunghezza. La misura del perimetro dipende quindi da un solo valore.
Per esempio, se , allora .
Se il lato è , il perimetro vale .
L’apotema cioè il segmento che unisce il centro del poligono al punto medio di un lato, è utile perché permette di calcolare l’area con una formula semplice.
Nell’esagono regolare l’apotema si ottiene scomponendo la figura in triangoli equilateri, cioè triangoli con tre lati uguali.
Per esempio, se , allora .
Se , allora .
L’area cioè la misura della superficie interna, si calcola in modo naturale partendo dalla scomposizione in sei triangoli equilateri.
Questa scomposizione è utile perché ogni triangolo ha base e altezza semplici da esprimere con il lato e l’apotema.
Per esempio, con , si ha .
Per esempio, se e , allora .
Le due formule sono equivalenti, cioè conducono allo stesso risultato. La prima usa solo il lato, la seconda usa perimetro e apotema.
Un esagono regolare si può dividere in sei triangoli equilateri uguali tracciando i segmenti dal centro ai vertici.
Questa costruzione spiega perché l’area si trova con facilità. Ogni triangolo contribuisce con la stessa parte di superficie.
Per esempio, con , l’area di un triangolo equilatero vale .
Moltiplicando per sei si ottiene l’area dell’esagono. Con si ha .
Questo passaggio mostra il perché della formula .
L’esagono regolare è strettamente legato a due cerchi: il cerchio inscritto, cioè quello interno tangente a tutti i lati, e il cerchio circoscritto, cioè quello passante per tutti i vertici.
Nel caso regolare, il raggio del cerchio inscritto coincide con l’apotema. Il raggio del cerchio circoscritto coincide con il lato.
Per esempio, se , allora il raggio del cerchio inscritto è .
Per esempio, se , allora il raggio del cerchio circoscritto è .
[IMMAGINE: Disegno di un esagono regolare con vertici etichettati A, B, C, D, E, F. Centro O segnato. Segmenti OA, OB, OC, OD, OE, OF tracciati per mostrare i 6 triangoli equilateri. Apotema OM perpendicolare a un lato. Cerchio inscritto tangente ai lati. Cerchio circoscritto passante per i vertici. Lato l, apotema a, raggio interno r e raggio esterno R etichettati.]
L'esagono regolare, cioè il poligono con sei lati congruenti e sei angoli congruenti, si studia tramite poche formule fondamentali.
Il perimetro, cioè la somma delle lunghezze dei lati, si ottiene moltiplicando il lato per sei.
Si indica con la lunghezza di un lato e con il perimetro. Le unità di misura sono, per esempio, per il lato e per il perimetro.
Si consideri un esagono regolare con lato .
Il perimetro misura .La formula vale per qualsiasi lato espresso nella stessa unità.
L'apotema, cioè la distanza dal centro al punto medio di un lato, si esprime in funzione del lato.
Si indica con l'apotema e con il lato. Se , allora .
Si consideri un esagono regolare con lato .
L'apotema vale , cioè circa .
L'area, cioè la misura della superficie interna, si calcola con perimetro e apotema.
Si indica con l'area, con il perimetro e con l'apotema. Se e , allora .
Si consideri un esagono regolare con e .
L'area è .La formula è utile quando apotema e perimetro sono noti.
Questa è la formula diretta dell'area in funzione del lato.
Si sostituisce nella formula precedente e si usa . Per esempio, se , allora .
Si consideri un esagono regolare con lato .
L'area vale circa .La formula è la più usata nelle ricerche su area esagono regolare formula.
L'angolo interno di un esagono regolare misura .Si ottiene dividendo la somma degli angoli interni per sei.
La scomposizione in triangoli equilateri, cioè triangoli con tre lati uguali, spiega le formule dell'area e dell'apotema.
Si consideri un esagono regolare con lato .
Ogni triangolo equilatero ha area .La somma dei sei triangoli dà l'area totale.
L'esagono regolare può essere inscritto in un cerchio, cioè un cerchio che passa per tutti i vertici.
In questo caso il raggio del cerchio circoscritto coincide con il lato, quindi . Per esempio, se , allora .
Il cerchio inscritto, cioè il cerchio tangente ai lati, ha raggio uguale all'apotema. mostra il legame tra lato e cerchio interno.
Per esempio, se , allora il raggio del cerchio inscritto è .
Calcolare l'area di un esagono regolare di lato . Si usi la formula dell'area in funzione del lato.
[IMMAGINE: Esagono regolare con lato etichettato l = 4 cm, apotema indicato con a, scomposizione in 6 triangoli equilateri evidenziata]
Si conosce il lato .Si cerca l'area .Il metodo più diretto usa la formula con il lato.
La formula è .Si sostituisce .
Si ottiene quindi .In forma approssimata, l'area vale circa .
L'area è 24\sqrt{3}\ \text{cm}^2.
Errore comune: dimenticare di elevare al quadrato il lato nella formula dell'area.
Calcolare il perimetro e l'apotema di un esagono regolare con lato .Si usano le formule fondamentali del poligono regolare.
[IMMAGINE: Esagono regolare con lato l = 5 cm, apotema a tracciato dal centro al punto medio di un lato, centro O evidenziato]
Si conosce il lato .Si cercano due grandezze: il perimetro e l'apotema .
Il perimetro di un esagono regolare si calcola con .Si sostituisce .
Per l'apotema si usa .Si sostituisce ancora .
Il perimetro è 30 cm e l'apotema è .
Errore comune: confondere l'apotema con il lato del poligono.
Calcolare l'area di un esagono regolare sapendo che il perimetro è e l'apotema è .Si usa la formula con perimetro e apotema.
Si conoscono e .Si cerca l'area .
La formula è .Si sostituiscono i valori noti.
L'area vale 93,6 cm².
Si può anche controllare il risultato usando la relazione tra lato, apotema e perimetro.
Errore comune: dimenticare di dividere per 2 nella formula dell'area.
Un esagono regolare ha lati tutti uguali e angoli interni tutti uguali. Si determina la misura di ciascun angolo e si interpreta il significato dell'apotema.
[IMMAGINE: Esagono regolare con un angolo interno evidenziato a 120°, centro O, raggio circoscritto e apotema perpendicolare a un lato]
Si sa che un poligono regolare di 6 lati ha la somma degli angoli interni pari a .Si cerca il singolo angolo interno.
La formula è .Con si ottiene il valore dell'angolo interno.
L'apotema è il segmento che unisce il centro al punto medio di un lato ed è perpendicolare al lato.Se il lato misura , allora l'apotema vale .
L'angolo interno misura 120° e l'apotema è il raggio della circonferenza inscritta.
Errore comune: confondere l'angolo interno con l'angolo al centro, che in questo caso vale 60°.
Calcolare l'area con perché l'esagono è regolare.
Usare oppure .
L'area non coincide con quella di un quadrato. L'esagono regolare si scompone in 6 triangoli equilateri, e da questa scomposizione nasce la formula corretta.
Scrivere l'area come , confondendo perimetro e apotema.
Usare , cioè semiperimetro per apotema.
Qui si moltiplicano perimetro e apotema, non si sommano. Un controllo utile è verificare che l'area abbia unità quadrate.
Pensare che l'apotema sia il lato dell'esagono, oppure una diagonale qualsiasi.
Definire l'apotema come il segmento dal centro al punto medio di un lato, perpendicolare al lato.
L'apotema non è un lato né una diagonale. È il raggio del cerchio inscritto e serve nella formula dell'area.
Dire che ogni angolo interno misura oppure .
Ricordare che ogni angolo interno misura .
L'errore nasce dal confondere l'esagono con il triangolo equilatero o con il quadrato. Per un poligono regolare si può usare la formula degli angoli interni.
Calcolare il perimetro con o con , invece di contare i lati.
Usare , perché l'esagono regolare ha 6 lati uguali.
Il perimetro è la somma di tutti i lati. Conviene sempre contare i lati prima di applicare la formula, per evitare errori di fattore.
L'area si calcola con , cioè il lato al quadrato moltiplicato per un coefficiente fisso.
Per esempio, se , allora .
La formula dell'area dell'esagono regolare è , cioè perimetro per apotema diviso due.
Per esempio, se e , allora .
L'apotema è il segmento che unisce il centro con il punto medio di un lato, perpendicolarmente al lato.
Nell'esagono regolare vale , cioè dipende solo dal lato.
Per esempio, se , allora .
Ogni angolo interno misura , perché l'esagono è regolare e tutti gli angoli sono uguali.
Per esempio, la somma degli angoli interni è , quindi ciascun angolo vale .
Il perimetro si calcola con , cioè sei volte il lato.
Per esempio, se , allora .
La relazione è , cioè l'apotema è proporzionale al lato.
Per esempio, se , allora .
