Divisori e multipli di un numero

Cos'è un multiplo di un numero?

Partiamo subito con la definizione e poi vediamo degli esempi per chiarirla meglio.

In pratica, un numero è detto multiplo di un altro numero se e solo se è uguale a quest'ultimo moltiplicato per un altro numero naturale.

Quindi, ad esempio, $\displaystyle { 12 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 3, }$ perché $\displaystyle { 12 }$ è uguale a $\displaystyle { 3\times 4, }$ cioè a $\displaystyle { 3 }$ moltiplicato per un altro numero naturale ( $\displaystyle { 4 }$ ).

Per lo stesso ragionamento, $\displaystyle { 10 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 5, }$ perché è uguale a $\displaystyle { 5\times 2, }$ mentre $\displaystyle { 39 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 3 }$ perché è uguale a $\displaystyle { 3\times 13. }$

Dunque tutti i multipli di $\displaystyle { 3 }$ saranno $\displaystyle { 0,3,6,9,12,15,18,21,24,... }$ eccetera eccetera.

Come capire, dunque, se un numero è un multiplo di un altro? Basterà fare la divisione e vedere se ci esce un numero naturale!

Se esce un numero con la virgola, allora non è un multiplo.

Quindi per verificare se $\displaystyle { 35 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 5, }$ ci basterà fare $\displaystyle { 35 : 5, }$ che fa $\displaystyle { 7. }$ Siccome $\displaystyle { 7 }$ è un numero naturale, allora $\displaystyle { 35 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 5. }$

Mentre $\displaystyle { 7 }$ non è un multiplo di $\displaystyle { 2, }$ perché se faccio $\displaystyle { 7:2 }$ ottengo $\displaystyle { 3,5, }$ che non è un numero naturale perché ha la virgola.

Se l'aritmetica vi crea confusione e non capite cosa significa effettivamente l'essere multiplo di un numero, non vi preoccupate! Vediamo adesso una spiegazione più geometrica, e quindi più visiva, su cosa siano i multipli di un numero:

Poniamo che io disegna un mattoncino sul mio quaderno lungo $\displaystyle { 3 }$ quadretti:

Se io prendo $\displaystyle { 2 }$ mattoncini fatti così e li metto uno dopo l'altro, ottengo un unico mattoncino lungo $\displaystyle { 6 }$ quadretti:

Se invece metto $\displaystyle { 3 }$ mattoncini, ne ottengo uno da $\displaystyle { 9: }$

Cioè ogni volta che aggiungo un mattoncino, sto aggiungendo $\displaystyle { 3 }$ quadratini. Quindi se lo faccio $\displaystyle { 3 }$ volte, faccio $\displaystyle { 3+3+3, }$ cioè $\displaystyle { 3\times 3. }$

Quindi per ottenere il numero di mattoncini totale devo fare la lunghezza del mattoncino per il numero di mattoncini che uso.

I multipli sono dunque tutte le lunghezze dei mattoncini che posso ottenere. Cioè sono tutti quei mattoncini che sono una combinazione del mattoncino.

Infatti, $\displaystyle { 10 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 5 }$ perché un mattoncino da $\displaystyle { 10 }$ lo ottengo da due mattoncini da $\displaystyle { 5. }$

Mentre $\displaystyle { 7 }$ non è un multiplo di $\displaystyle { 2 }$ perché se uso solo mattoncini lunghi $\displaystyle { 2 }$ quadretti, è impossibile disegnarne uno lungo $\displaystyle { 7. }$

Quindi un numero è un multiplo di un altro se lo puoi ottenere sommando più volte quest'ultimo a sé stesso (ovvero moltiplicandolo per un numero naturale).

Potreste, però, avere una domanda: se io prendo, per esempio $\displaystyle { 5, }$ e lo moltiplico per $\displaystyle { 3 }$ ottengo $\displaystyle { 15, }$ quindi $\displaystyle { 15 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 5. }$ Però anche se faccio $\displaystyle { 3\times 5 }$ ottengo $\displaystyle { 15, }$ quindi $\displaystyle { 15 }$ di chi è multiplo, di $\displaystyle { 5 }$ o di $\displaystyle { 3? }$

La risposta è che lo è di entrambi! Infatti un numero può essere un multiplo di più numeri, basta che sia divisibile per essi. Quindi, $\displaystyle { 12 }$ è un multiplo sia di $\displaystyle { 2 }$ che di $\displaystyle { 3, }$ ma anche di $\displaystyle { 4, }$ di $\displaystyle { 6 }$ e di $\displaystyle { 12 }$ (e anche di $\displaystyle { 1 }$ ).

Quindi, se avete capito cosa sia un multiplo di un numero, per voi sarà facilissimo capire cosa sia un divisore:

Divisori

Come abbiamo fatto nel capitolo precedente, vediamo prima la definizione e poi vediamo degli esempi per chiarire meglio:

Un numero è un divisore di un altro numero se la loro divisione da un numero intero.

Quindi, $\displaystyle { 5 }$ è un divisore di $\displaystyle { 15, }$ perché $\displaystyle { 15: 5 }$ fa $\displaystyle { 3, }$ che è un numero intero.

$\displaystyle { 3 }$ è un divisore di $\displaystyle { 12 }$ perché $\displaystyle { 12:3 }$ fa $\displaystyle { 4, }$ che è un numero intero.

Mentre $\displaystyle { 2 }$ non è un multiplo di $\displaystyle { 9, }$ perché $\displaystyle { 9:2 }$ fa $\displaystyle { 4,5, }$ che non è un numero intero perché ha la virgola.

Infatti si chiama "divisore" perché "divide" l'altro numero in parti intere.

In altre parole, un numero è un divisore di un altro numero se quest'ultimo è un multiplo del secondo.

Cioè $\displaystyle { 3 }$ è un divisore di $\displaystyle { 12 }$ perché $\displaystyle { 12 }$ è un multiplo di $\displaystyle { 3. }$

Quindi, usando l'esempio dei mattoncini che avevamo utilizzato prima, un numero è un divisore di un altro numero più grande se posso dividere il mattoncino grande in mattoncini della lunghezza del divisore.

Infatti posso dividere un mattoncino lungo $\displaystyle { 12 }$ quadratini in $\displaystyle { 4 }$ mattoncini da $\displaystyle { 3 }$ quadratini:

Quindi, ad esempio, i divisori di $\displaystyle { 36 }$ saranno $\displaystyle { 1,2,3,4,6,9,12,18 }$ e $\displaystyle { 36. }$

Forse avete già notato che ci sono numeri con tantissimi divisori, come $\displaystyle { 12 }$ e $\displaystyle { 36, }$ mentre ce ne sono alcuni che ne hanno pochissimi, come $\displaystyle { 2, }$ $\displaystyle { 5 }$ e $\displaystyle { 11. }$

I numeri che hanno come divisori solo $\displaystyle { 1 }$ e loro stessi sono chiamati numeri primi.

Quindi, ad esempio, alcuni numeri primi sono $\displaystyle { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 }$ e poi ce ne sono infiniti altri. I numeri primi sono molto importanti in matematica e tra poco li rincontrerete, quindi è bene capire cosa siano.