La distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li unisce nel piano cartesiano. Il punto medio è il punto del segmento che si trova esattamente a metà tra i due estremi.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Distanza tra due punti | Misura la lunghezza del segmento che unisce due punti nel piano | |
| Punto medio | È il punto del segmento che divide il segmento in due parti uguali | |
| Distanza dall'origine | È un caso particolare della formula generale con un estremo in | |
| Distanza in 3D | Si usa quando i punti hanno tre coordinate | |
| Applicazione: perimetro | Si ottiene sommando le distanze dei lati di un poligono nel piano | |
| Applicazione: allineamento | Tre punti sono allineati se le distanze risultano compatibili con il segmento tra due di essi | Confronto tra le distanze calcolate |
Si cerca una misura precisa per stabilire quanto due punti del piano siano lontani.
La distanza è cioè la lunghezza del segmento che unisce due punti.
Il problema nasce perché nel piano le coordinate non danno subito la lunghezza del segmento.
Si deve quindi trasformare un problema geometrico in un calcolo algebrico.
Questo avviene usando differenze di coordinate e il teorema di Pitagora, cioè il risultato che lega i lati di un triangolo rettangolo.
Per esempio, tra i punti e , si ha .
Il punto medio è il punto del segmento che sta esattamente a metà tra gli estremi.
Il punto medio è cioè il punto equidistante dagli estremi del segmento.
Per esempio, tra e , il punto medio è , perché e .
La formula della distanza nasce da un triangolo rettangolo costruito con i due punti e le loro proiezioni sugli assi.
Si considera la differenza orizzontale e la differenza verticale .
Per esempio, se e , allora .
Per esempio, con gli stessi punti si ottiene .
Il segmento cercato è l’ipotenusa del triangolo rettangolo costruito con questi due cateti.
Per esempio, con e , si ha .
Questa è la formula finale nel piano cartesiano. Con gli stessi punti dell’esempio si ottiene ancora .
Il punto medio serve quando si vuole trovare il centro di un segmento nel piano.
Si può immaginare il segmento come un’asta rigida. Il punto medio è il suo equilibrio.
Le coordinate del punto medio si ottengono facendo la media delle coordinate degli estremi.
Per esempio, tra e , si ha .
Si verifica anche che la distanza da ad è uguale alla distanza da a .
Per esempio, con , e , si ottiene la stessa distanza da entrambi i lati.
Quando uno dei due punti è l’origine, la formula si semplifica molto.
L’origine è cioè il punto .
Per esempio, la distanza tra e è .
Nel piano, questa formula misura direttamente la lunghezza del segmento che parte dall’origine.
Un’altra applicazione è il perimetro di un poligono, cioè la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.
Per esempio, se un triangolo ha lati lunghi , e , allora il perimetro è .
La distanza tra due punti serve anche per controllare se tre punti sono allineati, cioè se stanno sulla stessa retta.
Si calcolano due pendenze oppure si confrontano le aree dei triangoli costruiti con quei punti.
Per esempio, se l’area risulta , i tre punti sono allineati.
La formula della distanza si estende anche nello spazio.
Si aggiunge la terza coordinata , cioè la quota del punto nello spazio.
Per esempio, tra e , si ha .
Il caso in tre dimensioni usa la stessa idea del piano, ma con tre differenze coordinate invece di due.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con punti A(x1,y1) e B(x2,y2), segmenti tratteggiati verso le proiezioni sugli assi, triangolo rettangolo evidenziato con cateti Δx e Δy, ipotenusa d, assi x e y etichettati, punto medio M sul segmento AB.]
In sintesi, si misurano segmenti, si trova il centro di un segmento e si estende la stessa logica dallo spazio bidimensionale a quello tridimensionale.
La distanzatra due punti, cioè la lunghezza del segmento che li unisce nel piano cartesiano, si indica con .
Si chiamano e le coordinate del primo punto, e e quelle del secondo punto.
Si considerino i punti e .
Si ottiene .La distanza è quindi unità di lunghezza.
Il punto medio, cioè il punto del segmento equidistante dagli estremi, si calcola facendo la media delle coordinate corrispondenti.
Se il segmento ha estremi e , allora il punto medio è .
Si considerino e .
Si ottiene .Le coordinate medie sono e .
Questo è il caso particolare della distanza dall'origine, cioè dal punto .
Se un punto è , allora .
Si consideri il punto .
Si calcola .Il punto dista unità dall'origine.
In 3D, cioè nello spazio, si aggiunge la differenza tra le coordinate .
La formula usa tre differenze al quadrato e restituisce la distanza nello spazio.
Si prendano e .
Si ottiene .La distanza nello spazio è quindi unità di lunghezza.
La formula deriva dal teorema di Pitagora, cioè la relazione tra i cateti e l'ipotenusa in un triangolo rettangolo.
Si costruisce un triangolo rettangolo con cateti pari alle differenze delle coordinate. L'ipotenusa è la distanza cercata.
Si usino le differenze e .
Si ottiene .L'ipotenusa misura unità.
Si calcoli la distanza tra e .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con i punti A(1,2) e B(5,5), segmento AB tracciato, proiezione orizzontale e verticale con cateti etichettati 4 e 3.]
I dati sono le coordinate dei due punti. L'incognita è la lunghezza del segmento . Si usa il teorema di Pitagora, cioè il legame tra ipotenusa e cateti in un triangolo rettangolo.
Si calcolano le differenze tra le coordinate corrispondenti: e .
Nel caso proposto si ottiene .
La distanza tra i due punti è 5 unità di misura.
Errore comune: sottrarre le coordinate senza elevare al quadrato i risultati.
Si trovino le coordinate del punto medio del segmento con estremi e .
I dati sono le coordinate degli estremi. L'incognita è il punto medio . Si usa la media aritmetica delle coordinate, cioè la somma delle ascisse e delle ordinate divisa per 2.
Si calcola la coordinata del punto medio: .
Si calcola la coordinata del punto medio: .
Il punto medio è .
Errore comune: dividere prima le coordinate e poi sommare i risultati.
Si determini la distanza del punto dall'origine .
Si tratta di un caso particolare della formula della distanza tra due punti. Uno dei due punti è l'origine, cioè il punto .
Le differenze coordinate sono e .
Sostituendo si ottiene .
La distanza dall'origine è 5.
Errore comune: dimenticare le parentesi quando una coordinata è negativa.
Si calcoli la distanza tra i punti e nello spazio.
[IMMAGINE: Assi cartesiani tridimensionali con i punti A(1,2,3) e B(4,6,3), segmento AB e proiezioni sui tre assi evidenziate.]
I dati sono tre coordinate per punto. L'incognita è la distanza spaziale tra e . Si estende il teorema di Pitagora ai tre assi.
Si calcolano le differenze: , e .
Nel caso proposto si ottiene .
La distanza nello spazio è 5 unità di misura.
Errore comune: usare la formula del piano e dimenticare la terza coordinata.
Si sottraggono le coordinate e si scrive .
Si usa la formula di distanza: .
La distanza non è una somma algebrica delle differenze. Si devono elevare al quadrato le differenze e poi estrarre la radice. Questo evita anche i problemi di segno.
Nel punto medio si divide una sola coordinata per , ottenendo .
Il punto medio è .
Il punto medio, cioè il punto equidistante dagli estremi del segmento, si calcola facendo la media di entrambe le coordinate. Se si divide una sola coordinata, il punto non resta al centro del segmento.
Per la lunghezza di un segmento nel piano si usa solo la differenza sulle ascisse, cioè .
Si considera lo spostamento in entrambe le direzioni con .
La lunghezza di un segmento, cioè la distanza tra due punti, dipende da orizzontale e verticale insieme. Usare una sola coordinata funziona solo nei segmenti paralleli agli assi.
Si pensa che il punto medio sia il punto che ha coordinate medie, ma con ordine sbagliato o con segni non corretti.
Si definisce il punto medio come il punto che divide il segmento in due parti uguali: .
Il punto medio, cioè il centro del segmento, non dipende dal verso con cui si leggono gli estremi. Si controlla sempre che la distanza da e da sia la stessa.
In 3D si applica ancora la formula del piano, ignorando la coordinata .
In 3D si usa .
Nel piano ci sono due coordinate, mentre nello spazio ce ne sono tre. Se si trascura , la distanza risulta più piccola di quella reale. La formula completa nasce dall’estensione del teorema di Pitagora.
La distanza tra due punti si calcola con la formula derivata dal teorema di Pitagora. Se i punti sono e , allora la distanza è = .
Per esempio, tra e si ottiene .
La formula del punto medio è la media delle coordinate dei due estremi del segmento. Se i punti sono e , il punto medio è .
Per esempio, tra e si ha .
La lunghezza di un segmento nel piano si trova calcolando la distanza tra i suoi estremi. Si usano le coordinate dei due punti e si applica la formula della distanza.
Per esempio, se gli estremi sono e , allora la lunghezza vale .
Il punto medio è il punto del segmento che si trova esattamente a metà tra i due estremi. Le sue coordinate si ottengono facendo la media delle coordinate di partenza.
Per esempio, tra e il punto medio è .
La distanza tra due punti in 3D si calcola estendendo la formula del piano alla coordinata . Se i punti sono e , allora la distanza è = .
Per esempio, tra e si ottiene .
La distanza di un punto dall'origine si ottiene con la formula generale, ponendo l'origine in . Per un punto , la distanza dall'origine è .
Per esempio, per si ha .
Il perimetro di un poligono nel piano si trova sommando le distanze tra tutti i vertici consecutivi. Ogni lato si misura con la formula della distanza tra due punti.
Per esempio, in un triangolo con vertici , e , si calcolano i tre lati e poi si sommano.
