Disequazioni lineari a due incognite

Cosa sono?

Le disequazioni lineari a due incognite sono delle disequazioni in cui appaiono due incognite (solitamente $\displaystyle { x }$ ed $\displaystyle { y) }$ di primo grado.

Ecco alcuni esempi di disequazioni lineari a due incognite:

• $\displaystyle { 3x + 2y>0 }$

• $\displaystyle { x+4y<-1 }$

• $\displaystyle { 13x \geq 3y + 17 }$

Mentre non sono disequazioni lineari a due incognite le seguenti:

• $\displaystyle { 10x>90 }$ perché compare una sola incognita

• $\displaystyle { xy > 8 }$ perché appare un termine di secondo grado ( $\displaystyle { xy }$ , avendo due incognite moltiplicate, conta come secondo grado in questo caso)

• $\displaystyle { y^3 + x > 7 }$ perché non tutte le incognite sono di primo grado.

Come risolverle

Per risolvere una disequazione di secondo grado, dobbiamo trovare tutte le coppie ordinate di numeri $\displaystyle { (x,y) }$ che la soddisfano.

Una coppia di punti soddisfa la disequazione se sostituendo i corrispettivi valori la disequazione è verificata.

Se ad esempio abbiamo la disequazione $\displaystyle { 2x > 3y + 1, }$ la coppia $\displaystyle { (10;1) }$ è una soluzione, perché $\displaystyle { 20> 3+1. }$

Notiamo che possiamo collegare ogni coppia ordinata di numeri ad un punto nel piano cartesiano. Ci basta infatti prendere il punto che ha come ascissa il primo numero della coppia e come ordinata il secondo numero.

La coppia $\displaystyle { (10;1) }$ viene quindi associata al punto $\displaystyle { P }$ di coordinate $\displaystyle { (10;1): }$

Ora isoliamo la $\displaystyle { y }$ nella disequazione.

Nel nostro caso avremo:

$\displaystyle { -3y> 1-2x }$

$\displaystyle { y< {2\over 3}x-{1\over 3} }$

Ora vediamo cosa succede quando abbiamo l'uguaglianza invece del minore:

$\displaystyle { y = {2\over 3} x - {1\over 3} }$

Si tratta dell'equazione di una retta. Se infatti andiamo a colorare tutti i punti che soddisfano quest'equazione otteniamo:

Le $\displaystyle { y }$ che verificano l'uguaglianza, quindi, si trovano sulla retta. Se chiediamo di trovare le $\displaystyle { y }$ minori ad essa, ci basta prendere le $\displaystyle { y }$ che "stanno più in basso" nel piano.

Quindi, nel nostro caso, le soluzioni alla disequazione sono tutti i punti che si trovano nel semipiano sotto alla retta $\displaystyle { y={2\over 3}x -{1\over 3}: }$

Notate che infatti il punto $\displaystyle { (10;1) }$ si trova in questa parte di piano:

Quindi, tutto quello che dobbiamo fare per risolvere questo tipo di disequazioni è isolare la $\displaystyle { y }$ e guardare alla retta associata.

A seconda del segno della disequazione, prenderemo il semipiano che si trova sopra o sotto della retta associata.

• Se abbiamo $\displaystyle { <, }$ prendiamo i valori minori, quindi prenderemo il semipiano sotto la retta.

• Se abbiamo $\displaystyle { >, }$ prendiamo i valori maggiori, dunque prenderemo il semipiano sopra la retta.

• Se abbiamo $\displaystyle { \leq, }$ prenderemo i valori minori o uguali, quindi prenderemo il semipiano sotto la retta ed anche la retta, perché pure l'uguaglianza va bene.

• Se infine abbiamo $\displaystyle { \geq, }$ prenderemo i valori maggiori o uguali, dunque prenderemo il semipiano sopra la retta ed anche la retta perché pure in questo caso ve bene l'uguaglianza.