Due triangoli sono congruenti quando hanno la stessa forma e le stesse dimensioni. In questo caso, lati e angoli corrispondenti sono uguali.
| Criterio | Dati necessari | Conclusione |
|---|---|---|
| 1° criterio: LAL | Un lato e i due angoli adiacenti, cioè gli angoli che stanno ai lati del lato. | Due triangoli sono congruenti, cioè hanno stessa forma e stesse dimensioni. |
| 2° criterio: LLL | I tre lati corrispondenti sono uguali. | Due triangoli sono congruenti. |
| 3° criterio: ALA | Due lati e l’angolo compreso, cioè l’angolo tra i due lati. | Due triangoli sono congruenti. |
| Triangoli rettangoli | Ipotenusa e un cateto corrispondenti. | Due triangoli rettangoli sono congruenti. |
| Congruenza | Stessa forma e stesse dimensioni. | Le parti corrispondenti risultano uguali. |
I criteri di congruenza, cioè le regole che permettono di stabilire se due triangoli coincidono per forma e dimensioni, servono a dimostrare uguaglianze senza misurare tutto il disegno.
Due triangoli congruenti sono sovrapponibili. Se uno si appoggia sull'altro, tutti i lati e tutti gli angoli coincidono.
Questo risultato è utile perché permette di passare da un disegno a una prova. Si usa nelle dimostrazioni geometriche e nei problemi con figure simmetriche.
Per esempio, se si scrive , si conclude che i lati corrispondenti sono uguali. Se , allora anche .
L'idea è semplice. Non serve confrontare tutti gli elementi uno per uno. Bastano alcuni dati ben scelti, perché il triangolo ha proprietà molto rigide.
[IMMAGINE: Due triangoli sovrapposti sul piano cartesiano, uno azzurro e uno arancione, con lati corrispondenti colorati allo stesso modo. Etichette: A, B, C e A', B', C'. Frecce che indicano la sovrapposizione e la scritta ≅ tra i due triangoli.]
La congruenza è una relazione geometrica, cioè un confronto tra figure che ne verifica la stessa forma e le stesse dimensioni.
Nel caso dei triangoli, la congruenza significa che esiste una corrispondenza precisa tra vertici, lati e angoli. Ogni elemento di un triangolo trova il suo pari nell'altro.
Per esempio, se , allora si ha , , e anche gli angoli corrispondenti sono uguali.
La scrittura con il simbolo ≅ indica proprio questa sovrapposizione perfetta.
Per esempio, due triangoli con lati 3 cm, 4 cm e 5 cm sono congruenti se hanno gli stessi tre lati in corrispondenza. In tal caso, la loro forma è identica.
Il primo criterio si basa sull'idea che un lato e i due angoli vicini fissano completamente un triangolo.
LAL significa lato-angolo-lato, cioè un lato e i due angoli adiacenti a quel lato.
Se due triangoli hanno un lato uguale e i due angoli a esso adiacenti uguali, allora sono congruenti.
Per esempio, se , e , il lato resta bloccato tra due angoli già fissati. Un secondo triangolo con gli stessi dati risulta congruente.
Questo criterio è molto usato nelle dimostrazioni. Si riconosce un triangolo quando si conosce un lato e la sua apertura angolare ai due estremi.
Si considerino due triangoli con un lato di 7 cm e con gli angoli adiacenti di 35° e 80°.
Si confrontano i dati corrispondenti. Il lato coincide. Anche i due angoli coincidono.
I due triangoli sono quindi congruenti per il criterio LAL.
Il secondo criterio usa i tre lati. Se tre lati di un triangolo sono rispettivamente uguali ai tre lati di un altro, i triangoli sono congruenti.
LLL significa lato-lato-lato, cioè uguaglianza dei tre lati corrispondenti.
Questo criterio funziona perché tre lati fissano completamente la forma del triangolo. Non resta libertà di deformazione.
Per esempio, se un triangolo ha lati 4 cm, 5 cm e 6 cm, e un secondo triangolo ha gli stessi tre valori, allora i due triangoli sono congruenti.
Si può verificare con il confronto diretto. Se ogni coppia di lati corrispondenti è uguale, la sovrapposizione è possibile.
Il terzo criterio si basa su due lati e sull'angolo compreso. L'angolo compreso, cioè l'angolo tra i due lati dati, è decisivo.
ALA significa angolo-lato-angolo, ma nella scuola media si incontra spesso anche la scrittura inversa con lato-angolo-lato, a seconda dell'ordine dei dati.
Se due lati e l'angolo compreso di un triangolo sono uguali ai corrispondenti dati di un secondo triangolo, i triangoli sono congruenti.
Per esempio, se , e , il triangolo è determinato. Un secondo triangolo con gli stessi dati è congruente.
Questo criterio è utile quando si conoscono due lati adiacenti a un angolo già misurato. Si osserva così un blocco geometrico completo.
Nei triangoli rettangoli, cioè i triangoli con un angolo di 90°, esiste un criterio particolare molto frequente.
Il criterio dice che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno uguali l'ipotenusa e un cateto, cioè uno dei due lati che formano l'angolo retto.
Per esempio, se due triangoli rettangoli hanno ipotenusa di 10 cm e un cateto di 6 cm, allora sono congruenti. L'altro cateto risulta determinato automaticamente.
Questo criterio è molto utile perché nei triangoli rettangoli basta meno informazione rispetto ai casi generali.
Si considerino due triangoli rettangoli con ipotenusa 13 cm e cateto 5 cm.
Si applica il criterio ipotenusa-cateto.
I triangoli sono congruenti, quindi anche l'altro cateto coincide.
Nelle dimostrazioni, la congruenza serve per trasferire informazioni da un triangolo all'altro. Se due triangoli sono congruenti, allora si possono uguagliare lati e angoli corrispondenti.
Si procede di solito in tre passi. Prima si riconoscono i dati uguali. Poi si sceglie il criterio giusto. Infine si conclude l'uguaglianza degli elementi richiesti.
Per esempio, se in un quadrilatero una diagonale divide la figura in due triangoli con due lati e l'angolo compreso uguali, i due triangoli sono congruenti. Da qui si ricavano altre uguaglianze utili.
In un problema, questo metodo evita calcoli lunghi. La congruenza fornisce una prova diretta e molto potente.
Per esempio, se due triangoli del rombo sono congruenti, i lati opposti del rombo risultano uguali. Da qui nasce una dimostrazione geometrica completa.
Per scegliere il criterio corretto, si osservano prima i dati disponibili. Poi si controlla se formano una combinazione completa per un triangolo.
Se sono dati tre lati, si usa LLL. Se sono dati due lati e l'angolo compreso, si usa ALA. Se sono dati un lato e i due angoli adiacenti, si usa LAL.
La scelta corretta dipende dalla posizione dei dati. Non conta solo il numero delle misure. Conta anche il modo in cui sono disposte nel triangolo.
Per esempio, se in un esercizio si conoscono due lati e l'angolo tra essi, il criterio giusto non è LLL ma ALA. L'informazione centrale è l'angolo compreso.
Questa osservazione aiuta anche nelle domande frequenti: i criteri di congruenza principali sono tre, più il caso speciale dei triangoli rettangoli.
I triangoli congruenticioè triangoli che hanno la stessa forma e le stesse dimensioni, si indicano con il simbolo quando i lati e gli angoli corrispondenti coincidono.
La congruenza cioè l'uguaglianza di forma e di misura, permette di trasferire una misura da un triangolo all'altro nelle dimostrazioni geometriche.
Nella scrittura si legge che il triangolo è congruente al triangolo secondo l'ordine dei vertici corrispondenti.
Si considerino due triangoli con lati corrispondenti 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Il primo triangolo ha lati . Il secondo ha gli stessi tre lati.
Poiché i lati corrispondenti sono uguali, i due triangoli sono congruenti.
Il 1° criterio di congruenza cioè funziona quando un lato e i due angoli adiacenti determinano un solo triangolo.
La sigla significa lato-angolo-lato. Gli angoli devono essere adiacenti al lato considerato.
Si confrontano due triangoli con un lato di 6 cm e due angoli adiacenti di 40° e 70°.
Le misure note sono , e .
Se i dati corrispondenti coincidono, il criterio LAL garantisce la congruenza.
Il 2° criterio di congruenza cioè afferma che tre lati corrispondenti uguali determinano triangoli congruenti.
La sigla significa lato-lato-lato. Si confrontano solo le tre misure dei lati.
Due triangoli hanno lati 5 cm, 7 cm e 8 cm.
Entrambi presentano i lati .
Se i tre lati corrispondenti sono uguali, la congruenza è verificata.
Il 3° criterio di congruenza cioè usa due lati e l'angolo compreso tra essi.
La sigla significa lato-angolo-lato. L'angolo deve essere compreso fra i due lati noti.
Si considerino due triangoli con lati 4 cm e 9 cm e angolo compreso di 50°.
Le misure note sono , e .
Con due lati e l'angolo compreso uguali, i triangoli risultano congruenti.
Nel caso dei triangoli rettangoli cioè triangoli con un angolo retto, vale un criterio speciale: ipotenusa e cateto corrispondenti.
L'ipotenusa cioè il lato opposto all'angolo retto, e un cateto corrispondente bastano per stabilire la congruenza.
Due triangoli rettangoli hanno ipotenusa 10 cm e un cateto 6 cm.
Le misure corrispondenti sono e .
Il criterio speciale consente di concludere la congruenza senza misurare il terzo lato.
Nelle dimostrazioni geometriche si usa la congruenza per confrontare segmenti, angoli e aree in modo rigoroso.
Se due triangoli sono congruenti, allora i loro lati corrispondenti e i loro angoli corrispondenti sono uguali.
Per questo i criteri di congruenza sono uno strumento fondamentale nei problemi di geometria euclidea.
Dati due triangoli, si verificano due angoli adiacenti e il lato compreso rispettivamente uguali. Stabilire se i triangoli sono congruenti.
[IMMAGINE: Due triangoli ABC e DEF. Sono evidenziati AB = DE, angolo A = angolo D e angolo B = angolo E. Indicare il lato compreso tra i due angoli.]
Si considerano i dati noti. Il lato compreso è il lato che si trova tra i due angoli dati. Il problema chiede di applicare il 1° criterio di congruenza cioè LAL.
Nel primo triangolo si hanno un lato e i due angoli adiacenti. Nel secondo triangolo si hanno gli stessi elementi corrispondenti. Questo è il caso tipico del criterio LAL.
Se due triangoli hanno un lato e i due angoli adiacenti rispettivamente congruenti, allora i triangoli sono congruenti.
Poiché i dati coincidono, i due triangoli sono congruenti per il primo criterio.
Errore comune: confondere il lato compreso con uno qualsiasi dei lati del triangolo.
Due triangoli hanno rispettivamente uguali tutti e tre i lati. Stabilire se sono congruenti e indicare il criterio usato.
[IMMAGINE: Due triangoli con tre coppie di lati corrispondenti segnate uguali. Etichette dei lati con tacche uguali.]
I dati sono tre coppie di lati uguali. La richiesta riguarda il 2° criterio di congruenza cioè LLL.
Si confrontano i tre lati corrispondenti. Se tutte le lunghezze coincidono, i triangoli hanno stessa forma e stesse dimensioni.
Il criterio LLL afferma che, se tre lati di un triangolo sono rispettivamente congruenti ai tre lati di un altro triangolo, i due triangoli sono congruenti.
Quindi i triangoli sono congruenti per il secondo criterio.
Errore comune: dimenticare di verificare tutte e tre le coppie di lati.
In un esercizio si sa che due lati di un triangolo sono uguali a due lati di un altro triangolo e che l'angolo compreso è uguale. Stabilire la congruenza.
[IMMAGINE: Due triangoli con due lati corrispondenti uguali e l'angolo compreso evidenziato in entrambe le figure. Indicare i lati e l'angolo compreso.]
I dati sono due lati e l'angolo compreso. Questo corrisponde al 3° criterio di congruenza cioè ALA.
L'angolo compreso è l'angolo formato dai due lati considerati. Non si deve usare un angolo qualunque del triangolo.
Quando due lati e l'angolo compreso di un triangolo sono rispettivamente congruenti a due lati e all'angolo compreso di un altro triangolo, i triangoli sono congruenti.
Si conclude che i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio.
Errore comune: scambiare l'angolo compreso con un angolo non compreso tra i due lati.
Due triangoli rettangoli hanno rispettivamente congruenti l'ipotenusa e un cateto. Stabilire se sono congruenti.
[IMMAGINE: Due triangoli rettangoli con angolo retto evidenziato. In ciascuno sono segnati l'ipotenusa e un cateto corrispondente uguali.]
Il caso è speciale perché i triangoli sono rettangoli. In questo contesto si usa il criterio ipotenusa-cateto, cioè il criterio dedicato ai triangoli rettangoli.
Si confrontano l'ipotenusa e un cateto corrispondente. Se sono congruenti, i due triangoli rettangoli sono determinati in modo univoco.
Nel triangolo rettangolo, ipotenusa e un cateto bastano per stabilire la congruenza del triangolo.
Di conseguenza, i triangoli sono congruenti per il caso speciale ipotenusa-cateto.
Errore comune: applicare questo criterio a triangoli non rettangoli.
Dire che due triangoli sono congruenti perché hanno solo gli angoli uguali.
Due triangoli sono congruenti se hanno la stessa forma e le stesse dimensioni.
La sola uguaglianza degli angoli garantisce soltanto la somiglianza, cioè la stessa forma. Per la congruenza servono anche le stesse misure dei lati.
Pensare che esistano quattro o cinque criteri di congruenza.
I criteri di congruenza fondamentali sono tre: LAL, LLL e ALA.
Il numero dei criteri va memorizzato in modo preciso. In alcuni problemi compare anche il caso dei triangoli rettangoli, ma si tratta di un criterio speciale.
Affermare che il primo criterio sia LLL.
Il primo criterio è LAL, cioè lato-angolo-lato, con l'angolo compreso tra i due lati.
L'ordine conta molto. Nel primo criterio si controllano due lati e l'angolo tra essi, non i tre lati.
Usare il terzo criterio con due lati e un angolo qualsiasi.
Il terzo criterio è ALA, cioè angolo-lato-angolo, con il lato compreso tra i due angoli.
Il lato deve essere quello tra i due angoli dati. Se il lato non è compreso, il criterio non è applicabile in modo diretto.
Confondere LAL con LLA o scrivere LLA come criterio valido generale.
I criteri corretti sono LAL, LLL e ALA; LLA non è un criterio generale di congruenza.
L'ordine dei dati è essenziale. Se i dati non corrispondono a uno dei tre casi validi, non si può concludere la congruenza.
Concludere subito che due triangoli sono congruenti senza controllare tutti i dati richiesti.
Si deve verificare che i dati siano esattamente quelli del criterio scelto e che corrispondano tra i due triangoli.
L'errore nasce spesso dalla fretta. In geometria, una sola informazione mancante o scambiata rende la dimostrazione incompleta.
Due triangoli sono congruenti quando hanno la stessa forma e le stesse dimensioni.
In geometria, congruente cioè sovrapponibile indica che ogni lato e ogni angolo corrispondente coincidono.
Esistono tre criteri di congruenza dei triangoli.
Si usano per stabilire se due triangoli sono congruenti senza misurare tutti gli elementi uno per uno.
Il primo criterio è il criterio LAL, cioè lato-angolo-lato.
Due triangoli sono congruenti se hanno un lato, l'angolo adiacente e l'altro lato rispettivamente congruenti.
Il terzo criterio si usa confrontando due lati e l'angolo compreso tra essi.
Se due triangoli hanno questi tre elementi corrispondenti congruenti, allora i triangoli sono congruenti.
I criteri corretti sono LAL, LLL e ALA.
LAL significa lato-angolo-lato, LLL significa lato-lato-lato, ALA significa angolo-lato-angolo.
LLA non è un criterio generale di congruenza dei triangoli nella geometria euclidea scolastica.
Sì, per i triangoli rettangoli esiste il criterio ipotenusa-cateto.
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti l'ipotenusa e un cateto corrispondente.
Si dimostra verificando uno dei criteri di congruenza.
Prima si individuano gli elementi corrispondenti, poi si controlla se valgono LAL, LLL, ALA oppure il caso dei triangoli rettangoli.
