Il cono è un solido di rotazione, cioè un solido ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno a un suo cateto. Ha una base circolare, un raggio , un'altezza e un'apotema .
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Apotema | Segmento obliquo della superficie laterale che unisce il vertice a un punto della circonferenza di base | |
| Raggio | Raggio della base circolare del cono | |
| Altezza | Distanza tra vertice e centro della base | |
| Superficie laterale | Area della parte curva del cono | |
| Superficie totale | Area laterale più area della base | |
| Volume | Spazio occupato dal cono | |
| Cono | Solido di rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto |
Il cono, cioè il solido ottenuto facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno a un suo cateto, serve a modellare oggetti con base circolare e punta unica.
Si osserva che questa costruzione produce una figura con una base piana e una superficie curva laterale. L'idea geometrica nasce per descrivere corpi come un cappello a punta o un imbuto.
Gli elementi principali sono il raggio , l'altezza , l'apotema e il vertice. Il raggio misura la base, l'altezza misura la distanza perpendicolare tra vertice e base.
L'apotema, cioè il segmento obliquo che unisce il vertice a un punto della circonferenza di base, descrive la generatrice della superficie laterale.
Per esempio, se cm e cm, allora , quindi cm.
[IMMAGINE: Disegno di un cono retto in sezione: base circolare, vertice sopra il centro, raggio r sulla base, altezza h perpendicolare alla base, apotema a sul lato obliquo. Etichette chiare per r, h, a e vertice.]
La superficie laterale, cioè l'area della parte curva del cono, si studia per sapere quanto materiale serve a rivestire il mantello del solido.
Si ottiene immaginando di aprire il mantello: la superficie diventa un settore circolare. Da questa idea nasce la formula dell'area laterale.
Per esempio, con cm e cm, si ha cm, cioè circa cm.
La formula dipende da e , non da , perché la superficie laterale segue il lato obliquo del solido.
La superficie totale, cioè l'area complessiva del cono, si ottiene sommando la superficie laterale e l'area della base.
La formula si può leggere anche come somma di due pezzi: base più mantello. Questa scrittura è utile perché raccoglie i termini in modo compatto.
Per esempio, se cm e cm, allora cm, cioè circa cm.
Si può verificare il risultato sommando separatamente base e laterale: . Le due strade portano allo stesso valore.
Il volume, cioè lo spazio occupato dal solido, si studia per confrontare la capienza di recipienti con forma conica.
Il cono occupa un terzo del cilindro che ha la stessa base e la stessa altezza. Questa è la ragione della formula del volume.
Per esempio, con cm e cm, si ottiene cm, cioè circa cm.
Per rispondere alla domanda su come si calcola il volume di un cono, si usa sempre il raggio della base e l'altezza perpendicolare.
Per esempio, se una base ha raggio cm e altezza cm, allora cm, cioè circa cm.
L'altezza, cioè il segmento perpendicolare alla base, e l'apotema, cioè il segmento obliquo della superficie laterale, non coincidono.
Questa differenza è importante perché ogni grandezza entra in formule diverse. L'altezza serve per il volume, mentre l'apotema serve per le superfici.
Per esempio, se cm e cm, allora , quindi cm.
[IMMAGINE: Schema con due coni uguali affiancati: nel primo sono evidenziati r e h, nel secondo a. Frecce esplicative mostrano che r e h determinano a tramite il teorema di Pitagora. Include legenda: base, vertice, altezza, apotema.]
Il cono, cioè il solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto, si studia tramite grandezze geometriche precise.
Le grandezze fondamentali sono il raggio , l'altezza , l'apotema , la superficie laterale , la superficie totale e il volume .
La relazione lega apotema, raggio e altezza. Essa deriva dal triangolo rettangolo interno al cono.
Per esempio, se e , allora perché .
Si consideri un cono con e .
L'apotema misura .
La superficie laterale, cioè la parte curva del cono, dipende dal raggio e dall'apotema.
Si ottiene una misura di area. L'unità di misura è se le lunghezze sono in .
Si prenda un cono con e .
Si ha .
La superficie totale, cioè l'area complessiva del cono, si ottiene sommando la base e la superficie laterale.
In forma equivalente si scrive .
Si consideri un cono con e .
Si ottiene .
Il volume, cioè lo spazio occupato dal solido, dipende dalla base circolare e dall'altezza.
L'unità di misura è se e sono espressi in .
Si consideri un cono con e .
Si ha .
La differenza tra altezza e apotema è essenziale. L'altezza è perpendicolare alla base. L'apotema è obliquo sulla superficie laterale.
Non si confonde mai con . La prima misura la distanza dal vertice al piano di base. La seconda misura il lato inclinato del cono.
Per ricavare un dato mancante, si usano le forme inverse. Da si ottiene oppure .
Si consideri e .
L'altezza del cono risulta .
Calcolare il volume di un cono con raggio = 3 cm e altezza = 8 cm.
[IMMAGINE: Cono retto con base circolare. Indicare il raggio r sulla base, l'altezza h interna perpendicolare alla base e il vertice in alto.]
Si conoscono il raggio e l'altezza . Si cerca il volume .
Si usa la formula del volume del cono, cioè .
Si calcola prima , poi si moltiplica per .
Il volume vale , cioè circa .
Errore comune: dimenticare il fattore nella formula del volume.
Determinare l'apotema di un cono con raggio = 6 cm e altezza = 8 cm.
[IMMAGINE: Sezione di un cono rettangolo con triangolo rettangolo interno. Indicare il raggio r alla base, l'altezza h verticale e l'apotema a sul lato obliquo.]
Si conoscono il raggio e l'altezza . Si cerca l'apotema .
L'apotema è il lato obliquo del triangolo rettangolo interno. Si usa il teorema di Pitagora, cioè .
Si calcola e .
Si estrae la radice quadrata: .
L'apotema vale 10 cm.
Errore comune: confondere l'apotema con l'altezza del cono.
Calcolare superficie laterale e superficie totale di un cono con = 4 cm e = 7 cm.
Si conoscono il raggio e l'apotema . Si cercano e .
Si usa la formula della superficie laterale, cioè .
Si ottiene .
Per la superficie totale si somma l'area di base. La formula è .
Si calcola , quindi .
La superficie laterale è 28\pi \text{ cm}^2, e la superficie totale è 44\pi \text{ cm}^2.
Errore comune: dimenticare l'area di base nel calcolo della superficie totale.
Un cono ha volume e altezza = 10 cm. Calcolare il raggio.
Si conoscono il volume e l'altezza . Si cerca il raggio .
Si parte dalla formula del volume, cioè .
Si semplifica da entrambi i membri e si moltiplica per 3.
Si ottiene , quindi .
Il raggio vale 3\sqrt{5} \text{ cm}.
Errore comune: cancellare il fattore solo in un membro dell'equazione.
Scrivere per il volume del cono.
Usare .
Il cono occupa un terzo del cilindro con stessa base e stessa altezza. Per evitare l’errore, si ricordi sempre il fattore .
Confondere la superficie laterale con la superficie totale e scrivere .
Per la superficie laterale si usa .
La formula dà la superficie totale, cioè laterale più base. Per la sola parte laterale serve solo il raggio e l’apotema .
Pensare che l’apotema del cono sia l’altezza.
L’apotema è il segmento obliquo che va dal vertice a un punto della circonferenza di base.
L’altezza è perpendicolare alla base, mentre l’apotema è inclinata. L’errore nasce perché entrambe partono dal vertice.
Usare la relazione .
Usare la relazione .
Altezza, raggio e apotema formano un triangolo rettangolo. L’apotema è l’ipotenusa, quindi si applica Pitagora con il segno positivo.
Dire che altezza e apotema sono la stessa misura.
L’altezza è la distanza perpendicolare dal vertice alla base, mentre l’apotema è il lato obliquo del cono.
Le due grandezze hanno ruoli diversi nei calcoli. L’altezza entra nel volume, l’apotema entra nelle superfici.
Calcolare il volume usando l’apotema al posto dell’altezza, cioè .
Usare sempre l’altezza: .
Il volume dipende dall’altezza, non dalla lunghezza obliqua. Per evitare l’errore, si controlli sempre quale misura è richiesta dal testo.
Il volume di un cono si calcola moltiplicando l’area di base per l’altezza e dividendo per tre.
Per esempio, con cm e cm, si ottiene , cioè circa cm³.
La superficie laterale del cono si calcola con il prodotto tra pi greco, raggio e apotema.
Per esempio, con cm e cm, si ha , cioè circa cm².
L’apotema del cono, cioè la generatrice del suo lato obliquo, è il segmento che va dal vertice a un punto della circonferenza di base.
Nella sezione meridiana del cono, l’apotema è il lato obliquo del triangolo rettangolo.
L’altezza è il segmento perpendicolare alla base, mentre l’apotema è il segmento obliquo del lato laterale.
Per esempio, con cm e cm, si ottiene cm.
Un cono è un solido di rotazione, cioè un solido ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno a un suo cateto.
La base è un cerchio e il vertice è il punto opposto alla base.
Per esempio, ruotando un triangolo con cateti cm e cm si ottiene un cono con raggio e altezza legati alla costruzione.
La superficie totale del cono è la somma tra superficie laterale e area della base.
Per esempio, con cm e cm, si ha , cioè circa cm².
L’apotema si trova applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato da raggio, altezza e apotema.
Per esempio, con cm e cm, si ottiene cm.
