Il cilindro è un solido di rotazione, cioè un solido ottenuto facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati. Ha due basi circolari congruenti e una superficie laterale curva.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Base | È un cerchio di raggio . | |
| Superficie laterale | È la parte curva del cilindro. | |
| Superficie totale | Somma delle due basi e della superficie laterale. | |
| Volume | Misura lo spazio occupato dal solido. | |
| Caso numerico | Se e , il volume si calcola sostituendo i valori. |
Il cilindro, cioè un solido con due basi circolari congruenti e parallele, serve a misurare oggetti come tubi, lattine e colonne.
Si usa questo solido perché molte forme reali hanno una sezione circolare costante lungo l’altezza.
In geometria, si studiano il raggio e l’altezza , cioè la distanza tra le due basi.
La base è un cerchio, cioè la figura piana delimitata da una circonferenza.
Per esempio, se cm, si ottiene cm², cioè circa 28,27 cm².
[IMMAGINE: Disegno di un cilindro retto con due basi circolari evidenziate, raggio r segnato su una base, altezza h segnata sul lato verticale, asse centrale tratteggiato e etichette S_base sulle due basi.]
La superficie laterale, cioè la parte curva che unisce le due basi, si capisce meglio se si immagina di aprire il cilindro come un foglio.
Sviluppando la superficie laterale si ottiene un rettangolo, perché il bordo della base diventa una striscia lunga quanto la circonferenza.
Se cm e cm, allora cm², cioè circa 62,8 cm².
Questa formula nasce da , cioè la circonferenza della base, moltiplicata per , cioè la lunghezza del cilindro.
Per esempio, con cm si ha cm.
La superficie totale, cioè l’area di tutta la superficie esterna, si ottiene sommando le due basi e la parte laterale.
Raccogliendo si ottiene la forma più compatta.
Per esempio, se cm e cm, allora cm², cioè circa 131,9 cm².
La superficie totale risulta sempre maggiore della laterale, perché include anche le due basi.
Il volume, cioè lo spazio occupato dal solido, si trova moltiplicando l’area di base per l’altezza.
Se cm e cm, allora cm³, cioè circa 282,6 cm³.
Si può pensare al cilindro come a una pila di dischi sottilissimi, tutti uguali tra loro.
Per questo il volume dipende dalla base e dall’altezza, non dalla sola altezza.
Le formule del cilindro sono collegate tra loro, perché partono tutte dalla base circolare.
In un esercizio, si leggono prima i dati, poi si sceglie la formula giusta, infine si sostituiscono i valori.
Per esempio, se si conoscono cm e cm, si calcola prima l’area di base: cm².
Poi si trova il volume: cm³, cioè circa 301,6 cm³.
Si consideri un cilindro con raggio 2 cm e altezza 8 cm.
Si calcola l’area di base: cm².
Si ottiene quindi una superficie totale di cm² e un volume di cm³.
Il risultato permette di confrontare rapidamente la quantità di materiale necessario e lo spazio interno disponibile.
Il cilindro è quindi un modello semplice, ma molto utile, per collegare area, superficie e volume in un unico solido.
Nelle applicazioni, si usa spesso per contenitori, tubi e serbatoi.
La sua semplicità deriva dal fatto che la base resta uguale lungo tutta l’altezza.
Per questo le formule del cilindro sono tra le prime formule di geometria solida da memorizzare.
Una verifica finale consiste nel controllare che le unità di misura siano coerenti: cm² per le aree e cm³ per il volume.
Nel cilindro si usano grandezze geometriche, cioè misure che descrivono il solido nello spazio.
La superficie di base, cioè l'area del cerchio, dipende solo dal raggio .
Si misura in se il raggio è espresso in centimetri.
Si consideri un cilindro con raggio .
Si ottiene , cioè circa .
La superficie laterale, cioè la parte curva del cilindro, dipende dal raggio e dall'altezza .
Si misura in oppure in altra unità quadrata coerente con i dati.
Si consideri un cilindro con e .
Si ottiene , cioè circa .
La superficie totale, cioè la somma di superficie laterale e delle due basi, usa la stessa altezza e lo stesso raggio .
La formula equivale a .
Si consideri un cilindro con e .
Si ottiene , cioè circa .
Il volume, cioè lo spazio occupato dal cilindro, dipende dall'area di base e dall'altezza .
Si misura in se il raggio e l'altezza sono espressi in centimetri.
Si consideri un cilindro con e .
Si ottiene , cioè circa .
Per trovare l'altezza, si usa la forma inversa della formula del volume.
Si divide il volume per l'area di base. Se e , allora , cioè circa .
Non si sommano le due basi nel volume, perché il volume usa l'area di base una sola volta.
Calcolare il volume di un cilindro con raggio = 3 cm e altezza = 5 cm.
[IMMAGINE: Cilindro diritto con raggio r = 3 cm segnato sulla base, altezza h = 5 cm indicata lungo l'asse, base circolare evidenziata]
Si cercano i dati utili. Il volume si calcola con raggio e altezza.
La formula del volume è . Si sostituiscono i valori dati.
Si calcola prima il quadrato del raggio: .
Il volume è , cioè circa 141,3 cm³.
Errore comune: dimenticare di elevare al quadrato il raggio prima di moltiplicare per l'altezza.
Calcolare la superficie laterale di un cilindro con raggio = 4 cm e altezza = 7 cm.
[IMMAGINE: Cilindro con la sola superficie laterale evidenziata, raggio r = 4 cm alla base e altezza h = 7 cm lungo il lato verticale]
Si tratta dell'area della parte curva del cilindro. La superficie laterale dipende da raggio e altezza.
La formula è . Si sostituiscono i valori.
Si esegue il prodotto numerico: .
La superficie laterale vale , cioè circa 175,9 cm².
Errore comune: confondere la superficie laterale con la superficie totale.
Calcolare la superficie totale di un cilindro con = 2 cm e = 6 cm.
[IMMAGINE: Cilindro con entrambe le basi circolari evidenziate e superficie laterale sviluppata, r = 2 cm, h = 6 cm]
La superficie totale comprende la superficie laterale e le due basi. La superficie totale è quindi la somma delle aree interessate.
Si usa la formula .
Prima si somma , poi si moltiplica per .
La superficie totale è , cioè circa 100,5 cm².
Errore comune: considerare una sola base invece di due.
Un cilindro ha volume = 150\pi cm³ e altezza = 10 cm. Si trova il raggio.
[IMMAGINE: Cilindro con volume V = 150π cm³ scritto accanto, altezza h = 10 cm indicata, raggio incognito sulla base]
In questo caso si cerca r a partire da volume e altezza.
Si parte dalla formula e si sostituiscono i dati.
Si divide per e si ottiene .
Il raggio misura , cioè circa 3,9 cm.
Errore comune: dimenticare la radice quadrata dopo aver trovato .
Si usa per il volume del cilindro.
Il volume corretto è .
Il prodotto dà la superficie laterale, cioè l’area del mantello. Per il volume si moltiplica l’area di base per l’altezza.
Si confonde la superficie laterale con la superficie totale.
La superficie totale è .
La superficie laterale comprende solo il mantello. Alla superficie totale si aggiungono le due basi, quindi compare il termine .
Si scrive come formula dell’area di base.
L’area di base è .
La base del cilindro è un cerchio, cioè una figura piana rotonda. L’area del cerchio dipende dal raggio al quadrato, non dalla sola circonferenza.
Nel volume si usa il diametro al posto del raggio senza trasformarlo.
Se si conosce il diametro , si usa e poi .
L’errore nasce dal confondere raggio e diametro. Prima si ricava il raggio, poi si applica la formula del volume.
Si dimentica di sommare le due basi quando si calcola la superficie totale.
Si deve usare .
La superficie totale comprende tutte le facce esterne del cilindro. Le due basi sono congruenti, cioè uguali, quindi vanno contate entrambe.
Si sostituiscono male le unità di misura, ad esempio in cm e in m.
Raggio e altezza devono essere espressi nella stessa unità di misura prima del calcolo.
Le formule funzionano correttamente solo con grandezze omogenee. Dopo il calcolo, l’area si esprime in unità quadrate e il volume in unità cubiche.
Il volume del cilindro si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza.
Per esempio, se = 3 cm e = 10 cm, si ottiene , cioè circa 282,6 cm³.
La superficie laterale è l'area della parte curva, mentre la superficie totale è la somma della parte laterale e delle due basi.
Per esempio, con = 2 cm e = 5 cm, si ha e , cioè circa 62,8 cm² e 88,0 cm².
L'area di base del cilindro si calcola come l'area di un cerchio.
Per esempio, se il raggio è = 4 cm, allora , cioè circa 50,3 cm².
Un cilindro è un solido di rotazione, cioè un solido ottenuto facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati.
Le due basi sono cerchi congruenti e paralleli, mentre la superficie laterale collega le basi.
Per esempio, un rettangolo di base e altezza genera un cilindro di raggio e altezza .
La superficie laterale comprende solo la parte curva del cilindro, mentre la superficie totale comprende anche le due basi.
Per esempio, se e , allora , cioè circa 163,4 cm².
Le formule principali del cilindro usano il raggio e l'altezza .
Per esempio, con = 1,5 cm e = 8 cm, si ha , cioè circa 56,5 cm³.
