Il calcolo letterale è l’insieme delle regole che permettono di operare con lettere e numeri. Si usano monomi e polinomi per scrivere, semplificare e trasformare espressioni algebriche.
| Concetto | Significato | Regola o esempio |
|---|---|---|
| Monomio | Espressione letterale con un solo termine | ha coefficiente e parte letterale |
| Monomi simili | Monomi con stessa parte letterale | e si possono sommare |
| Addizione di monomi | Si sommano solo i coefficienti dei monomi simili | |
| Moltiplicazione di monomi | Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti | |
| Divisione di monomi | Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti | |
| Potenza di un monomio | Si eleva alla potenza il coefficiente e ogni lettera | |
| Polinomio | Somma algebrica di monomi | è un polinomio |
| Grado di un polinomio | È il massimo grado dei suoi termini | In il grado è |
| Addizione e sottrazione di polinomi | Si riducono i termini simili | |
| Prodotto monomio × polinomio | Si distribuisce il monomio a ogni termine | |
| Prodotto polinomio × polinomio | Si moltiplica ogni termine per tutti gli altri | |
| Raccoglimento a fattor comune | Si estrae il fattore comune da tutti i termini |
Il calcolo letterale, cioè il calcolo con numeri e lettere, serve a scrivere regole generali invece di casi singoli.
Si usa per descrivere situazioni in cui un numero può cambiare. Le lettere rappresentano quantità variabili, cioè valori non ancora fissati.
Pensarlo come una formula costruita con pezzi fissi e pezzi variabili aiuta molto. Il numero è la parte fissa, la lettera è la parte che può cambiare.
Per esempio, se vale , si ottiene . La stessa espressione può quindi dare risultati diversi.
Un monomio, cioè un'espressione con un solo termine, è formato da un numero e da una parte letterale.
Il numero si chiama coefficiente, cioè il fattore numerico del monomio. La parte con le lettere si chiama parte letterale, cioè il prodotto delle variabili con i loro esponenti.
Nell'esempio , il coefficiente è e la parte letterale è . Se e , si ha .
La parte letterale mostra quali lettere compaiono e con quali potenze. Il coefficiente indica quanto vale il monomio, una volta assegnati i numeri alle lettere.
Due monomi sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale. Cambia solo il coefficiente.
Si sommano solo i monomi simili, perché si sommano i coefficienti e si lascia invariata la parte letterale. Nell'esempio, . Se e , si verifica .
Se i monomi non sono simili, la somma non si può unire in un solo monomio. Si ottiene solo una scrittura più corta, ma non una riduzione completa.
Nella moltiplicazione di monomi si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle stesse lettere. Questa regola nasce dalle proprietà delle potenze.
Nell'esempio si ha , e . Quindi il prodotto vale .
La divisione di monomi si può eseguire quando la parte letterale del divisore è contenuta in quella del dividendo. Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti.
Nell'esempio si calcola , e . Si ottiene .
La potenza di un monomio si ottiene elevando a potenza il coefficiente e moltiplicando per la potenza tutti gli esponenti della parte letterale.
Per esempio, , e . Quindi si ottiene .
Un polinomio, cioè una somma algebrica di monomi, è un'espressione con due o più termini.
I monomi che lo compongono si chiamano termini del polinomio. Il termine di grado massimo è quello con l'esponente totale più grande.
Nell'esempio, i gradi dei termini sono , , e . Il grado del polinomio è quindi .
Per esempio, in i gradi sono , e . Il grado del polinomio è .
[IMMAGINE: Schema su piano cartesiano con tre esempi: monomio, binomio e trinomio, ciascuno scritto come blocco di termini; frecce che indicano coefficiente, parte letterale e grado massimo, con etichette ben visibili.]
Sommare o sottrarre polinomi significa riordinare i termini simili e poi unire i coefficienti. L'idea è la stessa usata per i monomi simili.
Si raccolgono i termini dello stesso tipo: , e . Il risultato è .
Nella sottrazione si cambia il segno del secondo polinomio e poi si procede come per l'addizione. Questa regola evita di confondere i termini.
Per esempio, . Si controlla poi con valori semplici, ad esempio : si ottiene , mentre il risultato dà .
Il prodotto tra un monomio e un polinomio si ottiene distribuendo il monomio su ogni termine del polinomio. È come moltiplicare un fattore per tutti i pezzi di una somma.
Si moltiplica per ogni termine: , e . Si ottiene quindi .
La distribuzione rende il calcolo ordinato. Ogni termine del polinomio riceve lo stesso moltiplicatore.
Nel prodotto tra due polinomi si usa ancora la proprietà distributiva, cioè la regola che permette di moltiplicare ogni termine del primo per ogni termine del secondo.
Si calcola , , e . Sommando i termini simili si ottiene .
Il raccoglimento a fattor comune, cioè l'operazione inversa della distribuzione, serve a mettere in evidenza un fattore presente in tutti i termini.
Nell'esempio si osserva il fattore comune . Si scrive quindi . Se , entrambi i membri valgono .
Questa idea sarà utile per semplificare espressioni e per risolvere equazioni. Qui basta riconoscere il fattore comune e riscrivere il polinomio in forma più compatta.
In sintesi, il calcolo letterale unisce regole di scrittura e regole di calcolo. Le lettere non complicano il procedimento: lo rendono più generale e più potente.
Il calcolo letterale, cioè l'insieme di regole per operare con numeri e lettere, usa monomi e polinomi come oggetti principali.
Un monomio, cioè un prodotto tra un numero e una o più lettere, si scrive separando il coefficiente dalla parte letterale.
Nel monomio il coefficiente è e la parte letterale è .
Si consideri il monomio 5a^2b.
Il coefficiente è e la parte letterale è .
Il monomio indica un prodotto ordinato tra numero e lettere.
Due monomi sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.
Qui i coefficienti sono e . La parte letterale coincide in entrambi i casi.
Si confrontino 2ab e -9ab.
La parte letterale è la stessa: .
La somma è possibile perché i monomi sono simili.
L'addizione di monomi si esegue solo tra monomi simili, sommando i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale.
Nel monomio risultante la lettera resta uguale, mentre si sommano i coefficienti e .
Si calcoli 3x + 5x.
Si sommano i coefficienti: .
Il risultato conserva la parte letterale .
Nel prodotto di monomi si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle stesse lettere.
Le lettere diverse restano presenti nel risultato, ciascuna con il proprio esponente.
Si calcoli 2x^2 \cdot 3x^3.
Si moltiplicano i coefficienti: .
Gli esponenti si sommano: .
Nella divisione di monomi si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti delle lettere uguali.
La divisione richiede che ogni lettera del divisore sia presente nel dividendo con esponente non minore.
Si calcoli 12a^5b^2 : 3a^2b.
Si divide il coefficiente: .
Gli esponenti diventano e .
Nella potenza di un monomio si eleva alla potenza sia il coefficiente sia ogni lettera della parte letterale.
L'esponente esterno moltiplica tutti gli esponenti interni del monomio.
Si calcoli (2a^2)^3.
Si eleva il coefficiente: .
L'esponente di diventa .
Un polinomio, cioè una somma algebrica di monomi, raccoglie termini simili e termini di grado diverso.
Il grado di un polinomio, cioè il massimo grado tra i suoi monomi, si legge osservando il termine di grado più alto.
Si consideri 3x^2 - 5x + 7.
I gradi dei monomi sono , e .
Il termine di grado massimo è .
Nella somma di polinomi si eliminano le parentesi e si riuniscono i monomi simili.
Nella sottrazione di polinomi si cambia segno a tutti i termini del secondo polinomio prima di sommare.
Si calcoli (4x^2 - x + 3) - (2x^2 + 5x - 1).
Si cambia il segno al secondo polinomio: .
I monomi simili si raccolgono e si sommano i coefficienti.
Nel prodotto monomio per polinomio, il monomio si distribuisce su ogni termine del polinomio.
La proprietà distributiva permette di moltiplicare un solo fattore per tutti i termini interni.
Si calcoli 3x(2x-4).
Si distribuisce il fattore 3x su entrambi i termini.
Ogni termine del polinomio viene moltiplicato per 3x.
Nel prodotto polinomio per polinomio, ogni termine del primo polinomio si moltiplica per ogni termine del secondo.
Il risultato si semplifica alla fine, riunendo i monomi simili.
Si calcoli (x+2)(x+3).
Si eseguono tutti i prodotti possibili tra i termini.
Poi si sommano i termini simili, se presenti.
Il raccoglimento a fattor comune, cioè l'operazione inversa della distribuzione, mette in evidenza il fattore uguale nei termini.
Si usa quando tutti i termini contengono uno stesso numero, una stessa lettera o entrambe.
Si consideri 6x+9.
Il fattore comune è .
Si controlla moltiplicando di nuovo il fattore per il polinomio interno.
Semplificare l’espressione . Si considerano monomi simili, cioè monomi con la stessa parte letterale.
I dati sono tre monomi con parte letterale . L’incognita è il coefficiente risultante dopo la somma.
Si sommano solo i coefficienti: . La parte letterale resta invariata.
Si calcola il coefficiente: . Quindi l’espressione si riduce a un solo monomio.
Il risultato finale è .
Errore comune: sommare anche la lettera e scrivere 6x².
Sviluppare . Si usa la distributiva, cioè si moltiplica il monomio per ogni termine del polinomio.
Il monomio è . Il polinomio contiene tre termini.
Si moltiplica per ciascun termine: , e .
Si calcolano i prodotti: , e . I termini si scrivono nell’ordine dei gradi.
Quindi si ottiene .
Errore comune: moltiplicare solo il primo termine del polinomio e dimenticare gli altri.
Semplificare . Si sommano i termini simili, cioè quelli con la stessa parte letterale.
I termini di secondo grado sono e . I termini di primo grado sono e .
Si raggruppano i termini simili: .
Si ottiene un polinomio ridotto con tre termini. Il grado massimo è . Il termine di grado massimo è .
Il risultato finale è .
Errore comune: cambiare il segno del secondo polinomio senza togliere le parentesi.
Calcolare e poi riscrivere il risultato in forma utile al raccoglimento. Il prodotto di polinomi si ottiene applicando la distributiva a tutti i termini.
Il primo polinomio ha due termini e il secondo ne ha due. Si ottengono quattro prodotti parziali.
Si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo: , , , .
Si riducono i termini simili: . Il prodotto diventa un trinomio.
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare uno dei quattro prodotti parziali.
Considerare il calcolo letterale come un insieme di lettere senza regole.
Il calcolo letterale è l’uso di lettere, cioè variabili, per scrivere e trasformare quantità generiche secondo regole precise.
Le lettere non sono simboli liberi. Rappresentano numeri e seguono le stesse proprietà delle operazioni numeriche. Serve quindi ordine nelle sostituzioni e nei calcoli.
Sommare e ottenendo .
Si sommano solo monomi simili, cioè con la stessa parte letterale. Quindi non si riduce in un unico monomio.
L’errore nasce dal confondere coefficienti ed esponenti. Per sommare, la parte letterale deve coincidere esattamente. Se è diversa, i termini restano separati.
Scrivere oppure .
Si sommano i coefficienti e si lascia invariata la parte letterale: e .
Nel calcolo tra monomi simili si sommano solo i numeri davanti. La parte letterale non cambia, perché rappresenta la stessa variabile con lo stesso esponente.
Moltiplicare un monomio per un polinomio cambiando solo il primo termine, per esempio .
Si distribuisce il monomio a ogni termine del polinomio: .
Si applica la proprietà distributiva, cioè il monomio moltiplica tutti i termini del polinomio. Saltare un termine porta a risultati incompleti o errati.
Dire che il grado di è perché ci sono tre termini.
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei suoi termini, quindi in questo caso è .
Il grado non dipende dal numero dei termini. Dipende dall’esponente più grande presente tra i monomi del polinomio. Il termine di grado massimo è quello con esponente maggiore.
Pensare che in una somma o in una sottrazione di polinomi si possano unire termini non simili, per esempio .
Si possono ridurre solo termini simili, quindi non si semplifica ulteriormente.
Il segno meno cambia i coefficienti, non la parte letterale. Prima si tolgono le parentesi, poi si raccolgono solo i termini con la stessa parte letterale.
Il calcolo letterale è il calcolo con lettere, cioè con simboli che rappresentano numeri sconosciuti o variabili.
Si usano monomi, cioè prodotti di numeri e lettere, e polinomi, cioè somme di monomi.
Serve per scrivere formule in modo generale e per semplificare espressioni letterali.
Si sommano i monomi simili sommando i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale.
Per esempio, si ottiene da e .
Si moltiplica un monomio per un polinomio distribuendo il monomio a ogni termine del polinomio.
Per esempio, moltiplica sia sia .
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei suoi termini, cioè il termine con somma degli esponenti più alta.
Per esempio, in il grado è .
Si sommano e si sottraggono i polinomi unendo i termini simili e cambiando il segno ai termini sottratti.
Per esempio, si raccolgono i termini in e i termini noti.
Il raccoglimento a fattor comune è una scomposizione, cioè una riscrittura di un polinomio mettendo in evidenza il fattore comune a tutti i termini.
Per esempio, diventa .
