Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette con origine comune. La sua ampiezza si misura in gradi o in radianti.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Angolo | È la parte di piano compresa tra due semirette con la stessa origine. | Ampiezza in gradi o in radianti. Esempio: |
| Angoli complementari | La somma delle ampiezze è . | Se uno misura , l'altro misura |
| Angoli supplementari | La somma delle ampiezze è . | Se uno misura , l'altro misura |
| Angoli esplementari | La somma delle ampiezze è . | Se uno misura , l'altro misura |
| Opposti al vertice | Sono uguali tra loro. | Se un angolo misura , anche l'opposto misura |
| Due rette parallele tagliate da una trasversale | Gli angoli alterni interni, corrispondenti e coniugati hanno relazioni di uguaglianza o somma nota. | Alterni e corrispondenti sono uguali; i coniugati interni sommano |
| Triangolo | La somma degli angoli interni è sempre costante. | ; esempio: |
| Poligono con lati | La somma degli angoli interni dipende dal numero dei lati. | ; per si ottiene |
| Bisettrice | Divide un angolo in due angoli uguali. | Se un angolo misura , i due angoli misurano e |
Un angolo, cioè la parte di piano compresa tra due semirette con la stessa origine, serve a descrivere aperture e rotazioni.
Si immagina una porta che si apre. L'apertura cresce o diminuisce. L'angolo misura proprio questa ampiezza.
L'ampiezza si misura in gradi, cioè unità convenzionali del sistema sessagesimale, oppure in radianti, cioè unità legate alla circonferenza.
Per esempio, un angolo di corrisponde a radianti.
Per convertire i gradi in radianti, si usa il rapporto tra la misura data e .
Per esempio, diventano radianti.
La classificazione dipende dall'ampiezza. Si osserva così se l'apertura è piccola, retta o completa.
Per esempio, un angolo acuto di è più stretto di un angolo retto. Un angolo ottuso di è più aperto di un angolo retto.
Un angolo piatto misura . È la metà di un giro completo.
Per esempio, due angoli retti valgono . Quindi formano un angolo piatto.
[IMMAGINE: Schema con una semiretta orizzontale e una seconda semiretta ruotata in varie posizioni. Etichette per angolo nullo 0°, acuto, retto 90°, ottuso, piatto 180° ed esplente 360°.]
Si studiano insieme questi angoli perché si riconoscono dalla somma delle loro ampiezze. L'idea è quella di completare un angolo con un altro fino a un valore preciso.
Due angoli sono complementari, cioè la loro somma è .
Per esempio, . I due angoli sono complementari.
Si osserva che i complementari aiutano a trovare un angolo mancante. Se uno misura , l'altro misura .
Due angoli sono supplementari, cioè la loro somma è .
Per esempio, . I due angoli sono supplementari.
Due angoli sono esplementari, cioè la loro somma è .
Per esempio, . I due angoli sono esplementari.
Queste relazioni permettono di controllare la coerenza di un disegno. Se la somma non torna, la misura è stata letta male.
[IMMAGINE: Tre coppie di angoli disegnate con archi colorati: una coppia complementare che completa 90°, una supplementare su una linea retta da 180°, una esplementare attorno a un punto da 360°.]
Quando due rette si incontrano, si formano quattro angoli. Le coppie opposte al vertice hanno la stessa ampiezza perché condividono simmetria rispetto al punto d'incontro.
Per esempio, se un angolo misura , l'angolo opposto al vertice misura ancora .
Si considera ora il caso di due rette parallele tagliate da una trasversale, cioè una retta che interseca entrambe le parallele.
In questa situazione, alcuni angoli hanno relazioni fisse. Gli angoli alterni interni si trovano tra le parallele e su lati opposti della trasversale.
Per esempio, se un alterno interno misura , anche il suo alterno interno misura .
Gli angoli corrispondenti occupano la stessa posizione relativa rispetto alle due intersezioni.
Per esempio, se un corrispondente misura , anche l'altro misura .
Gli angoli coniugati interni sono interni e stanno dallo stesso lato della trasversale. La loro somma è .
Per esempio, se un coniugato interno misura , l'altro misura .
Queste proprietà sono conseguenza del fatto che le rette sono parallele. La trasversale conserva le stesse aperture nelle posizioni corrispondenti.
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180^\circ. Questa proprietà nasce dal confronto con una retta e con gli angoli alterni interni.
Per esempio, se due angoli di un triangolo misurano e , il terzo misura .
Per un poligono con lati, la somma degli angoli interni è data da una formula generale.
Per esempio, un pentagono ha . Quindi la somma vale .
La bisettrice, cioè la semiretta che divide un angolo in due parti uguali, è utile per costruire simmetrie e per trovare misure mancanti.
Se la bisettrice divide un angolo di , ciascuna parte misura .
La proprietà principale è semplice: i due angoli ottenuti sono congruenti, cioè hanno la stessa ampiezza.
Si consideri un triangolo con angoli di 40°, 60° e un terzo angolo incognito.
Si usa la somma interna del triangolo: .
Il terzo angolo misura . Se la sua bisettrice viene tracciata, ciascuna parte misura .
Gli angoli complementari, cioè due angoli la cui somma è un angolo retto, si usano quando si completa una misura fino a .
Se un angolo misura , il complementare misura , perché .
Si consideri un angolo di .
L'angolo complementare misura .La verifica è immediata, perché .
Gli angoli supplementari, cioè due angoli la cui somma è un angolo piatto, completano una semicirconferenza angolare.
Se un angolo misura , il supplementare misura , perché .
Si parte da un angolo di .
Il supplementare misura .La somma controlla la proprietà: .
Gli angoli esplementari, cioè due angoli la cui somma è un angolo giro, completano un giro completo.Un angolo giro misura .
Se un angolo misura , il suo esplementare misura .Si verifica infatti che .
Si considera l'angolo di .
L'angolo esplementare misura .La somma restituisce un giro completo.
Gli angoli opposti al vertice, cioè gli angoli formati da due rette che si incontrano, sono congruenti.
Se un angolo misura , anche l'angolo opposto al vertice misura .La proprietà vale per ogni coppia di angoli opposti al vertice.
Due rette si intersecano e uno degli angoli misura .
L'angolo opposto al vertice misura .Gli angoli adiacenti, invece, sono supplementari.
La somma degli angoli interni di un triangolo, cioè la somma dei tre angoli interni, è sempre costante.
Se due angoli misurano e , il terzo misura , perché .
Si conoscono due angoli di un triangolo: e .
Il terzo angolo misura .La somma totale torna a .
Per un poligono con lati, la somma degli angoli interni dipende dal numero dei lati.
Se , allora .Si ottiene così la somma degli angoli interni del pentagono.
Si considera un poligono con lati.
La somma degli angoli interni è .Ogni scomposizione in triangoli porta allo stesso risultato.
La bisettrice di un angolo, cioè la semiretta che divide l'angolo in due parti uguali, produce due angoli congruenti.
Se l'angolo iniziale misura , ciascuna parte misura .La bisettrice è utile nelle costruzioni geometriche.
Un angolo misura .
La bisettrice divide l'angolo in due angoli di ciascuno.Le due parti sono uguali per definizione.
Si classifichi un angolo di in base alla sua ampiezza.
[IMMAGINE: Disegno di un angolo con vertice O, lato iniziale orizzontale, lato finale inclinato, ampiezza 135°, con arco interno e scritta 135°]
Si considerano i dati: l'angolo misura . Si cerca il tipo di angolo corrispondente.
Un angolo ottuso ha ampiezza compresa tra e .
Poiché è maggiore di e minore di , l'angolo appartiene alla classe degli angoli ottusi.
Il risultato finale è: l'angolo è ottuso.
Errore comune: confondere un angolo ottuso con un angolo retto, che misura esattamente 90°.
Si determini l'ampiezza dell'angolo complementare di .
Si conosce un angolo dato e si cerca il suo complementare, cioè l'angolo che completa la somma a .
La relazione tra i due angoli è: somma uguale a .
Si isola l'incognita sottraendo da entrambi i membri.
L'angolo complementare misura 62°.
Errore comune: sommare i due angoli a 180° invece che a 90°.
In un triangolo, due angoli misurano e . Si trovi il terzo angolo.
[IMMAGINE: Triangolo scaleno con due angoli interni indicati 47° e 68°, terzo angolo indicato con x, lati non etichettati]
Si usano i dati noti: due angoli interni e un'incognita. Il metodo si basa sulla somma degli angoli interni del triangolo.
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre .
Si sommano gli angoli noti.
Si sottrae poi la somma trovata da .
Il terzo angolo misura 65°.
Errore comune: dimenticare che la somma vale 180° solo per gli angoli interni di un triangolo piano.
Due rette si intersecano e formano un angolo di . Si determini l'ampiezza degli angoli opposti al vertice e di ciascun angolo formato dalla bisettrice.
[IMMAGINE: Due rette incidenti con un angolo di 80°, angoli opposti al vertice evidenziati uguali, bisettrice dell'angolo da 80° che lo divide in due parti uguali di 40° ciascuna]
Si osservano due proprietà diverse. Gli angoli opposti al vertice sono uguali. La bisettrice divide un angolo in due parti congruenti.
L'angolo opposto al vertice misura quindi .
La bisettrice divide l'angolo iniziale in due angoli uguali di ciascuno.
Il risultato finale è: gli opposti al vertice misurano 80° e i due angoli della bisettrice misurano 40° ciascuno.
Errore comune: pensare che gli angoli adiacenti all'angolo di 80° siano anch'essi 80°; in realtà formano una coppia supplementare.
Un angolo è un segmento con due estremi.
Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette con origine comune.
L’errore nasce dal confondere figure diverse della geometria. Si ricordano sempre il vertice e i due lati dell’angolo.
Gli angoli acuti sono quelli tra e .
Gli angoli acuti hanno ampiezza maggiore di e minore di .
Spesso si scambia l’acuto con l’ottuso. Conviene memorizzare il confine di , perché separa i due casi.
Gli angoli supplementari sommano .
Gli angoli supplementari sommano .
La somma appartiene agli angoli complementari. Per evitare confusione, si associa il termine supplementari alla misura di un angolo piatto.
Gli angoli complementari sommano .
Gli angoli complementari sommano .
Questo errore è l’inverso del precedente. Si controlla sempre il numero totale richiesto prima di classificare la coppia di angoli.
Un angolo piatto misura .
Un angolo piatto misura .
Il valore corrisponde all’angolo retto. L’angolo piatto è una semiretta prolungata in linea retta.
Gli angoli del triangolo sommano sempre .
La somma degli angoli interni di un triangolo è .
riguarda l’angolo giro, non il triangolo. Per controllare il risultato, si sommano i tre angoli interni e si verifica il totale.
Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette con la stessa origine.
L'ampiezza dell'angolo si misura in gradi, cioè in , oppure in radianti, cioè in .
I tipi di angoli si classificano in base alla loro ampiezza.
Si hanno angolo nullo, cioè , acuto, cioè tra e , retto, cioè , ottuso, cioè tra e , piatto, cioè , ed esplementare, cioè .
Gli angoli supplementari sono due angoli la cui somma è .
Per esempio, e sono supplementari, perché la loro somma è .
Gli angoli complementari sono due angoli la cui somma è .
Per esempio, e sono complementari, perché la loro somma è .
Un angolo piatto ha ampiezza .
Esso corrisponde a una semiretta che continua in direzioni opposte sulla stessa linea.
Gli angoli opposti al vertice sono due angoli formati da due rette che si intersecano, e sono uguali tra loro.
Per esempio, se uno misura , anche l'angolo opposto misura .
Questa proprietà si usa spesso nei problemi di geometria euclidea.
Con due rette parallele tagliate da una trasversale, si formano angoli alterni, corrispondenti e coniugati.
Gli alterni interni e gli corrispondenti sono congruenti, cioè hanno la stessa ampiezza.
I coniugati interni hanno somma .
