Cos'è un urto?

Un urto è una collisione tra due corpi nello spazio che coinvolge forze di tipo impulsivo, ovvero che hanno intensità molto elevate ma che durano pochi istanti.

In altre parole, un urto avviene quando due corpi sbattono insieme.

Poiché possiamo considerare l'urto come un sistema isolato, dove non agiscono forze esterne, sappiamo che la quantità di moto totale del sistema prima e dopo la collisione si conserva.

L'urto elastico

Si definisce urto elastico un urto in cui si conservano sia la la quantità di moto che l'energia cinetica del sistema.

In questa sezione vedremo solo il caso particolare in cui i due corpi si muovono sulla stessa retta (chiamato urto elastico frontale), quindi ci interessa solo sapere il modulo della velocità, non la sua direzione e il verso. Perciò possiamo scrivere le grandezze fisiche delle velocità, che sarebbero vettoriali, come scalari.

Quindi:

$\left\{ \begin{array}{l} q_{1,i}+q_{2,i}=q_{1,f}+q_{2,f} \\ K_{1,i}+K_{2,i}=K_{1,f}+K_{2,f} \end{array} \right.$

Ovvero:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}$

${1 \over 2}m_1v_{1}^2+{1 \over 2}m_2v_{2}^2=$ ${1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2$

Ovviamente in queste equazioni $q$ era la quantità di moto, $K$ l'energia cinetica, $v$ e $V$ le varie velocità e $m$ la massa.

Da queste $2$ formule possiamo ricavare le formule per le velocità finali, che ci sarà possibile calcolare conoscendo le masse e le velocità iniziali.

Iniziamo moltiplicando per $2$ la seconda equazione,

$\left\{ \begin{array}{l} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2} \\ m_1v_{1}^2+m_2v_{2}^2=m_1V_{1}^2+m_1V_{2}^2 \end{array} \right.$

poi spostiamo tutti i termini con $m_1$ a sinistra e quelli con $m_2$ a destra:

$\left\{ \begin{array}{l} m_1v_1-m_1V_1=-m_2v_2+m_2V_2 \\ m_1v_1^2-m_1V_1^2=-m_2v_2^2+m_2V_2^2 \end{array} \right.$

Ora raccogliamo $m_1$ e $-m_2:$

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2) \\ m_1(v_1^2-V_1^2)=-m_2(v_2^2-V_2^2) \end{array} \right.$

Scriviamo le differenza tra quadrati come le somma per differenza dei due termini:

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2) \\ m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=-m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2) \end{array} \right.$

Dividiamo la seconda equazione per la prima e manteniamo la prima equazione:

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ {m_1(v_1 -V_1)(v_1+V_1)\over m_1(v_1-V_1)}={-m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2)\over -m_2(v_2-V_2)} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ v_1+V_1=v_2+V_2 \end{array} \right.$

Ora isoliamo $V_2$ nella seconda equazione e sostituiamolo nella prima:

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ V_2=v_1 +V_1 - v_2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-v_1 -V_1 + v_2)\\ V_2=v_1 +V_1 - v_2 \end{array} \right.$

Ora possiamo isolare $V_1$ nella prima equazione:

$m_1v_1-m_1V_1=-m_2v_2+m_2v_1 + m_2V_1 - m_2v_2\\$

$-m_1V_1 - m_2 V_1=-2m_2v_2+m_2v_1 -m_1v_1\\$

$V_1={2m_2v_2+(m_1 -m_2)v_1\over m_1 + m_2 }\\$

$V_1={2m_2\over m_1 +m_2}v_2+{m_1 -m_2\over m_1 + m_2}v_1\\ .$

Ora possiamo sostituire $V_1$ nella seconda equazione del sistema di prima ( $V_2=v_1 +V_1 - v_2$ ) per calcolare anche $V_2.$

Semplificando otteniamo:

Queste formule valgono per ogni urto elastico frontale.

Queste ultime $2$ formule sono importantissime e purtroppo vanno imparate a memoria per evitare di ripetere ogni volta i calcoli.

L'urto anelastico

Un urto anelastico è un tipo di urto dove si conserva solo la quantità di moto e non l'energia cinetica.

Per gli urti anelastici è quindi valida solo la formula della conservazione della quantità di moto

Un urto completamente anelastico è un caso di urto elastico in cui i corpi rimangono attaccati e l'energia cinetica finale è minima

Nel caso di un urto completamente anelastico, la nostra formula si semplifica.

L'urto obliquo

Non tutti gli urti avvengono sulla stessa linea retta, nella realtà è più probabile che le traiettorie dei corpi abbiano un'angolazione. In questo caso si parla di urto obliquo .

Matematicamente questo si spiega perché la quantità di moto è una quantità vettoriale.

Per studiare questo fenomeno quindi prendiamo in considerazione questa equazione:

$m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2}\vec{v_{2}}=m_{1}\vec{V_{1}}+m_{2}\vec{V_{2}}$

Prendiamo ora come esempio un urto elastico obliquo tra due sfere di massa uguale, dove una sfera è ferma e l'altra ha velocità $\vec{v}:$

$\left\{ \begin{array}{l} m\vec{v}=m\vec{V_{1}}+m\vec{V_{2}} \\ {1 \over 2}mv^2={1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2 \end{array} \right.$ $\longrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \vec{v} = \vec{V_1}+\vec{V_2} \\ v^2 = V_1^2+V_2^2 \end{array} \right.$

Queste due condizioni impongono che i vettori velocità finali delle $2$ masse siano perpendicolari tra loro.