Le trasformazioni geometriche sono regole che associano a ogni punto una nuova posizione nel piano. Le isometrie conservano distanze e angoli, mentre l'omotetia conserva la forma ma cambia le dimensioni.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Traslazione | È un’isometria, cioè conserva distanze e angoli. | P'=(x+a,\,y+b) |
| Simmetria assiale | È un’isometria rispetto a una retta, cioè riflette i punti sull’asse. | Rispetto a : (x,-y); rispetto a : (-x,y); rispetto a : (y,x) |
| Simmetria centrale | È un’isometria rispetto a un punto, cioè manda ogni punto nel suo opposto. | Rispetto all’origine: P'=(-x,-y) |
| Rotazione | È un’isometria che ruota una figura attorno a un centro di un angolo . | Se il centro è l’origine: , |
| Omotetia | Conserva la forma, cioè mantiene gli angoli, ma non le distanze. | P'=(kx,\,ky) |
Le trasformazioni geometriche sono regole che associano a ogni punto del piano un nuovo punto. Servono per descrivere movimenti, simmetrie e ingrandimenti delle figure.
Si pensa a una figura come a un oggetto che può essere spostato, ruotato o riflesso senza perdere la propria struttura. In geometria analitica, queste operazioni si descrivono con coordinate.
L'idea centrale è distinguere tra trasformazioni che conservano le misure e trasformazioni che modificano le dimensioni. Questa distinzione permette di capire quando due figure sono uguali, simili oppure solo collegate.
Una trasformazione si studia guardando l'effetto sui punti, sui segmenti e sugli angoli. Se una figura mantiene distanze e angoli, si parla di isometria, cioè trasformazione che conserva le misure.
Per esempio, il punto può essere mandato in con una traslazione. In questo caso il segmento si sposta, ma non cambia lunghezza.
Per esempio, se e si applica e , allora . Il punto si sposta di 4 a destra e 1 in basso.
Le isometrie, cioè le trasformazioni che conservano le distanze, mantengono anche gli angoli e la forma della figura. Sono i movimenti rigidi del piano.
Si osserva che una figura isometrica alla figura iniziale non è deformata. Cambia solo la posizione, oppure l'orientamento, nel piano.
Per esempio, un triangolo con lati 3, 4 e 5 resta congruente dopo una traslazione. Se i vertici si spostano tutti della stessa quantità, le misure non cambiano.
Per esempio, se cm, allora anche cm. La corrispondenza fra i punti conserva la distanza.
La traslazione, cioè lo spostamento di tutti i punti della stessa quantità e nella stessa direzione, ricorda il movimento di una figura trascinata sul piano.
Si definisce scegliendo un vettore, cioè una coppia di spostamenti orizzontale e verticale. Ogni punto riceve lo stesso incremento di coordinate.
Per esempio, se e il vettore è , allora .
La distanza tra due punti qualsiasi resta invariata. Questo rende la traslazione un'isometria.
Se un segmento ha estremi e , dopo la traslazione con diventa un segmento con estremi e . La lunghezza resta la stessa.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con il punto P(1,4), la freccia vettore (3,-2) e il punto immagine P'(4,2). Indicare anche gli assi e una griglia semplice.]
La simmetria assiale, cioè il ribaltamento rispetto a una retta, funziona come uno specchio. Ogni punto va dalla parte opposta dell'asse, alla stessa distanza.
Si definisce fissando una retta, chiamata asse di simmetria. La retta divide il piano in due metà corrispondenti.
Per esempio, se un punto dista 3 unità dalla retta , anche il suo simmetrico dista 3 unità da .
Rispetto all'asse , il punto diventa . Per esempio, diventa .
Rispetto all'asse , il punto diventa . Per esempio, diventa .
Per la retta , le coordinate si scambiano. Quindi diventa .
Per esempio, diventa . Il punto passa simmetricamente dall'altra parte della diagonale.
Per una retta generica, il calcolo richiede di trovare il piede della perpendicolare. Si ottiene così il punto simmetrico alla stessa distanza dall'asse.
La simmetria centrale, cioè il ribaltamento rispetto a un punto, manda ogni punto nella direzione opposta attraverso un centro fissato. Il centro resta invariato.
Si immagina il centro come il punto medio tra un punto e la sua immagine. Questa idea rende la costruzione molto rapida nel piano cartesiano.
Per esempio, se il centro è l'origine , allora va in .
Per esempio, diventa . I due punti sono opposti rispetto all'origine.
Per un centro generico , il punto immagine si ottiene con .
Per esempio, se e , allora . Il centro è il punto medio del segmento che unisce i due punti.
La rotazione, cioè il giro di una figura attorno a un punto fisso, richiama il movimento di una lancetta di orologio.
Si definisce scegliendo un centro e un angolo . Ogni punto ruota mantenendo la distanza dal centro.
Per esempio, con e punto , si ottiene .
Quando la rotazione è di , le coordinate si scambiano e uno dei segni cambia. Questa regola permette controlli veloci nei casi semplici.
Per esempio, diventa . La distanza dall'origine resta invariata.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con origine O, punto P(2,1), arco di rotazione di 90° in senso antiorario e punto P'(-1,2). Indicare il raggio OP e l'angolo α.]
L'omotetia, cioè la trasformazione che ingrandisce o rimpicciolisce una figura rispetto a un centro, conserva la forma ma non le dimensioni.
Si definisce con un centro e un rapporto . Se , la figura si ingrandisce. Se , si riduce.
Per esempio, con centro e , il punto diventa . Le lunghezze raddoppiano.
Se il rapporto è negativo, l'omotetia include anche un ribaltamento rispetto al centro. In quel caso cambiano sia la scala sia l'orientamento.
Per esempio, se e , allora il segmento immagine misura unità. La forma resta simile, ma la grandezza cambia.
La differenza fondamentale con un'isometria è questa: l'isometria conserva le distanze, mentre l'omotetia le moltiplica per un fattore.
Le due famiglie di trasformazioni rispondono a domande diverse. Le isometrie servono quando si vuole mantenere la figura identica. Le omotetie servono quando interessa la stessa forma, ma in scala diversa.
In altre parole, due figure isometriche sono congruenti, cioè sovrapponibili senza deformazioni. Due figure omotetiche sono simili, cioè hanno gli stessi angoli e lati proporzionali.
Per esempio, un quadrato di lato cm, dopo un'omotetia di rapporto , diventa un quadrato di lato cm. Dopo una rotazione, invece, il lato resta cm.
Si osserva quindi che la scelta della trasformazione dipende dall'obiettivo geometrico. Se si studiano movimenti rigidi, si usano le isometrie. Se si studiano figure in scala, si usa l'omotetia.
La traslazione, cioè lo spostamento di ogni punto secondo un vettore, cambia le coordinate di una coppia di quantità costanti.
Si indicano con e le coordinate del punto iniziale, mentre e sono gli spostamenti orizzontale e verticale.
Si consideri il punto iniziale e la traslazione di vettore .
Il punto immagine è . Lo spostamento conserva distanze e angoli.
La simmetria assiale, cioè il ribaltamento rispetto a una retta asse, produce punti alla stessa distanza dall'asse.
Nel caso dell'asse , la coordinata resta invariata, mentre il segno di cambia.
Si consideri il punto .
Il punto simmetrico è . La distanza dall'asse x è la stessa per i due punti.
La rotazione, cioè il moto rigido attorno a un centro fisso, dipende dall'angolo misurato in senso antiorario.
Le coordinate finali si ottengono con seno e coseno dell'angolo. La trasformazione conserva distanze e ampiezze angolari.
Si consideri il punto e l'angolo .
Il punto immagine è . La rotazione conserva la distanza dall'origine.
L'omotetia, cioè la trasformazione che ingrandisce o rimpicciolisce una figura rispetto a un centro, moltiplica tutte le coordinate per un numero reale .
Se , la figura si ingrandisce. Se , la figura si riduce. Se , compare anche un ribaltamento rispetto al centro.
Si consideri il punto e il fattore .
Il punto immagine è . La forma si conserva, ma le dimensioni raddoppiano.
La simmetria centrale, cioè il ribaltamento rispetto a un punto, manda ogni punto nella direzione opposta attraverso il centro.
Se il centro è l'origine, cambiano segno entrambe le coordinate. La trasformazione è un'isometria.
Si consideri il punto .
Il punto simmetrico è . I due punti hanno l'origine come punto medio.
Determinare l’immagine del punto mediante la traslazione di vettore .Si usa la regola di traslazione, cioè uno spostamento che somma le componenti del vettore alle coordinate del punto.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con il punto P(2,-1), il vettore di traslazione (3,4) e il punto immagine P'(5,3) etichettati con frecce.]
I dati sono e vettore . L’incognita è il punto immagine .
Il metodo consiste nell’applicare la formula della traslazione. Si sommano le ascisse e le ordinate corrispondenti.
Nel caso dato si calcola e .
Si ottiene quindi . Il punto è stato traslato senza cambiare forma o orientamento.
Errore comune: sottrarre le componenti del vettore invece di sommarle.
Trovare il simmetrico del punto rispetto all’asse .La simmetria assiale, cioè il ribaltamento rispetto a una retta, conserva le distanze dal lato opposto dell’asse.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con asse x evidenziato, punto A(-4,3) sopra l’asse e immagine A'(-4,-3) sotto l’asse, con segmenti perpendicolari all’asse.]
I dati sono il punto e l’asse di simmetria . L’incognita è il punto simmetrico .
Per la simmetria rispetto all’asse , la ascissa non cambia e l’ordinata cambia segno. Questa è una proprietà fondamentale delle isometrie.
Si calcola quindi .
Il risultato finale è . La distanza dall’asse resta la stessa.
Errore comune: cambiare segno anche della ascissa.
Determinare l’immagine del punto con una rotazione di in senso antiorario attorno all’origine.La rotazione, cioè un giro attorno a un centro, conserva distanze e angoli.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con origine O, punto B(2,-1), arco di rotazione di 90° antiorario e punto immagine B'(1,2) etichettato.]
I dati sono il punto e l’angolo di rotazione . L’incognita è il punto immagine .
Per una rotazione di antioraria, la regola è .
Si sostituiscono le coordinate di : e .
Si ottiene . Il punto è stato ruotato senza deformazioni.
Errore comune: confondere il verso antiorario con quello orario.
Dato il punto e il coefficiente di omotetia , trovare l’immagine del punto.L’omotetia, cioè una trasformazione che ingrandisce o rimpicciolisce la figura, conserva la forma ma non le dimensioni.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con origine O, punto C(2,-3) e punto immagine C'(4,-6), con segmenti dal centro proporzionali.]
I dati sono e . L’incognita è il punto immagine .
Nel centro nell’origine, ogni coordinata viene moltiplicata per . Questo cambia le dimensioni ma non la forma.
Si calcola quindi e .
Si ottiene . Le dimensioni sono raddoppiate.
Errore comune: credere che l’omotetia sia un’isometria.
Stabilire se la trasformazione è un’isometria oppure un’omotetia.Un’isometria, cioè una trasformazione che conserva distanze e angoli, non modifica le misure della figura.
[IMMAGINE: Due triangoli congruenti nel piano con uno spostato di vettore (1,-2), segmenti corrispondenti uguali e orientamento conservato.]
I dati sono la trasformazione . L’incognita è la sua natura geometrica.
Si osserva che la trasformazione somma una stessa quantità alle coordinate. Non cambia né forma né dimensioni. Quindi si tratta di una traslazione.
Nel caso dato si ha e . La trasformazione è quindi un’isometria.
Risultato finale: la trasformazione è un’isometria, non un’omotetia.
Errore comune: scambiare una traslazione per un’omotetia solo perché cambia la posizione della figura.
Dire che una trasformazione è isometria se cambia la forma del poligono ma mantiene un lato uguale.
Una trasformazione è un’ isometria, cioè una trasformazione che conserva distanze e angoli, solo se tutte le lunghezze corrispondenti restano uguali.
L’errore nasce dal confondere un singolo segmento con tutta la figura. Per verificare una isometria, si controllano distanze e angoli dopo la trasformazione.
Scrivere che una traslazione di vettore porta in .
Una traslazione porta in .
La traslazione aggiunge le componenti del vettore alle coordinate. Non si moltiplicano le coordinate, perché la figura si sposta senza deformarsi.
Pensare che la simmetria assiale sia sempre rispetto all’asse .
La simmetria assiale è la riflessione rispetto a una retta asse, per esempio l’asse , l’asse , la retta o una retta generica.
L’errore nasce dal ricordare solo i casi più semplici. Bisogna sempre individuare con precisione l’asse di simmetria prima di applicare le regole.
Scrivere che una rotazione di angolo attorno all’origine lascia invariata ogni coordinata.
Una rotazione modifica le coordinate secondo le formule della rotazione e dipende dal verso e dal centro di rotazione.
La rotazione non è uno spostamento rettilineo. Si confonde spesso con la traslazione, ma qui i punti girano attorno a un centro e le coordinate cambiano entrambe.
Dire che omotetia e isometria sono la stessa cosa perché entrambe conservano la forma.
L’ isometria conserva forma e dimensioni, mentre l’ omotetia, cioè una trasformazione che conserva la forma ma non le dimensioni, cambia le lunghezze con un fattore di scala.
Le due trasformazioni sembrano simili perché mantengono la figura riconoscibile. La differenza decisiva è che l’omotetia moltiplica le distanze, mentre l’isometria le conserva.
Le isometrie, cioè trasformazioni che conservano le distanze, sono trasformazioni geometriche che lasciano invariati lunghezze e angoli.
Una figura cambia posizione o orientamento, ma non cambia forma né dimensioni.
Per esempio, se un segmento misura cm prima della trasformazione, misura ancora cm dopo la trasformazione.
La traslazione, cioè lo spostamento di tutti i punti dello stesso vettore, si esegue sommando le componenti del vettore alle coordinate del punto.
Per esempio, se e il vettore è , allora si ottiene .
La simmetria assiale, cioè la trasformazione rispetto a una retta asse, manda ogni punto nella posizione speculare rispetto all'asse.
Nel piano cartesiano, cambiano le coordinate in modo diverso secondo l'asse scelto.
Per esempio, il punto rispetto all'asse diventa .
La rotazione, cioè una trasformazione che gira una figura attorno a un centro fissato, cambia l'orientamento ma conserva distanze e angoli.
Nel piano cartesiano, la rotazione attorno all'origine di angolo si descrive con formule sulle coordinate.
Per esempio, con e punto , si ottiene .
L'isometria, cioè la trasformazione che conserva le distanze, mantiene uguali le lunghezze; l'omotetia, cioè una trasformazione di ingrandimento o rimpicciolimento, conserva solo la forma.
Nell'omotetia le dimensioni cambiano in proporzione a un coefficiente .
Per esempio, se e , allora ; in un'isometria resterebbe .
La simmetria centrale, cioè la trasformazione rispetto a un punto fisso, manda ogni punto nel suo opposto rispetto al centro.
Se il centro è l'origine, le coordinate cambiano segno entrambe.
Per esempio, il punto diventa .
Le trasformazioni che conservano la forma sono le isometrie e le omotetie, ma in modo diverso.
Le isometrie conservano anche le dimensioni. Le omotetie conservano solo i rapporti tra i lati.
Per esempio, un triangolo con lati resta congruente con un'isometria, mentre con un'omotetia di coefficiente diventa simile ma più grande.
