Teorema di De l'Hopital

Regola di De l'Hopital

Può capitarvi di trovare limiti che vi restituiscono una qualche forma indeterminata.

Se, infatti, otteniamo $\displaystyle { 0\over 0 }$ o $\displaystyle { {\infty \over \infty} , }$ possiamo applicare il teorema di De l'Hopital. Esso ci dice che, appunto, se abbiamo un limite nella seguente forma:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to x_0} {f(x)\over g(x)} }$

E ci da come risultato un delle due forme indeterminate elencate prima, se $\displaystyle { g'(x) }$ è diverso da $\displaystyle { 0, }$ allora:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}= \displaystyle \lim_{x\to x_0} {f'(x)\over g'(x)} }$

Cioè posso prendere la derivata al numeratore ed al denominatore senza cambiare il risultato.

Vediamo un esempio:

Risolviamo il seguente limite:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x \to +\infty} {\ln(x)\over x} }$

Se vado a sostituire $\displaystyle { +\infty, }$ ottengo $\displaystyle { +\infty \over +\infty. }$ Posso quindi applicare l'Hôpital e, ricordando che $\displaystyle { {d\over dx} \ln(x) = {1\over x}, }$ ottenere:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to +\infty} {\ln(x)\over x}= \displaystyle \lim_{x\to +\infty} {{1\over x}\over 1}= }$ $\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to +\infty} {1\over x}= 0 }$

L'Hôpital è uno strumento potentissimo. Ad esempio, possiamo dimostrare il limite notevole del seno che prima avevamo dovuto prendere come fatto.

Infatti, siccome otteniamo $\displaystyle { 0\over 0, }$ e la derivata di $\displaystyle { x }$ è ovviamente diversa da $\displaystyle { 0 }$ in quel punto, possiamo applicare De l'Hôpital ed ottenere:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to 0} {\sin(x)\over x} = \displaystyle \lim_{x\to 0} {\cos(x)\over 1}=1 }$

Tutto qua. Anche il limite notevole della funzione esponenziale può essere dimostrato con De l'Hôpital. Le condizioni, infatti, sono soddisfatte ed otteniamo dunque:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x -1\over x}= \displaystyle \lim_{x\to 0} {e^x \over 1}= 1 }$