Il teorema della corda, cioè legge dei seni, mette in relazione i lati di un triangolo con i seni degli angoli opposti. La stessa proporzione vale anche con il raggio del cerchio circoscritto.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| In un triangolo, ogni lato è proporzionale al seno dell’angolo opposto. | Valido per ogni triangolo; è il raggio del cerchio circoscritto. | |
| Serve a ricavare un lato o un angolo mancante. | Si usa quando sono noti due angoli e un lato, oppure due lati e l’angolo opposto. | |
| Caso AAS | Due angoli e un lato determinano un solo triangolo. | È il caso più diretto per applicare la legge dei seni. |
| Caso SSA | Due lati e un angolo opposto possono determinare 0, 1 o 2 triangoli. | È il caso ambiguo; si controlla la compatibilità con l’altezza. |
| Cerchio circoscritto | Il triangolo ha un cerchio che passa per tutti e tre i vertici. | La relazione con collega trigonometria e geometria del cerchio. |
| Confronto con Carnot | Il teorema dei seni lega lati e angoli opposti; Carnot usa due lati e l’angolo compreso. | Si usa dei seni con dati opposti; Carnot con dati adiacenti. |
| Applicazioni | Permette di misurare distanze non accessibili direttamente. | È utile in triangolazione, navigazione e astronomia. |
Il teorema dei seni, cioè la relazione che lega i lati di un triangolo ai seni degli angoli opposti, serve quando un triangolo non si ricostruisce bene con soli dati di lunghezza.
Si osserva che il cerchio circoscritto, cioè il cerchio che passa per tutti e tre i vertici del triangolo, fornisce un ponte tra lati e angoli.
Per questo motivo il teorema della corda è utile nella triangolazione, cioè la ricostruzione di distanze e posizioni a partire da misure parziali.
La relazione fondamentale è valida per ogni triangolo non degenere e collega il lato opposto a un angolo con il raggio del cerchio circoscritto.
Per esempio, se e , allora e si ottiene .
L'idea geometrica è semplice. Un lato di un triangolo si può vedere come una corda del cerchio circoscritto, cioè un segmento che unisce due punti della circonferenza.
La lunghezza della corda dipende dall'angolo al centro che la sottende, cioè dall'angolo che ha il vertice nel centro del cerchio e insiste su quella corda.
Per esempio, se e , allora la corda vale .
In un triangolo, l'angolo al centro relativo a un lato è il doppio dell'angolo inscritto che insiste sullo stesso lato.
Per esempio, se , allora l'angolo al centro corrispondente è .
Sostituendo questa idea nella formula della corda si ottiene , e quindi . Lo stesso ragionamento vale per gli altri lati.
Per esempio, se e , allora .
La dimostrazione nasce dal confronto tra una corda e l'angolo che la vede dal centro del cerchio. Si divide il ragionamento in due passaggi geometrici.
Per esempio, se , allora e la corda vale .
Nel triangolo inscritto si sceglie un lato, per esempio , e si considera il suo angolo opposto . L'angolo al centro corrispondente misura .
Per esempio, se e , allora .
Ripetendo il calcolo per e , si ottengono le altre uguaglianze della formula principale.
[IMMAGINE: Cerchio circoscritto a un triangolo ABC. I vertici A, B, C sono sulla circonferenza. Il lato a è la corda BC, il lato b è CA, il lato c è AB. Disegnare il centro O, gli angoli al centro 2A, 2B, 2C, e indicare i raggi OA, OB, OC. Etichettare chiaramente anche il raggio R e il fatto che a = 2R sin A.]
Il teorema dei seni si usa quando si conoscono due angoli e un lato, oppure due lati e l'angolo opposto a uno di essi.
Nel caso AAS, cioè due angoli e un lato, il triangolo si determina in modo univoco.
Per esempio, se , e , allora .
Nel caso SSA, cioè due lati e l'angolo opposto a uno di essi, la situazione può essere ambigua.
Per esempio, se , e , allora . L'angolo può avere due valori possibili.
Se il valore del seno è troppo grande, il triangolo non esiste. Se il valore è compatibile, possono comparire due triangoli distinti.
Il caso ambiguo nasce dal fatto che il seno assume lo stesso valore per due angoli diversi nel primo e nel secondo quadrante.
Per esempio, se , allora anche ha lo stesso seno.
Per esempio, con , e , si trova , quindi oppure , se la somma degli angoli lo consente.
Il teorema dei seni è più adatto quando compaiono angoli e un lato noto. Il teorema di Carnot, cioè il teorema del coseno, si usa soprattutto quando si conoscono due lati e l'angolo compreso.
Per esempio, se , e , allora , quindi il lato si ricava senza passare dai seni.
Si usa il teorema dei seni quando si vogliono recuperare angoli opposti o lati mancanti da una configurazione già parzialmente determinata.
Si usa il teorema di Carnot quando il dato decisivo è l'angolo compreso tra due lati noti.
Nelle applicazioni pratiche il teorema dei seni trasforma misure indirette in distanze utili. È per questo che compare in navigazione, astronomia e rilievi topografici.
In navigazione si possono stimare distanze tra punti lontani usando due direzioni osservate e una base nota.
Per esempio, se , e , allora .
In astronomia si usa lo stesso principio per dedurre distanze da angoli apparenti molto piccoli.
Il cerchio circoscritto rende naturale questa lettura, perché ogni lato del triangolo è una corda dello stesso cerchio.
Il teorema della corda, cioè la legge che lega i lati di un triangolo ai seni degli angoli opposti e al raggio del cerchio circoscritto, fornisce una relazione proporzionale fondamentale.
Si indicano con , , i lati opposti agli angoli , , . Il simbolo indica il raggio del cerchio circoscritto, cioè il cerchio passante per i tre vertici del triangolo.
Se si conoscono due angoli e un lato, si ricava subito un lato incognito usando il rapporto costante tra lato e seno dell'angolo opposto.
Si consideri un triangolo con , e . Si calcola il lato .
Sostituendo i valori si ottiene .
La formula inversa si usa per trovare un angolo quando si conoscono due lati e un angolo opposto. In questo caso si isola il seno dell'incognita.
Questa forma mostra che il seno di un angolo dipende dal lato opposto e dal raggio circoscritto. Se e , allora .
Si conoscano e . Si determina l'angolo .
Si ottiene un possibile valore . In un triangolo possono esistere due angoli con lo stesso seno, e questo spiega l'ambiguità dell'SSA.
Nel caso SSA, cioè due lati e un angolo opposto, si possono avere uno, due o nessun triangolo. La scelta dipende dal confronto tra il lato dato e l'altezza relativa.
Si consideri , e . Si confronta il dato con l'altezza relativa.
Si ha . Poiché è maggiore di e minore di , esistono due triangoli possibili.
Il teorema dei seni si confronta con il teorema di Carnot, cioè la legge dei coseni, quando si devono risolvere triangoli non rettangoli.
Si usa il teorema dei seni quando sono noti un angolo e il suo lato opposto. Si usa il teorema di Carnot quando sono noti due lati e l'angolo compreso, oppure i tre lati.
Si conoscono , e . Si vuole trovare un altro lato.
Il teorema dei seni è adatto, perché è noto un lato con il suo angolo opposto. Con Carnot servirebbero due lati e l'angolo compreso, oppure tre lati.
Le unità di misura dipendono dal problema. I lati , , si misurano in unità di lunghezza, per esempio o . Il raggio ha la stessa unità dei lati.
Gli angoli , , si esprimono in gradi o radianti. Nel triangolo precedente, e .
In topografia si misurano una base e alcuni angoli per calcolare distanze non direttamente accessibili.
Se una base vale e l'angolo opposto vale , il teorema permette di ricavare altri lati del triangolo di misura.
Calcolare il lato di un triangolo sapendo che , e cm.
[IMMAGINE: Triangolo ABC con lato b = 12 cm opposto ad angolo B = 65°, angolo A = 35° e lato a richiesto; evidenziare anche l'angolo C ricavato.]
Si tratta di un caso AAS, cioè due angoli e un lato noto. Si usa il teorema dei seni.
Prima si ricava il terzo angolo. Si ha .
Sostituendo i dati si ottiene .
Il lato richiesto misura circa 7,6 cm.
Errore comune: dimenticare di calcolare prima l'angolo mancante prima di applicare la legge dei seni.
Determinare quanti triangoli si possono costruire con cm, cm e .
[IMMAGINE: Triangolo con lato a = 10 cm opposto ad angolo A = 30° e lato b = 14 cm; indicare la possibile posizione del vertice B per mostrare il caso ambiguo SSA.]
Il dato è di tipo SSA, cioè due lati e l'angolo opposto a uno di essi. Si deve controllare il caso ambiguo.
Si applica la legge dei seni nella forma per verificare l'esistenza delle soluzioni.
Poiché è compreso tra 0 e 1, un triangolo esiste.
Si hanno due angoli possibili: e .
Il primo caso è compatibile con un triangolo, il secondo porta a , quindi non è possibile.
Risultato: si ottiene un solo triangolo.
Errore comune: credere che un valore di seno ammissibile garantisca sempre due triangoli distinti.
Stabilire quale teorema conviene usare con i dati cm, cm e .
I dati sono di tipo SAS, cioè due lati e l'angolo compreso. In questo caso si usa il teorema di Carnot.
La legge dei seni richiede almeno una coppia lato-angolo opposto già nota. Qui questa coppia non è disponibile.
Sostituendo si ottiene .
Quindi .
Il confronto mostra che il teorema dei seni è adatto a dati con coppie opposte, mentre Carnot è utile con due lati e l'angolo compreso.
Errore comune: usare la legge dei seni in un caso SAS senza alcuna coppia lato-angolo opposto.
Verificare il legame tra il lato e il raggio del cerchio circoscritto sapendo che e cm.
Il teorema della corda, cioè la legge dei seni nella forma estesa, afferma che .
Si sostituiscono i valori noti per ricavare il raggio del cerchio circoscritto.
Poiché , si ottiene .
Il raggio del cerchio circoscritto misura circa 7,9 cm.
Errore comune: confondere il raggio del cerchio circoscritto con l'altezza del triangolo.
Si scrive che il teorema della corda dà solo , senza dire altro.
Si scrive l’enunciato completo: .
Il teorema collega i lati ai seni degli angoli e al raggio del cerchio circoscritto, cioè il cerchio che passa per i tre vertici. Se manca , si perde una parte essenziale del significato geometrico.
Si usa il teorema dei seni anche quando sono noti due lati e l’angolo compreso tra essi.
In quel caso si usa il teorema di Carnot, cioè la formula con il coseno. Il teorema dei seni si usa con dati del tipo AAS o SSA.
Il teorema dei seni non sfrutta l’angolo compreso tra due lati noti. Si applica quando si conosce una coppia lato-angolo opposto, oppure due angoli e un lato.
Si pensa che con il caso SSA esista sempre un solo triangolo.
Nel caso SSA possono esistere zero, uno oppure due triangoli.
Si verifica il caso ambiguo, cioè una situazione in cui i dati non determinano sempre una sola figura. La quantità di triangoli dipende dal confronto tra lato noto, altezza e angolo opposto.
Si confonde il teorema dei seni con il teorema di Carnot e si sceglie la formula in modo casuale.
Si usa il teorema dei seni quando compaiono lati opposti ad angoli noti. Si usa Carnot quando sono noti due lati e l’angolo compreso, oppure tre lati.
I due teoremi risolvono situazioni diverse. Il primo è adatto a triangoli con una relazione lato-angolo opposto già disponibile; il secondo è più utile quando manca proprio quell’informazione.
Si dimentica che la relazione vale solo per un triangolo e non per figure qualsiasi con archi o corde.
Si applica il teorema a un triangolo inscritto in un cerchio, quindi con i lati come corde del cerchio circoscritto.
La corda, cioè il segmento che unisce due punti della circonferenza, è legata al cerchio circoscritto del triangolo. Se la figura non è un triangolo, la formula non va applicata senza prima ricondurla a un triangolo.
Si crede che il teorema dei seni serva solo per esercizi astratti e non per problemi reali.
Si usa anche in triangolazione, navigazione e astronomia.
Il teorema permette di ricavare distanze e angoli quando non si può misurare tutto direttamente. Per questo è uno strumento fondamentale nei problemi applicativi.
Il teorema della corda, cioè legge dei seni, afferma che in ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante.
Per esempio, se , e , allora , quindi il valore comune è .
L'enunciato completo collega anche il triangolo al cerchio circoscritto, cioè il cerchio passante per i tre vertici.
Si usa per trovare lati o angoli quando si conoscono almeno un lato e il suo angolo opposto, oppure due angoli e un lato.
Nel caso AAS cioè due angoli e un lato, prima si ricava il terzo angolo con , poi si applica la proporzione dei seni.
Per esempio, se , , , allora e si calcola .
Il teorema dei seni si usa soprattutto quando compare un lato con l'angolo opposto o quando sono noti due angoli.
Il teorema di Carnot, cioè formula del coseno, si usa soprattutto nei casi SAS e SSS, cioè quando sono noti due lati e l'angolo compreso oppure i tre lati.
Per esempio, con , , , conviene Carnot perché il lato opposto si ottiene direttamente.
Si usa quando il triangolo non è risolvibile in modo immediato con i rapporti elementari, ma sono noti dati angolo-lato opposto.
I casi tipici sono AAS e SSA, cioè due angoli e un lato oppure due lati e un angolo opposto.
Per esempio, se si conoscono , e , si trova prima e poi gli altri lati con la proporzione.
Il teorema della corda è legato al cerchio circoscritto, cioè il cerchio che passa per i tre vertici del triangolo.
Il rapporto comune vale proprio , dove è il raggio di quel cerchio.
Per esempio, se , allora il valore comune è , quindi un lato si ottiene da .
Nel caso SSA, cioè due lati e un angolo opposto, possono esistere uno, due oppure nessun triangolo.
L'ambiguità dipende dal confronto tra l'altezza costruita con i dati e il lato disponibile.
Per esempio, se e , allora . Se il lato opposto è maggiore di , il triangolo può essere unico; in altri confronti può nascere il caso doppio o impossibile.
