Teorema del seno e Teorema del coseno

Teorema del seno

Iniziamo prendendo un triangolo qualsiasi:

Adesso tracciamo l'altezza rispetto a $\displaystyle { c }$ :

Ora, siccome abbiamo ottenuto due triangoli rettangoli , possiamo usare un po' di trigonometria:

Per la definizione di $\displaystyle { \sin(x) }$ , avremo:

$\displaystyle { h=a\cdot \sin(\beta) }$

e anche:

$\displaystyle { h=b\cdot \sin(\alpha) }$

Quindi:

$\displaystyle { a\cdot \sin(\beta)=b\cdot \sin(\alpha) }$

Ovvero:

$\displaystyle { {a\over \sin(\alpha)}={b\over \sin(\beta)} }$

Possiamo applicare lo stesso ragionamento con l'altezza rispetto ad $\displaystyle { a }$ per ottenere:

$\displaystyle { {b\over \sin(\beta)}={c\over \sin(\gamma)} }$

e quindi otteniamo:

$\displaystyle { {a\over \sin(\alpha)}={b\over \sin(\beta)}={c\over \sin(\gamma)} }$

Cosa significa?

Significa che il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale per tutti i lati del triangolo.

Quindi, per esempio, se conosciamo i tre lati ed un angolo, possiamo calcolare gli altri due molto facilmente.

Vediamo un esempio:

Supponiamo che, nel triangolo di prima, $\displaystyle { a }$ , $\displaystyle { b }$ e $\displaystyle { c }$ siano uguali corrispettivamente a $\displaystyle { 5cm }$ , $\displaystyle { 3cm }$ e $\displaystyle { 7cm }$ e che $\displaystyle { \alpha }$ sia uguale a $\displaystyle { {\pi \over 4} }$ . Quanto valgono $\displaystyle { \beta }$ e $\displaystyle { \gamma }$ ?

Grazie al teorema del seno abbiamo:

$\displaystyle { {a\over \sin(\alpha)}={b\over \sin(\beta)} }$

quindi:

$\displaystyle { \sin(\beta)={\sin(\alpha)\cdot b\over a} }$

Ricordando che $\displaystyle { \sin({\pi\over 4})={\sqrt 2\over 2} }$ avremo:

$\displaystyle { \beta=\arcsin({\sqrt 2 \cdot 3 \over 10}) \approx 0.4381 }$

Ovviamente abbiamo dato il risultato in radianti.

Possiamo fare lo stesso ragionamento per $\displaystyle { \gamma }$ ed ottenere:

$\displaystyle { \gamma=\arcsin({\sqrt 2 \cdot 7 \over 10})\approx 1.4289 }$

Teorema del coseno

Quando anni fa studiai il Teorema del coseno lo conobbi con il nome di Teorema di Al-kashi , dal nome del matematico persiano che lo dimostrò, anche se in Italia viene solitamente chiamato Teorema di Carnot , dal nome di un matematico francese che scrisse un libro che conteneva anche questo teorema.

Noi quindi preferiamo chiamarlo Teorema di Al-Kashi o Teorema del coseno, ma il vostro prof. potrebbe chiamarlo in un altro modo.

Passiamo dunque al teorema in sé. Prendiamo un triangolo qualsiasi:

Tracciamo l'altezza rispetto a $\displaystyle { c }$ e chiamiamo le proiezioni di $\displaystyle { a }$ e di $\displaystyle { b }$ su $\displaystyle { c }$ rispettivamente $\displaystyle { p_1 }$ e $\displaystyle { p_2 }$ :

Siccome otteniamo due triangoli rettangoli possiamo usare un po' di trigonometria. Per le definizioni del seno e del coseno, avremo:

$\displaystyle { h=a\cdot \sin(\beta) }$

$\displaystyle { p_1 = a\cdot \cos(\beta) }$

Notiamo facilmente che:

$\displaystyle { p_2 = c-p_1 }$

Ovvero:

$\displaystyle { p_2 = c- a\cdot \cos(\beta) }$

Grazie al teorema di Pitagora avremo:

$\displaystyle { b^2 = p_{2}^{2} + h^2 }$

sostituendo $\displaystyle { p_2 }$ e $\displaystyle { h }$ otteniamo:

$\displaystyle { b^2 = (c- a\cdot \cos(\beta))^2 + }$ $\displaystyle { (a\cdot \sin(\beta))^2 }$

Espandiamo e semplifichiamo:

$\displaystyle { b^2 = c^2 - 2ac\cdot \cos(\beta) }$ $\displaystyle { + a^2 \cdot \cos^2(\beta) + }$ $\displaystyle { a^2 \cdot \sin^2(\beta) }$

Ricordando che $\displaystyle { \cos^2(x) }$ $\displaystyle { +\sin^2(x)=1 }$ , possiamo raccogliere $\displaystyle { a^2 }$ e semplificare:

$\displaystyle { b^2 = c^2 - 2ac\cdot \cos(\beta) + }$ $\displaystyle { a^2 \cdot (\cos^2(\beta) + }$ $\displaystyle { \cdot \sin^2(\beta)) }$

$\displaystyle { b^2 = c^2 - 2ac\cdot \cos(\beta) + a^2 }$

Ovvero:

$\displaystyle { b^2 = c^2 +a^2 - 2ac\cdot \cos(\beta) }$

Questo teorema è utilissimo perché ci permette di calcolare il terzo lato di un triangolo conoscendo gli altri lati e l'angolo tra i due .

Il teorema del coseno viene spesso visto come una generalizzazione del teorema di Pitagora . Se infatti $\displaystyle { \beta }$ è un angolo retto, otteniamo $\displaystyle { \cos(\beta)=0 }$ e quindi:

$\displaystyle { b^2 = a^2 + c^2 }$

Normalmente è $\displaystyle { c }$ l'ipotenusa ma qui abbiamo cambiato l'ordine delle lettere.

Quindi, se prima potevamo calcolare il terzo lato conoscendo gli altri due solo se era un triangolo rettangolo, ora possiamo calcolarlo per qualsiasi triangoloconoscendo però anche l'angolo fra i due lati conosciuti .