Successioni

Cos'è una successione?

Una successione è una sequenza ordinata. Noi ci limiteremo a studiare le successioni di numeri reali, che quindi vengono chiamate successioni numeriche ma potremmo avere anche successioni di funzioni o di altri oggetti matematici.

Un modo per indicare una successione è tramite una legge che definisce l'ennesimo termine di essa, che chiameremo $\displaystyle { a_n }$ . Il primo termine della successione è $\displaystyle { a_0 }$ , dopo di lui c'è $\displaystyle { a_1 }$ , poi $\displaystyle { a_2 }$ e così via.

Vediamo un esempio:

La successione $\displaystyle { S }$ definita da:

$\displaystyle { a_n = 2n }$

È formata da tutti i numeri pari non negativi:

$\displaystyle { S = {0,2,4,6,8,10,...} }$

Possiamo indicare una successione come la sua legge scritta dentro parentesi graffe. Nell'esempio di prima, quindi, avremo:

$\displaystyle { S = \left\{ 2n \right\} }$

Vediamo ora la classificazione delle successioni:

Classificazione

Una successione è detta limitata inferiormente se esiste un numero reale $\displaystyle { m }$ tale che $\displaystyle { m }$ è minore o uguale di tutti i termini della successione.

La successione $\displaystyle { \left\{ 2n\right\} }$ dell'esempio di prima è dunque limitata inferiormente perché tutti i suoi termini sono maggiori o uguali a $\displaystyle { 0. }$

Una successione è limitata inferiormente, insomma, se non scende mai sotto ad un determinato valore.

Una successione è detta limitata superiormente se esiste un numero reale $\displaystyle { M }$ tale che $\displaystyle { M }$ è maggiore o uguale a tutti i termini della successione.

Per esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ {1\over n+1}\right\} }$ è limitata superiormente perché tutti i suoi termini sono minori o uguali ad $\displaystyle { 1. }$

Quindi una successione è limitata superiormente se non supera mai un determinato valore.

Se una successione è sia limitata inferiormente che limitata superiormente, si dice che la successione è limitata. Per esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ \cos(n) \right\} }$ è limitata perché il coseno è sempre compreso tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ .

Una successione si dice monotona crescente se ogni termine è maggiore o uguale di quello precedente, cioè se non diminuisce mai. In matematichese, se:

$\displaystyle { a_{n+1} \geq a_{n} \space \forall n }$

Dove $\displaystyle { \forall n }$ significa "per tutti gli $\displaystyle { n }$". Quindi, la successione $\displaystyle { \left\{ 2n \right\} }$ è monotona crescente.

Una successione di dice, poi, monotona strettamente crescente se ogni termine è maggiore di quello precedente, cioè se cresce sempre. Ovvero se:

$\displaystyle { a_{n+1} > a_{n} \space \forall n }$

Quindi $\displaystyle { \left\{ 2n \right\} }$ non solo è una successione monotona crescente, ma è anche monotona strettamente crescente.

Analogamente, una successione si dice monotona decrescente se ogni termine è minore o uguale a quello precedente. In altre parole, se:

$\displaystyle { a_{n_1} \leq a_{n} \space \forall n }$

Quindi, ad esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ {1\over n+1}\right\} }$ è una successione monotona decrescente.

Infine, una successione si dice monotona strettamente decrescente se ogni termine è minore di quello precedente. Ovvero se:

$\displaystyle { a_{n+1} < a_n \space \forall n }$

Dunque, la successione $\displaystyle { \left\{ {1\over n+1}\right\} }$ oltre ad essere una successione monotona decrescente è anche monotona strettamente decrescente.

Appare logico che una successione monotona strettamente crescente è sempre anche monotona crescente, però ci sono successioni monotoni crescenti che non sono anche monotone strettamente crescenti.

Un esempio è la successione di Fibonacci. Probabilmente già la conoscete, ma se non vi ricordate come viene definita, la sua legge afferma che l'ennesimo termine è dato dalla somma dei due precedenti e $\displaystyle { a_0=0 }$ e $\displaystyle { a_1=1 }$ .

Bisogna infatti determinare i primi due termini perché altrimenti non si saprebbe da dove partire. Potete giocare cambiando i punti di partenza ed osservando cosa ottenete.

Tornando a Fibonacci, l'ennesimo termine della successione viene definito come:

$\displaystyle { a_n = a_{n-1} + a_{n-2} }$ se $\displaystyle { n >1 }$ . Se $\displaystyle { n=1 }$ abbiamo $\displaystyle { a_n=1 }$ e se $\displaystyle { n=0 }$ abbiamo $\displaystyle { a_n=0 }$ .

Utilizzando questa legge, otteniamo che i primi termini della successione sono:

$\displaystyle { 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... }$

Anche se aumentando $\displaystyle { n }$ i termini aumentano abbastanza velocemente, notiamo che il terzo termine è uguale al secondo. Dunque la condizione che tutti i termini siano maggiori di quelli precedenti non è verificata.

È però vero che ogni termine è maggiore o uguale a quello precedente, dunque si tratta di una successione monotona crescente ma non monotona strettamente crescente.

Si dice che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un certo termine $\displaystyle { a_n }$ per cui questa proprietà viene soddisfatta da tutti i termini successivi ad esso.

Quindi, la successione di Fibonacci è definitivamente monotona strettamente crescente perché tutti i termini dopo il terzo soddisfano la condizione di essere maggiori del precedente.

Limite di una successione

Il limite di una successione ci dice come la successione si comporta quando $\displaystyle { n }$ tende ad infinito.

Se non avete molta familiarità con il concetto di limite, vi consigliamo di dare un'occhiata alla nostra lezione su di essi (clicca qui 👈), anche se non è fondamentale per questa lezione.

In altre parole, vogliamo vedere se i termini della successione continuano a crescere o a diminuire o se si stabilizzano intorno ad un certo valore o ancora se si comporta in qualche altro modo strano.

Vediamo meglio questi quattro casi:

• Se i termini della successione continuano a crescere sempre di più e quindi, preso qualsiasi numero reale $\displaystyle { M }$ , esiste un termine della successione maggiore di esso, si dice che la successione diverge a $\displaystyle { +\infty }$ e si scrive:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = + \infty }$

Ad esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ 2n \right\} }$ diverge a $\displaystyle { +\infty }$ perché i suoi termini aumentano sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari maggiore di esso.

• Se, invece, i termini della successione continuano a diminuire sempre di più, e quindi preso qualsiasi numero reale $\displaystyle { m }$ , esiste un termine della successione minore di esso, si dice che la successione diverge a $\displaystyle { -\infty }$ e si scrive:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = - \infty }$

Ad esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ -2n \right\} }$ diverge a $\displaystyle { -\infty }$ perché i suoi termini diminuiscono sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari negativo minore di esso.

• Se invece i numeri vanno a stabilizzarsi intorno ad un certo valore $\displaystyle { l }$ , si dice che la successione converge ad $\displaystyle { l }$ e si scrive:

$\displaystyle { \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = l }$

Matematicamente, esprimiamo il concetto di "stabilizzarsi" nel seguente modo:

La successione converge ad $\displaystyle { l }$ se, preso qualsiasi numero reale positivo $\displaystyle { \epsilon }$ (è una lettera greca e si legge "epsilon"), la successione possiede definitivamente la proprietà: $\displaystyle { |a_n -l|<\epsilon }$ .

Ricordiamo che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un termine tale che essa è verificata per tutti i termini successivi ad esso.

Analizziamo cosa significa la disequazione della proprietà:

Ci dice che il modulo della differenza del nostro termine ed $\displaystyle { l }$ è sempre minore di $\displaystyle { \epsilon }$ per tutti i termini dopo di esso.

Siccome $\displaystyle { \epsilon }$ può anche essere molto piccolo, dire che la loro differenza è minore di esso, è come dire che il nostro termine è molto molto vicino ad $\displaystyle { l }$ .

Dunque, se una successione converge ad un numero $\displaystyle { l }$ , significa che dopo un certo termine, quelli successivi si avvicinano sempre di più a questo valore.

Quindi, ad esempio, la successione $\displaystyle { \left\{ {1\over n+1}\right\} }$ converge a $\displaystyle { 0 }$ perché i suoi termini si avvicinano sempre di più a $\displaystyle { 0. }$

• Infine, se una successione non verifica nessuno dei precedenti casi, si dice che è indeterminata.

Ad esempio, se comincia ad oscillare tra due valori distinti, è indeterminata.

Infatti, la successione $\displaystyle { \left\{ {(-1)^n} \right\} }$ oscilla in continuazione tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -1 }$ ed è dunque indeterminata.