Lo studio del segno è l’analisi degli intervalli in cui una funzione risulta positiva, negativa oppure nulla. Si usa per descrivere il comportamento del grafico e per risolvere disequazioni.
| Caso | Condizione | Risultato / comportamento |
|---|---|---|
| Funzione polinomiale | Si trovano gli zeri risolvendo . | Il segno cambia in ogni zero di molteplicità dispari; non cambia in una molteplicità pari. |
| Funzione fratta | Si studiano separatamente numeratore e denominatore. | Il segno dipende dal prodotto dei segni; i valori con denominatore nullo sono esclusi dal dominio. |
| Funzione con radicale | Si impone prima la condizione di esistenza del radicale. | Poi si studia il segno solo nel dominio ammesso. |
| Funzione logaritmica | Si richiede argomento positivo. | Il segno si confronta con la soglia , tenendo conto del dominio. |
| Tableau dei segni | Si riportano zeri, punti esclusi e intervalli. | Si ottiene una lettura ordinata degli intervalli in cui , o . |
| Collegamento con lo studio di funzione | Si unisce al dominio e agli zeri della funzione. | Fornisce informazioni utili per il grafico e per le disequazioni. |
Lo studio del segno serve a capire in quali intervalli una funzione è positiva, negativa oppure nulla.() > 0, () < 0 oppure () = 0.
Si tratta di un passaggio fondamentale nello studio di funzione, cioè l'analisi delle proprietà principali di una funzione. Permette di capire dove il grafico sta sopra, sotto o sull'asse delle ascisse.
L'idea intuitiva è simile a una mappa del terreno. I punti in cui la funzione cambia segno sono come valichi che separano zone diverse.
Per esempio, se per compresi tra e si ha , allora il grafico si trova sopra l'asse .
Per esempio, se e , si ottiene . Il valore è negativo.
Si studia il segno perché molte domande di matematica si trasformano in un confronto con lo zero. Questa idea compare nelle disequazioni, nello studio dei grafici e nella ricerca degli intervalli di validità.
Se si conosce il segno della funzione, si può prevedere dove il grafico interseca l'asse delle ascisse e dove invece non lo interseca.
La questione centrale è semplice da enunciare: trovare gli intervalli in cui , quelli in cui e i punti in cui .
Per esempio, se una funzione vale positivamente tra e , allora la soluzione della disequazione è proprio quell'intervallo.
Per esempio, se , allora è positivo e .
Per i polinomi il segno dipende dagli zeri, cioè dai valori che annullano il polinomio, e dalla molteplicità, cioè da quante volte uno zero si ripete.
Un polinomio cambia segno in corrispondenza di uno zero di molteplicità dispari. Non cambia segno in corrispondenza di uno zero di molteplicità pari.
Se è dispari, il fattore passa da negativo a positivo, o viceversa.
Per esempio, con e , si ha . Con si ha . Il segno cambia.
Per esempio, con e , si ottiene . Con si ottiene ancora . Il segno non cambia.
[IMMAGINE: Retta reale con zeri di un polinomio segnati su punti distinti. Evidenziare un cambio di segno in corrispondenza di zeri semplici e nessun cambio in corrispondenza di zeri doppi. Etichette: zero, molteplicità dispari, molteplicità pari.]
Per una funzione fratta, cioè un rapporto tra due polinomi, il segno si ottiene confrontando separatamente numeratore e denominatore.
Si osserva prima dove il numeratore si annulla e dove il denominatore si annulla. I punti in cui il denominatore è zero vanno esclusi dal dominio.
Il segno del rapporto dipende dalla regola dei segni: positivo diviso positivo dà positivo, negativo diviso negativo dà positivo, positivo diviso negativo dà negativo.
Per esempio, se e , si ha . Il segno è negativo.
Per esempio, se , allora . Il segno è positivo.
Il metodo sistematico è il tableau, cioè la tabella dei segni. Si scrivono gli zeri del numeratore e del denominatore in ordine crescente.
Per esempio, con i punti critici e , la retta reale si divide in tre intervalli. In ciascuno si studia il segno di numeratore e denominatore.
Si consideri .
La retta si divide negli intervalli , e .
Si prova un valore per intervallo. Con , si ottiene . Con , si ottiene .
Si conclude che la funzione è negativa in e positiva in e .
Con radicali e logaritmi il segno non si studia da solo. Si parte dalle condizioni di esistenza, cioè dai valori per cui la funzione è definita.
Per un radicale di indice pari, il radicando deve essere non negativo. Per un logaritmo, l'argomento deve essere positivo.
Per esempio, se , allora si deve avere , cioè .
Per esempio, con si ottiene . Il valore è positivo.
Per esempio, se , il dominio richiede . Con si ha .
Nel caso di funzioni con più parti, si intersecano dominio e segno. Prima si eliminano i valori vietati. Poi si studia il segno nei tratti rimasti.
Il tableau è una tabella ordinata che riassume i cambi di segno di tutti i fattori di una funzione. È il metodo più sicuro per non perdere intervalli.
Si scrivono prima i punti critici, cioè zeri e punti esclusi dal dominio. Poi si analizza un intervallo alla volta.
Per esempio, se un fattore è positivo e un altro è negativo, il prodotto è negativo. Se entrambi sono negativi, il prodotto è positivo.
Per esempio, nel rapporto i punti critici sono , e .
Il tableau permette anche di risolvere disequazioni come o selezionando solo gli intervalli richiesti.
Per esempio, se il segno finale è positivo solo in due intervalli, la soluzione della disequazione è l'unione di quei due intervalli.
Lo studio del segno non è un esercizio isolato. Entra nello studio completo di funzione insieme a dominio, intersezioni, limiti e derivata.
In particolare, gli intervalli di positività aiutano a capire dove il grafico sta sopra l'asse , mentre gli zeri indicano i punti di intersezione con l'asse.
Quando si studia una funzione, si usa spesso il segno per controllare il comportamento del grafico in ogni tratto del dominio.
Per esempio, se una funzione razionale ha uno zero in e un punto escluso in , il grafico deve attraversare l'asse in ma interrompersi in .
Per esempio, se si conosce il segno prima e dopo uno zero semplice, si capisce anche come il grafico attraversa l'asse.
Questo rende lo studio del segno uno strumento di lettura del grafico, non solo un calcolo algebrico.
Lo studio del segno, cioè la ricerca degli intervalli in cui una funzione risulta positiva, negativa oppure nulla, si basa sulle sue espressioni algebriche.
Si cercano tre insiemi distinti: i punti in cui la funzione è positiva, i punti in cui è negativa e gli zeri della funzione, cioè i valori di per cui si annulla.
Si consideri la funzione e il punto .
Poiché il valore è positivo, la funzione è positiva in .
Per un polinomio, cioè una somma di monomi con esponenti interi non negativi, il segno dipende dagli zeri reali e dalle loro molteplicità.
Un zero di molteplicità pari non cambia segno attraversando il punto; una molteplicità dispari invece produce un cambio di segno.
Si consideri .
Vicino a il fattore quadrato non cambia segno. Vicino a il segno cambia.
Per una funzione fratta, cioè il rapporto tra due polinomi, il segno si ottiene combinando il segno del numeratore e quello del denominatore.
Non si deve mai dimenticare che il denominatore deve essere diverso da . I valori che annullano sono esclusi dal dominio.
Si consideri .
Si studiano i segni dei due fattori nei tre intervalli determinati da e .
Il criterio del prodotto è utile perché un rapporto è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.
Si costruisce il tableau, cioè una tabella dei segni che ordina zeri, punti esclusi e intervalli, poi si moltiplicano i segni riga per riga.
Si consideri .
La funzione è positiva nei primi e nell'ultimo intervallo, mentre è negativa tra i due zeri. In non è definita.
Per i radicali, cioè espressioni con radice, si impone prima la condizione di esistenza. Per i logaritmi, cioè funzioni inverse dell'esponenziale, l'argomento deve essere strettamente positivo.
Dopo aver trovato il dominio, si studia il segno dell'espressione interna o dell'argomento. In questo modo si evitano risultati privi di significato.
Si consideri .
La funzione è definita solo per valori di maggiori o uguali a . Inoltre, il valore della radice è sempre non negativo.
Gli zeri sono i punti in cui la funzione si annulla. Nei problemi di studio del segno coincidono con i punti di cambio o di mantenimento del segno.
Nel collegamento con lo studio di funzione, cioè l'analisi completa di dominio, limiti, monotonia e grafico, il segno è un passaggio preliminare perché individua gli intervalli significativi.
Si consideri .
Gli zeri sono e . Il segno divide la retta reale in tre intervalli utili per il grafico.
Studiare il segno di e determinare dove la funzione è positiva, negativa o nulla.
Si cercano gli zeri, cioè i valori di che annullano il polinomio. In questo caso il metodo è la scomposizione.
Si osserva che . Gli zeri sono quindi e .
Si studia il segno dei due fattori. Per entrambi i fattori sono negativi, quindi il prodotto è positivo.
Per il primo fattore è positivo e il secondo negativo, quindi il prodotto è negativo.
Per entrambi i fattori sono positivi, quindi il prodotto è positivo.
La funzione è positiva per e per . È nulla per e .
Errore comune: fermarsi agli zeri senza analizzare il segno negli intervalli.
Studiare il segno di e indicare dove la funzione è positiva.
Si individuano numeratore e denominatore, cioè le due parti che determinano il segno della frazione. Si controlla anche il dominio.
Il numeratore si annulla per . Il denominatore si annulla per , che è escluso dal dominio.
Si costruisce il tableau dei segni. Per numeratore e denominatore sono negativi, quindi il quoziente è positivo.
Per il numeratore è negativo e il denominatore positivo, quindi la frazione è negativa.
Per entrambi sono positivi, quindi la frazione è positiva.
La funzione è positiva per e per . Non è definita in .
Errore comune: includere nel segno il punto in cui il denominatore si annulla.
Studiare il segno di e determinare quando la funzione è non negativa.
[IMMAGINE: Retta reale con punto escluso x=2 come inizio del dominio, punto x=-1, intervallo del dominio x≥2 evidenziato con segni della funzione]
Si parte dalle condizioni di esistenza, cioè dai valori per cui la radice è definita. Serve .
Quindi il dominio è . Sul dominio, il fattore è sempre non negativo.
Si studia ora il segno di . Per si ha sempre .
Il prodotto di due fattori non negativi è non negativo. La funzione è quindi positiva o nulla per ogni .
Errore comune: studiare il segno senza prima imporre il dominio della radice.
Studiare il segno di e trovare dove la funzione è maggiore di zero.
Si considerano prima le condizioni di esistenza, cioè l'argomento del logaritmo deve essere positivo. Serve .
Il dominio è quindi . Per i logaritmi vale la regola: il logaritmo è positivo quando l'argomento è maggiore di 1.
Qui si ha . Si impone quindi , da cui .
Per il logaritmo è negativo, mentre per è positivo.
La funzione è positiva per . È definita solo per .
Errore comune: confondere la condizione di esistenza con la condizione di positività.
Pensare che lo studio del segno serva solo a trovare gli zeri di .
Lo studio del segno serve a individuare dove , dove e dove .
Lo zero è solo uno dei risultati. Il vero obiettivo è dividere il dominio in intervalli e stabilire il segno della funzione in ciascuno.
Concludere il segno di una funzione guardando un solo punto dell'intervallo.
Si devono considerare gli zeri, i punti di non definizione e i cambi di segno tra un intervallo e l'altro.
Il segno può variare passando attraverso uno zero o un punto escluso dal dominio. Un solo valore non basta per descrivere tutto l'andamento.
Nelle funzioni fratte, ignorare il denominatore e studiare solo il numeratore.
In una funzione fratta si studiano sia numeratore sia denominatore, poi si costruisce il tableau dei segni.
Il denominatore può annullarsi, quindi può togliere punti dal dominio. Inoltre il segno finale dipende dal prodotto dei segni dei due fattori.
Nel tableau, scrivere i segni senza separare bene gli intervalli determinati dagli zeri e dalle esclusioni.
Nel tableau si devono ordinare tutti i punti critici e leggere il segno intervallo per intervallo.
Se i punti critici sono messi in ordine sbagliato, il risultato finale diventa inattendibile. Il tableau è corretto solo se rispetta la successione dei valori critici.
Ritenere che significhi soltanto che la funzione è sopra l'asse in un punto qualsiasi scelto a caso.
La condizione va verificata su un intero intervallo del dominio.
Un singolo punto positivo non dimostra che la funzione sia positiva ovunque nello stesso intervallo. Si deve controllare il segno in ogni tratto separato dai punti critici.
Trascurare condizioni di esistenza quando compaiono radicali o logaritmi.
Prima si impongono le condizioni di esistenza, poi si studia il segno della funzione.
Per radicali e logaritmi non tutti i valori sono ammessi. Se il dominio è sbagliato, anche il segno risulta sbagliato.
Lo studio del segno è l’analisi dei valori per cui una funzione è positiva, negativa o nulla. Si cercano quindi i tratti in cui è maggiore di zero, minore di zero oppure uguale a zero.
Si trovano prima gli zeri della funzione e, se servono, i punti di non definizione. Poi si divide la retta in intervalli e si controlla il segno in ciascuno.
Per una funzione fratta si studiano separatamente numeratore e denominatore. Il segno finale dipende dal segno dei due fattori e dai valori esclusi dal dominio.
Il tableau si usa costruendo una tabella degli intervalli e dei segni dei fattori. In ogni riga si indica il segno di ciascun fattore e si ricava il segno della funzione.
La funzione è positiva quando assume valori maggiori di zero negli intervalli trovati dallo studio del segno. In pratica, si cercano i tratti del grafico sopra l’asse .
Per i polinomi si cercano zeri e molteplicità. Per radicali e logaritmi si aggiungono prima le condizioni di esistenza, poi si completa lo studio del segno.
Lo studio del segno è un passo dello studio di funzione completo. Serve per capire dove il grafico sta sopra o sotto l’asse , e prepara la lettura di grafico, monotonia e intersezioni.
