Sovrapposizione delle onde

Onde in fase e controfase

Due onde sono dette in fase se la differenza delle loro fasi è uguale ad un multiplo di $2pi:$

$\Delta \phi = 2\pi n$

$\Delta \phi = 2\pi n$

Mentre sono dette in controfase se la differenza tra le due fasi è un multiplo dispari di $\pi:$

$\Delta \phi = (2n+1)\pi$

Principio di sovrapposizione delle onde

Il principio di sovrapposizione delle onde ha un nome che lo fa sembrare complicato, ma si tratta in realtà di un concetto molto intuitivo.

In parole povere, esso dice che quando più onde si incontrano, dobbiamo sommarle per ottenere la risultante. Il grafico seguente mostra come due impulsi che si incontrano seguano questo principio:

Se vogliamo sommare due onde con stessa ampiezza, lunghezza d'onda e frequenza ma fasi iniziali diverse, otteniamo:

$y = A \cos(kx - wt - \phi_1) + A \cos(kx - wt - \phi_2)$

Grazie alle formule di prostaferesi possiamo unire i due coseni in un unico coseno ottenendo:

$y = 2A \cos({kx - wt - \phi_1 + kx - wt - \phi_2\over 2}) \cos({kx - wt -\phi_1 -kx + wt + \phi_2\over 2})$

$y = 2A \cos({2kx -2wt - \phi_1 -\phi_2 \over 2}) \cos({-\phi_1 + \phi_2 \over 2})$

Chiamando $\phi_1 - \phi_2$ come $\Delta \phi :$ otteniamo:

$y = 2A \cos(kx - wt - {\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos ({-\Delta \phi \over 2})$

Siccome $\cos(-x) = \cos(x),$ possiamo riscrivere $\cos({-\Delta \phi\over 2})$ come $\cos({\Delta \phi \over 2}):$

$y = 2A \cos(kx - wt -{\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos({\Delta \phi \over 2})$

Siccome $\cos({\Delta \phi \over 2})$ è soltanto una costante, possiamo richiamare $2A \cos({\Delta \phi \over 2})$

$y = A'\cos ({kx - wt - {\phi_2 + \phi_2 \over 2}})$

Quindi notiamo che otteniamo una nuova onda con stessa lunghezza d'onda e frequenza, ma con fase iniziale la media delle due fasi iniziali e con ampiezza diversa.

Guardiamo però un po' più attentamente alla nuova ampiezza $A'.$:

Abbiamo detto che essa è uguale a $2A \cos({\Delta \phi \over 2}).$ In valore assoluto, il coseno è sempre compreso tra $0$ ed $1,$ dunque la nuova ampiezza dovrà essere compresa tra

$0 \leq A' \leq 2A$

Interferenze totalmente costruittive e totalmente distruttive

Per il principio di sovrapposizione di due onde

Avremo dunque un'interferenza totalmente costruttiva quando la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo della lunghezza d'onda:

$|\Delta r| = n\lambda$

Mentre avremo un'interferenza totalmente distruttiva se la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo dispari di Mentre avremo un'interferenza totalmente distruttiva se la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo dispari di ${\lambda \over 2}:$

$|\Delta r| = (2n +1) {\lambda \over 2}$