Un sistema di secondo grado è un insieme di due equazioni, almeno una delle quali è di grado due. Si risolve spesso con sostituzione e si interpreta come intersezione di curve nel piano.
| Metodo / Caso | Significato | Condizioni / Risultato |
|---|---|---|
| Metodo di sostituzione | Si isola una incognita in una delle due equazioni e si sostituisce nell’altra. | Si ottiene una sola equazione di secondo grado; poi si verifica ogni coppia trovata. |
| Sistema retta-parabola | Si sostituisce in . | Si ricava un’equazione di secondo grado in ; le soluzioni corrispondono ai punti di intersezione. |
| Discriminante | Si studia il numero di soluzioni dell’equazione ottenuta. | Se non ci sono intersezioni, se c’è tangenza, se ci sono due intersezioni. |
| Sistema parabola-parabola | Si uguagliano le due espressioni di dopo la sostituzione. | Si ottiene spesso un’equazione di secondo grado; in casi particolari può diventare più semplice o simmetrica. |
| Verifica finale | Si sostituiscono le soluzioni nelle equazioni iniziali. | Solo le coppie che soddisfano entrambe le equazioni sono soluzioni del sistema. |
Un sistema di secondo grado, cioè un insieme di due equazioni in cui almeno una è di grado due, serve a trovare i punti comuni tra due curve nel piano.
Si può pensare a due strade che si incontrano. Il sistema descrive dove i due tracciati hanno la stessa coppia di coordinate.
L'idea geometrica è questa: ogni soluzione è un punto di intersezione, cioè un punto che soddisfa entrambe le equazioni contemporaneamente.
Per esempio, se e , si cercano i punti in cui le due altezze coincidono.
Sostituendo si ottiene , che diventa . Le soluzioni sono e .
Le coppie corrispondenti sono e .
Il metodo di sostituzione, cioè la tecnica che rimpiazza una variabile con un'espressione equivalente, si usa quando una delle due equazioni è già isolata.
Si prende una variabile e la si esprime con l'altra equazione. Poi si sostituisce questa espressione nella seconda equazione.
Per esempio, se e , si scrive .
Si ottiene poi . La sostituzione trasforma il sistema in una sola equazione da risolvere.
Questo passaggio è utile perché riduce il problema a un'equazione nota, cioè un'equazione di secondo grado.
Nel sistema retta-parabola, cioè nel confronto tra una retta e una parabola, la sostituzione porta quasi sempre a un'equazione di secondo grado in .
La retta fornisce il valore di , mentre la parabola contiene il termine quadratico. Per questo il grado finale cresce fino a due.
Si porta tutto a sinistra e si ottiene .
Per esempio, con e , si ha .
Le soluzioni sono . Poi si calcola sostituendo nella retta o nella parabola.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con una retta crescente e una parabola verso l'alto. Evidenziare i due punti di intersezione con etichette A e B, e segnare le coordinate sui due assi.]
Il numero di soluzioni dipende dal discriminante, cioè il valore che indica quante soluzioni reali possiede un'equazione di secondo grado.
Dopo la sostituzione, si calcola nell'equazione ottenuta.
Per esempio, per , si ha . Ci sono due soluzioni reali.
Per , invece, si ha . C'è una soluzione doppia.
Questo significa che il sistema può avere zero, una o due soluzioni reali, a seconda della posizione delle curve.
Nel sistema parabola-parabola, cioè nel confronto tra due parabole, la sostituzione porta a un'equazione di secondo grado oppure, in casi particolari, a un'identità.
Si osserva che le due curve possono incontrarsi in due punti, in un punto, oppure non incontrarsi affatto.
Si ottiene , quindi . Le soluzioni sono e .
Le ordinate corrispondenti sono . I punti di intersezione sono quindi e .
Nei casi simmetrici, le due parabole possono avere assi uguali o opposti. Allora i calcoli diventano più ordinati, ma il principio resta identico.
Se le due equazioni coincidono, ogni punto della parabola comune è soluzione del sistema. In quel caso si parla di infinite soluzioni.
La verifica, cioè il controllo finale delle coppie ottenute, serve a confermare che i calcoli siano coerenti.
Ogni soluzione trovata deve essere sostituita in entrambe le equazioni. Solo così si controlla che la coppia soddisfi il sistema intero.
Per esempio, nel sistema e , la coppia si verifica subito.
Sostituendo si ottiene e anche . La coppia è corretta.
Si può usare la verifica anche per scartare eventuali errori di calcolo. Questo passaggio è breve, ma molto utile.
Si risolva il sistema e .
Si uguagliano le due espressioni di : .
Si fattorizza: .
Si ottengono e .
Si calcolano le ordinate: per , si ha . Per , si ha .
Le soluzioni sono quindi e .
Un sistema non lineare , cioè un insieme di equazioni in cui almeno una incognita compare al quadrato o in forma non lineare, si studia cercando le coppie che soddisfano entrambe le condizioni.
Le incognite sono di solito e . Si interpreta ogni soluzione come un punto del piano che appartiene a entrambe le curve.
Si consideri il sistema dato da due curve nel piano.
Le soluzioni sono i punti comuni tra la parabola e la retta. Si trova il significato geometrico del sistema.
Per si ottiene nella parabola e nella retta. Il punto è quindi una soluzione.
La retta è descritta da , cioè il coefficiente angolare, e da , cioè l'intercetta sull'asse delle ordinate.
Nel metodo di sostituzione si isola una variabile e si rimpiazza nell'altra equazione. Questo trasforma il sistema in una sola equazione risolvibile.
Si sostituisce l'espressione della retta nella parabola.
Si uguagliano le due espressioni di : si ottiene .
Risolvendo si ottiene . Le soluzioni sono e .
Il discriminante , cioè la quantità che decide il numero di soluzioni reali di un'equazione di secondo grado, è fondamentale nel sistema retta-parabola.
Si ottiene un'equazione di secondo grado dal confronto tra le due curve.
Qui si ha .
Poiché , il sistema ha due soluzioni reali e quindi due punti di intersezione.
Nel sistema parabola-parabola si eguagliano le due funzioni e si ottiene una sola equazione. Se entrambe sono quadratiche, il calcolo porta ancora a un'equazione di secondo grado.
Un caso simmetrico frequente si presenta quando le due parabole hanno la stessa apertura o differiscono solo per traslazione. In questi casi la riduzione può semplificarsi molto.
Si confrontano due parabole nello stesso piano cartesiano.
Si impone l'uguaglianza .
Si ottiene , quindi . Sostituendo si ricava il punto comune.
La verifica finale consiste nel sostituire ogni coppia in entrambe le equazioni. Solo le coppie che rendono vere tutte le relazioni sono soluzioni del sistema.
Questo passaggio è essenziale perché alcune radici possono comparire durante i calcoli ma non soddisfare entrambe le equazioni. La verifica elimina questi casi.
Si controlla una coppia ottenuta algebricamente.
Per la coppia si ha e .
Risolvere il sistema e . Si trova il numero di punti di intersezione.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con la retta y = x + 1 e la parabola y = x² - 3x + 4. Evidenziare i punti di intersezione A e B.]
Si scelgono le incognite e . Il metodo è la sostituzione, cioè si esprime una variabile con l'altra.
Si sostituisce nella seconda equazione.
Si portano i termini nello stesso membro.
Si fattorizza l'equazione di secondo grado.
Si ottengono due valori di , cioè e .
Si calcolano le ordinate con .
Le soluzioni sono e . Il sistema ha 2 soluzioni.
Errore comune: sostituire la retta in modo errato o dimenticare di ricavare entrambe le coordinate dei punti.
Risolvere il sistema e . Si studia il caso di tangenza.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con la retta y = 2x + 1 tangente alla parabola y = x² - 2x + 1 nel punto di contatto.]
Si usa la sostituzione, cioè si uguagliano le due espressioni di .
Si riduce l'equazione di secondo grado.
Si raccoglie .
Si ottengono le soluzioni e .
Si verifica se entrambe appartengono al sistema. Per , si ha . Per , si ha .
Le intersezioni sono e . Il sistema ha 2 soluzioni.
Errore comune: fermarsi dopo aver trovato le ascisse e non ricavare le ordinate.
Risolvere il sistema e . Si confrontano due parabole.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con due parabole y = x² e y = x² + 2x + 1, evidenziando un punto di intersezione se presente.]
Si imposta l'uguaglianza tra le due espressioni di .
Si semplifica sottraendo da entrambi i membri.
Si risolve l'equazione lineare ottenuta.
Si sostituisce il valore nella prima equazione.
La soluzione è . Il sistema ha 1 soluzione.
Errore comune: credere che due parabole abbiano sempre due intersezioni.
Risolvere il sistema e . Si studia un caso senza intersezioni reali.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con la parabola y = x² + 1 e la retta y = 2x + 5, disegnate senza punti di intersezione.]
Si uguagliano le due espressioni di .
Si porta tutto a sinistra.
Si calcola il discriminante, cioè il numero che decide quante soluzioni reali esistono.
Poiché , l'equazione ha due soluzioni reali. Si corregge quindi l'idea iniziale: la retta interseca la parabola in due punti.
Si trovano le ordinate sostituendo in .
Le soluzioni sono e . Il sistema ha 2 soluzioni.
Errore comune: dedurre il numero di soluzioni dal solo grafico senza fare i calcoli.
Verificare le soluzioni del sistema e . Si controlla il risultato ottenuto.
Si uguagliano le due espressioni di .
Si porta tutto a sinistra e si risolve.
Si ottiene ancora .
Si sostituisce ogni valore nella retta per controllare la coerenza delle coppie trovate.
Le coppie ordinate sono quindi corrette. La verifica conferma il risultato. Verifica sempre le soluzioni di un sistema.
Errore comune: non sostituire entrambe le soluzioni e non controllare i segni.
Si risolve il sistema sommando o sottraendo le due equazioni come se fosse sempre lineare.
Si isola un'incognita in una delle equazioni e si sostituisce nell'altra.
Nei sistemi di secondo grado compare un termine quadratico. Perciò i metodi delle equazioni lineari non sono sempre sufficienti. Il metodo di sostituzione resta il più affidabile nei casi standard.
Nel sistema retta-parabola si sostituisce la parabola nella retta senza controllare quale incognita è già esplicitata.
Si scrive di solito e si sostituisce in , ottenendo un'equazione di secondo grado in .
L'errore nasce quando si confonde la forma delle equazioni. Conviene partire dalla relazione più semplice da isolare. In questo modo si riduce subito il sistema a una sola variabile.
Nel sistema parabola-parabola si conclude subito che le curve hanno sempre due punti di intersezione.
Si deve prima ridurre il sistema a un'equazione di secondo grado e poi studiare il discriminante.
Due parabole possono intersecarsi in 0, 1 o 2 punti. Il numero di soluzioni dipende dai coefficienti. Non si può decidere il risultato senza risolvere l'equazione ottenuta.
Si pensa che un discriminante negativo significhi una soluzione reale nascosta.
Se non ci sono soluzioni reali.
Il discriminante, cioè la quantità che stabilisce il numero di soluzioni reali di un'equazione di secondo grado, va interpretato con precisione. Se è negativo, le curve non si incontrano nel piano reale.
Si crede che significhi sempre due soluzioni uguali da scrivere entrambe.
Se c'è una sola soluzione reale doppia, quindi un solo punto di contatto.
Nel caso tangente, le due soluzioni coincidono. È un caso unico, non due punti distinti. Questo vale spesso per la retta tangente alla parabola.
Si trovano le intersezioni e non si verifica se soddisfano entrambe le equazioni del sistema.
Ogni soluzione trovata va sostituita in entrambe le equazioni per la verifica finale.
Durante i passaggi possono comparire soluzioni spurie, cioè valori che non soddisfano l'intero sistema. La verifica elimina gli errori di calcolo e di trasformazione.
Si risolvono quasi sempre con il metodo di sostituzione, cioè si ricava un’incognita da una equazione e la si inserisce nell’altra.
Si ottiene così una equazione di secondo grado, cioè un’equazione con termine o come massimo grado.
Nel sistema retta-parabola si sostituisce l’equazione della retta in quella della parabola e si ottiene una equazione di secondo grado.
Le soluzioni corrispondono ai punti di intersezione delle due curve nel piano cartesiano, cioè ai punti comuni alle due grafici.
Se il discriminante è positivo si hanno due intersezioni, se è nullo una sola, se è negativo nessuna.
Nel sistema parabola-parabola si uguagliano le due espressioni e si riduce il problema a una equazione di secondo grado.
In forma generale, si confrontano due parabole e si cercano i punti in cui hanno le stesse coordinate.
Il numero di soluzioni dipende dalle intersezioni tra le due curve e può essere 0, 1 oppure 2.
In casi particolari possono comparire infinite soluzioni, se le due equazioni descrivono la stessa parabola.
Un sistema di secondo grado può avere 0, 1 o 2 soluzioni reali, a seconda del discriminante della equazione ottenuta.
Il metodo di sostituzione consiste nel ricavare una incognita da una equazione e sostituirla nell’altra.
È il metodo più usato nei sistemi di secondo grado, perché trasforma il sistema in una sola equazione da risolvere.
Dopo aver trovato i valori, si verifica sempre nelle equazioni iniziali, perché alcune soluzioni possono essere estranee.
L’intersezione retta e parabola si trova sostituendo la retta nella parabola e risolvendo la equazione risultante.
Geometricamente, i punti trovati sono i punti comuni ai due grafici nel piano cartesiano.
