La retta tangente è la retta che, in un punto della curva, ne descrive il comportamento locale. Il suo coefficiente angolare coincide con la derivata della funzione nel punto.
| Caso | Condizione | Risultato/Comportamento |
|---|---|---|
| Tangente in | è derivabile in | e |
| Tangente orizzontale | La tangente ha pendenza nulla e passa per | |
| Tangente verticale | non esiste oppure è | La tangente è parallela all’asse |
| Retta normale | Tangente non verticale e | e la normale è perpendicolare alla tangente |
| Linearizzazione | vicino a |
La retta tangente, cioè la retta che tocca il grafico in un punto e ne segue l’andamento locale, serve a descrivere il comportamento immediato di una curva.
L’idea nasce da un problema pratico. Si vuole sostituire una curva con una retta, vicino a un punto, per rendere i calcoli più semplici.
Questa sostituzione funziona perché, in un intervallo molto piccolo, la curva assomiglia molto alla sua tangente. Si ottiene così una buona approssimazione locale.
Si consideri una funzione e un punto di ascissa . Il problema è trovare la retta che passa per il punto della curva e ha la stessa inclinazione locale.
Per esempio, se e , allora e . Quindi il coefficiente angolare vale e la tangente è , cioè .
[IMMAGINE: Grafico di una curva liscia nel piano cartesiano. Nel punto P(x₀,f(x₀)) si disegna la retta tangente, con evidenza della pendenza. Etichette: curva, tangente, punto P, ascissa x₀, ordinata f(x₀).]
La derivata, cioè il numero che misura la variazione istantanea di una funzione, coincide con la pendenza della tangente nel punto.
Questo legame è il cuore del metodo. La curva, in un punto, si comporta come la sua tangente. Perciò la derivata fornisce l’inclinazione locale.
Se , la tangente sale di 3 unità verticali quando ci si sposta di 1 unità orizzontale.
Per esempio, se e , allora e quindi . La tangente ha coefficiente angolare .
Il coefficiente angolare della curva, in senso locale, non è un numero unico per tutta la funzione. Si varia da punto a punto e coincide con la derivata calcolata in quel punto.
L’equazione della tangente si costruisce come quella di una retta passante per un punto noto e con pendenza nota. Prima si trova il punto della curva, poi la derivata.
Si parte dal punto e dal coefficiente angolare . Da qui si usa la forma punto-pendenza della retta.
Per esempio, con e , si ha e , quindi .
Si sostituisce nella formula e si ottiene . Dopo lo sviluppo, risulta .
Il punto importante è questo: la tangente non si inventa. Si ricava sempre dal punto della curva e dalla derivata nello stesso punto.
Si consideri la funzione nel punto di ascissa .
Si calcola prima il valore della funzione: .
Quindi .
Dopo lo sviluppo si ottiene .
Una tangente orizzontale, cioè parallela all’asse delle ascisse, rappresenta un punto in cui la curva non cresce né decresce istantaneamente.
Ciò accade quando la derivata vale zero nel punto considerato. In quel caso la pendenza della tangente è nulla.
Per esempio, per nel punto , si ha e quindi . La tangente è orizzontale.
Un punto con derivata zero si chiama punto stazionario, cioè un punto in cui la funzione ha pendenza nulla.
Non ogni punto stazionario è un massimo o un minimo. La derivata nulla indica solo una tangente orizzontale.
Una tangente verticale, cioè parallela all’asse delle ordinate, ha pendenza non finita. In questo caso la derivata non esiste oppure tende a infinito.
Si osserva spesso in curve con un cuspide o con un tratto molto ripido. La retta tangente non può essere descritta con un coefficiente angolare finito.
Per esempio, per nel punto , la pendenza cresce senza limite vicino allo zero. La tangente risulta verticale.
In questi casi la formula della retta con coefficiente angolare non si usa, perché il coefficiente non è un numero reale finito.
La normale, cioè la retta perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza, serve quando si vuole descrivere la direzione ortogonale alla curva.
Se la tangente ha coefficiente angolare , allora la normale ha coefficiente , purché .
Per esempio, se , allora la normale ha coefficiente angolare .
Con e , si ha e . Quindi la normale è .
Se la tangente è verticale, la normale è orizzontale. Se la tangente è orizzontale, la normale è verticale.
La linearizzazione, cioè la sostituzione della curva con la sua tangente vicino a un punto, permette di stimare valori difficili da calcolare direttamente.
L’idea è semplice. Vicino a , la funzione e la tangente hanno valori molto vicini. Per questo la tangente dà una buona approssimazione locale.
Per esempio, con vicino a , si ha e , quindi .
Per stimare , si usa la tangente: . Il valore esatto è molto vicino.
Questa idea è utile in fisica, chimica ed economia. Si semplifica il calcolo senza perdere troppo in precisione locale.
In sintesi, la tangente traduce il comportamento di una curva in un linguaggio lineare. La derivata è il ponte tra i due oggetti.
La tangente, cioè la retta che approssima localmente il grafico in un punto, si descrive con il coefficiente angolare della derivata nel punto.
Qui è il coefficiente angolare, cioè la pendenza della retta, mentre è la derivata calcolata nel punto .
Se e il grafico cresce di 2 unità verticali per 1 orizzontale, la tangente ha pendenza positiva pari a 2.
Si consideri nel punto .
Si calcola e quindi .
La tangente in ha quindi coefficiente angolare .
Questa è l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa .Si usa il punto di tangenza e la pendenza .
La formula fornisce una retta in forma punto-pendenza, cioè una forma che usa un punto noto e il coefficiente angolare.
Si prenda e .
Si ha e .
Sviluppando, si ottiene .Questa è la retta tangente nel punto richiesto.
Per la lettura rapida delle variabili si osserva il seguente significato.
Questa è la forma esplicita di una retta. Se si conoscono e un punto, si ricava sostituendo le coordinate note.
Se la tangente ha e passa per , allora e quindi .
Si consideri la tangente trovata in precedenza.
Dalla forma si ricava la forma esplicita.
La tangente orizzontale, cioè una retta parallela all'asse delle ascisse, compare quando la derivata si annulla.
In questo caso la pendenza è nulla. Il punto è un punto stazionario, cioè un punto in cui la funzione ha derivata zero.
Se e in , la tangente è orizzontale e l'equazione diventa .
Si consideri nel punto .
Si calcola e quindi .
La retta tangente è quindi , cioè l'asse delle ascisse.
La retta normale, cioè la retta perpendicolare alla tangente nel punto di contatto, ha coefficiente angolare opposto e reciproco.
Se , allora . Se invece non esiste o vale zero, il caso si tratta separatamente.
Si usi il punto precedente con tangente di pendenza .
La normale ha pendenza .
Questa è l'equazione della retta normale nel punto .
La linearizzazione, cioè l'approssimazione locale di una funzione con la sua tangente, è utile vicino al punto di contatto.
Se è vicino a , la differenza tra funzione e tangente è piccola. Questo permette stime rapide.
Con e , si ha e . Per , si ottiene .
Si consideri vicino a .
Si ha e , quindi .
Per si ottiene una stima vicina al valore esatto.
Si determini l’equazione della retta tangente alla curva nel punto di ascissa .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con la parabola y = x^2, punto P(1,1) evidenziato, retta tangente passante per P, asse delle ascisse e delle ordinate etichettati.]
Si conoscono la funzione e il punto . Si deve trovare il coefficiente angolare della tangente e poi l’equazione della retta.
Si calcola la derivata, cioè la funzione che dà il coefficiente angolare della tangente.
Nel punto si ottiene . Quindi la tangente ha pendenza .
Poiché e , si scrive .
La retta tangente è .
Errore comune: scrivere la tangente usando solo il punto, senza la derivata.
Si determini la retta tangente alla curva nel punto di ascissa .
[IMMAGINE: Grafico della funzione f(x)=x^3-3x con il punto P(1,-2), tangente orizzontale in P e assi cartesiani etichettati.]
Si cerca un punto in cui la tangente sia orizzontale. Questo accade quando la derivata vale .
Si deriva la funzione e si valuta nel punto richiesto.
Nel punto si ottiene .
Si calcola anche . Quindi l’equazione diventa .
La tangente è orizzontale e coincide con la retta di equazione .
Errore comune: credere che una tangente orizzontale significhi derivata negativa.
Si trovi l’equazione della retta normale alla curva nel punto di ascissa .
[IMMAGINE: Parabola y=x^2 con punto P(2,4), tangente nel punto e retta normale perpendicolare alla tangente, con angoli retti segnati.]
La retta normale è la perpendicolare alla tangente nel punto considerato. Il suo coefficiente angolare è l’opposto del reciproco di quello della tangente.
Si calcola prima la derivata e poi il coefficiente angolare della tangente.
Nel punto si ottiene . Quindi per la tangente si ha .
Si ricava . Il punto di tangenza è .
La retta normale è .
Errore comune: usare il reciproco della tangente senza cambiare segno.
Si approssimi usando la retta tangente della funzione nel punto vicino .
Si tratta di una linearizzazione, cioè un’approssimazione locale della funzione con la sua tangente.
Si calcola il valore della funzione e della derivata nel punto scelto.
In si ha e .
Quindi . Si sostituisce .
Si ottiene l’approssimazione .
Errore comune: usare la tangente lontano dal punto di tangenza.
Usare direttamente il punto della curva come equazione della tangente.
Si calcola prima il coefficiente angolare con , poi si usa .
L’errore nasce dal confondere il punto con la retta. La tangente passa per , ma la sua inclinazione dipende dalla derivata nel punto.
Dire che la derivata è la curva oppure che descrive tutta la curva.
La derivata è il coefficiente angolare della tangente nel punto, cioè la pendenza locale della curva.
La derivata non coincide con il grafico della funzione. Indica invece come la funzione varia in un punto preciso e quindi orienta la tangente.
Scambiare il coefficiente angolare della curva con il valore della funzione, per esempio usare .
Il coefficiente angolare della tangente è , non .
Il valore dà l’ordinata del punto. La derivata dà l’inclinazione della tangente. Sono informazioni diverse e non vanno confuse.
Concludere che la tangente è orizzontale quando la derivata è piccola.
La tangente è orizzontale quando .
Una pendenza piccola non basta. Una tangente orizzontale ha coefficiente angolare nullo, quindi si verifica solo nei punti stazionari.
Calcolare la retta normale con lo stesso coefficiente angolare della tangente.
La normale è perpendicolare alla tangente e ha coefficiente angolare , quando .
L’errore nasce dal confondere rette parallele e perpendicolari. Se la tangente è verticale, la normale è orizzontale, quindi il calcolo cambia completamente.
Dire che la tangente verticale si ottiene con .
La tangente verticale si ha quando non esiste oppure tende a .
Lo zero della derivata indica una tangente orizzontale, non verticale. La verticale compare quando la pendenza non è finita.
Si trova usando il punto di tangenza e la derivata nel punto. La retta tangente a una curva in ha equazione .
La derivata nel punto fornisce il coefficiente angolare della tangente. In simboli, si ha .
Per esempio, se , la tangente sale di 2 unità ogni 1 unità orizzontale.
Il coefficiente angolare, cioè la pendenza della retta, misura quanto la curva cresce o decresce localmente. Nella tangente in coincide con .
La retta tangente è orizzontale quando la derivata nel punto vale zero. Questo accade in un punto stazionario, cioè un punto in cui la funzione ha pendenza nulla.
Per esempio, se , la tangente ha equazione .
La retta normale si calcola prendendo la perpendicolare alla tangente nel punto. Se la tangente ha coefficiente , allora la normale ha coefficiente .
Per esempio, se , allora .
L'equazione della tangente serve per approssimare la curva vicino al punto. Questa idea si chiama linearizzazione, cioè sostituzione locale della curva con la sua retta tangente.
La tangente è verticale quando la derivata non esiste oppure tende a . In questo caso la pendenza non è un numero finito.
