Razionalizzazione

Cos'è la razionalizzazione?

La razionalizzazione consiste nel semplificare una frazione con radicali al denominatore in maniera tale da rendere il denominatore privo di radicali.

Perché razionalizzare?

Prima di vedere come razionalizzare guardiamo al perché conviene razionalizzare.

Le ragioni sono principalmente due:

La prima è che è molto più semplice fare i calcoli con una frazione razionalizzata. I minimi comuni denominatori, ad esempio, risultano molto più semplici.

La seconda è che spesso, per esempio nei problemi di fisica, si ha un’idea più chiara della quantità di cui si sta parlando.

Se ad esempio vi diciamo $\displaystyle { {1\over \sqrt{10}-3} }$ è difficile stimare il suo valore, mentre se vi diciamo $\displaystyle { {\sqrt{10}+3 \over 1} }$ che sarebbe $\displaystyle { \sqrt{10}+3 }$ è molto più intuitivo.

Come razionalizzare

Partiamo da un caso particolare più semplice che è comunque molto comune:

Del caso in cui abbiamo qualcosa del tipo: $\displaystyle { {A(x)\over \sqrt{n}}, }$ dove $\displaystyle { A(x) }$ è qualcosa che dipende da $\displaystyle { x; }$ ma tanto di $\displaystyle { A(x) }$ per ora non ce ne importa niente, noi vogliamo solo far scomparire quel $\displaystyle { \sqrt{n} }$ dal denominatore (dove ovviamente n è un qualsiasi numero reale positivo).

Per risolvere questo problema usiamo un trucchetto che poi in generale ci permetterà di razionalizzare ogni tipo di frazione: sappiamo che moltiplicare qualcosa per $\displaystyle { 1 }$ non cambia niente, su questo non ci piove. Però è anche vero che: $\displaystyle { {\sqrt{n}\over \sqrt{n}}=1. }$ Dunque possiamo moltiplicare per $\displaystyle { \sqrt{n} \over \sqrt{n} }$ la nostra frazione.

Così facendo otteniamo:

Ed ecco che non c’è più alcun radicale al denominatore.

Il processo della razionalizzazione risiede in questo: moltiplicare per un qualcosa che è uguale ad $\displaystyle { 1 }$ e semplificare.

Facciamo qualche esempio per chiarire meglio:

• $\displaystyle { {3 \over \sqrt{5}}={3 \over \sqrt{5}} \cdot {\sqrt{5} \over \sqrt{5}}={3\sqrt{5} \over {\sqrt{5}}^2}={3\sqrt{5}\over 5} }$

• $\displaystyle { {4x \over \sqrt{2}}={4x \over \sqrt{2}} \cdot {\sqrt{2}\over \sqrt{2}} = }$ $\displaystyle { {4x\sqrt{2}\over 2}=2x\sqrt{2}=2\sqrt{2} x }$

• $\displaystyle { {x^2 \over \sqrt{17}}={x^2 \over \sqrt{17}} \cdot {\sqrt{17} \over \sqrt{17}}= }$ $\displaystyle { {\sqrt{17} x^2 \over 17} }$

Guardiamo al caso più generale che possiamo avere con le radici quadrate. Prendiamo una frazione del tipo:

$\displaystyle { {A(x)\over a+\sqrt{b}} }$

Proviamo ora a ricordare i prodotti notevoli (lezione qui ). Nella somma per differenza $\displaystyle { ((a+b)\cdot(a-b)=a^2 - b^2) }$ entrambi i termini vengono elevati al quadrato e questo è perfetto per far scomparire la nostra radice quadrata.

Al denominatore abbiamo $\displaystyle { a+\sqrt{b}, }$ quindi per avere una somma per differenza dobbiamo moltiplicare per $\displaystyle { a-\sqrt{b}. }$ Usiamo quindi lo stesso trucchetto del caso precedente:

$\displaystyle { {A(x)\over {a+\sqrt{b}}}={A(x)\over {a+\sqrt{b}}}\cdot {a-\sqrt{b}\over a-\sqrt{b}}= }$ $\displaystyle { {A(x)\cdot (a-\sqrt{b})\over a^2-(\sqrt{b})^2}= }$ $\displaystyle { {A(x)\cdot (a-\sqrt{b})\over a^2-b} }$

Ed ecco che il nostro denominatore è libero dalle radici quadrate! Facciamo qualche esempio:

• $\displaystyle { {1\over 4+ \sqrt{3}}= {1 \over 4+\sqrt{3}} \cdot {4-\sqrt{3}\over 4-\sqrt{3}}= }$ $\displaystyle { {4-\sqrt{3}\over 4^2 - (\sqrt{3}^2)}= }$ $\displaystyle { {4-\sqrt{3}\over 16-3}= {4-\sqrt{3}\over 13} }$

• $\displaystyle { {1\over 3-\sqrt{8}}={1\over 3-\sqrt{8}} \cdot {3+\sqrt{8}\over 3+\sqrt{8}}= }$ $\displaystyle { {3+\sqrt{8}\over 3^2 -(\sqrt{8})^2}= }$ $\displaystyle { {3+\sqrt{8}\over 9-8}=3+\sqrt{8} }$

• $\displaystyle { {x\over \sqrt{3}-1}={x\over \sqrt{3}-1}\cdot {\sqrt{3}+1 \over \sqrt{3}+1}= }$ $\displaystyle { {x(\sqrt{3}+1)\over (\sqrt{3})^2 -1^2}= }$ $\displaystyle { {x(\sqrt{3}+1)\over 3-1}={x(\sqrt{3}+1)\over 2} }$

Quindi ecco come si risolve l’esempio proposto nell’introduzione sulla razionalizzazione:

$\displaystyle { {1\over \sqrt{10}-3}={1\over \sqrt{10}-3} \cdot {\sqrt{10}+3 \over \sqrt{10}+3}={\sqrt{10}+3\over (\sqrt{10})^2 -3^2}= }$ $\displaystyle { {\sqrt{10}+3 \over 1}=\sqrt{10}+3 }$

Potrebbero apparire $\displaystyle { A(x) }$ più complicati, ma poi quello si tratta di semplificare. Per quanto riguarda la razionalizzazione con radici quadrate questo è tutto quello che dovete sapere.

Razionalizzazione con radicali

Possono comparire altri radicali al numeratore che non siano radici quadrate. Il procedimento è più o meno lo stesso e sono molto più rari da trovare, ma siccome si possono comunque trovare, vediamo velocemente come risolverli:

Un caso più semplice può essere quando abbiamo una frazione della forma:

Come nel caso della radice quadrata vogliamo moltiplicare per qualcosa che sia uguale ad $\displaystyle { 1 }$ e che faccia scomparire quel radicale. Per fare ciò si dovrebbe ottenere qualcosa del tipo $\displaystyle { \sqrt[n]{a^n}. }$

Per le proprietà dei radicali sappiamo che possiamo riscriverlo come $\displaystyle { \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}. }$ Quindi, avendo $\displaystyle { \sqrt[n]{a}, }$ proviamo a moltiplicare per $\displaystyle { {\sqrt[n]{a^{n-1}}\over \sqrt[n]{a^{n-1}}}: }$

$\displaystyle { {A(x)\over \sqrt[n]{a}}={A(x)\over \sqrt[n]{a}}\cdot {\sqrt[n]{a^{n-1}}\over \sqrt[n]{a^{n-1}}}={A(x)\cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}\over a} }$

Se poi possiamo riscrivere $\displaystyle { a }$ come $\displaystyle { b^m, }$ si ottiene una formula più complicata ma che agevola i calcoli (si lavora con numeri più piccoli). Bisogna fare lo stesso procedimento di prima ma questa volta sfruttiamo il fatto che $\displaystyle { b=\sqrt[n]{b^n}=\sqrt[n]{b^{m+n-m}}=\sqrt[n]{b^m}\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}. }$

Quindi:

Facciamo qualche esempio:

• $\displaystyle { {1\over \sqrt[3]{2}}={1\over \sqrt[3]{2}} \cdot {\sqrt[3]{2^2} \over \sqrt[3]{2^2}}={\sqrt[3]{2^2} \over \sqrt[3]{2^3}}={\sqrt[3]{4}\over 2} }$

• $\displaystyle { {7\over \sqrt[5]{3}}={7\over \sqrt[5]{3}} \cdot {\sqrt[5]{3^4} \over \sqrt[5]{3^4}}={7\sqrt[5]{3^4} \over \sqrt[5]{3^5}}={7\sqrt[5]{81}\over 3} }$

• $\displaystyle { {x+1 \over \sqrt[7]{16}}={x+1 \over \sqrt[7]{2^4}}= {x+1 \over \sqrt[7]{2^4}} \cdot {\sqrt[7]{2^3}\over \sqrt[7]{2^3}}= }$ $\displaystyle { {(x+1)\cdot \sqrt[7]{2^3}\over \sqrt[7]{2^7}}={(x+1)\cdot \sqrt[7]{8} \over 2} }$

Infine, abbiamo un ultimo caso da analizzare: quello in cui compaiano la somma di due radicali o la somma di un radicale ed un numero razionale.

Si tratta di un caso rarissimo, che non si incontra praticamente mai, ma per correttezza vediamo anch'esso.

In generale, quello che bisogna fare, è utilizzare i prodotti notevoli della somma per differenza e della somma o differenza di due cubi.

Vediamo un esempio concreto per capire il meccanismo:

Vogliamo razionalizzare $\displaystyle { {1\over \sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{2}}, }$ come fare?

L'indice dei due radicali è $\displaystyle { 6 }$ ed è dunque pari, quindi applichiamo il prodotto notevole della somma per differenza per poter intanto dividere per $\displaystyle { 2 }$ l'indice.

Per farlo moltiplichiamo per $\displaystyle { {\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}\over \sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}}, }$ ottenendo:

$\displaystyle { {1\over \sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{2}} = {1\over \sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{2}} \cdot {\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}\over \sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}} }$ $\displaystyle { = {\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}\over \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} }$

Adesso pensiamo al prodotto notevole della somma di due cubi. Abbiamo infatti:

$\displaystyle { (a+b)(a^2 -ab + b^2) = a^3 + b^3 }$

Quindi moltiplicando per il secondo fattore, eleveremo i due radicali al cubo, semplificandoli finalmente. Quindi:

$\displaystyle { {\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}\over \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} = {\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2}\over \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} \cdot {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \over \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} }$ $\displaystyle { = {(\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})\over 3-2} }$ $\displaystyle { = (\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) }$

Volendo, possiamo espandere le parentesi ottenendo:

$\displaystyle { (\sqrt[6]{3} + \sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) }$ $\displaystyle { = \sqrt[6]{243} - \sqrt[6]{108} + \sqrt[6]{48} + \sqrt[6]{162} - \sqrt[6]{72} + \sqrt[6]{32} }$

Con tutte queste informazioni, dovreste riuscire a razionalizzare qualsiasi frazione con radicali al denominatore che incontrerete!