Una progressione geometrica, cioè una successione in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una ragione costante , descrive un andamento moltiplicativo. Il termine successivo si ricava quindi con una regola fissa di moltiplicazione.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Ragione | È il fattore costante che trasforma ogni termine nel successivo. | Se la progressione cresce; se decresce. |
| Termine n-esimo | Dà il valore del termine in posizione . | , con . |
| Somma dei primi termini | Somma finita dei termini iniziali della progressione. | per . |
| Caso | Tutti i termini sono uguali. | La somma diventa . |
| Somma infinita convergente | Somma di una progressione infinita. | Esiste solo se ; allora . |
| Interessi composti | Applicazione finanziaria della progressione geometrica. | Il capitale cresce moltiplicando ogni periodo per . |
| Suddivisione frattale | Applicazione con ripetizione di scala costante. | Ogni parte mantiene un rapporto fisso con la precedente. |
| Progressione aritmetica | Ogni termine si ottiene sommando una differenza costante. | Nella geometrica si moltiplica per una ragione costante. |
Una progressione geometrica, cioè una successione in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per uno stesso numero, serve a descrivere crescite o diminuzioni ripetute.
Si osserva questo meccanismo quando una quantità viene aggiornata sempre con lo stesso fattore. Pensarla come un "raddoppio", un "taglio a metà" o un "aumento del 10%" aiuta a riconoscerla.
Se il primo termine è e la ragione cioè il fattore costante di moltiplicazione, è , allora la successione si costruisce così: ogni termine precedente viene moltiplicato per .
Per esempio, con e , si ottiene . Ogni termine è il doppio del precedente.
La progressione geometrica si distingue dalla progressione aritmetica, cioè dalla successione che aumenta sempre della stessa differenza. Qui non si somma: si moltiplica.
[IMMAGINE: Schema con tre caselle in fila: a1, a2, a3. Una freccia tra ciascuna casella indica la moltiplicazione per q. Inserire un esempio con a1=3 e q=2, mostrando 3 → 6 → 12 → 24.]
Il termine n-esimo, cioè il termine in posizione , si cerca perché permette di saltare direttamente a qualunque posizione senza scrivere tutti i termini precedenti.
Si parte da e si moltiplica per tante volte quante servono per arrivare alla posizione richiesta.
La potenza compare perché il primo termine non richiede alcuna moltiplicazione per .
Per esempio, con e , il quarto termine vale . Quindi .
Si può verificare il risultato costruendo i primi termini: . Il quarto coincide con la formula.
Si vuole trovare il sesto termine di una progressione con e .
La somma dei primi termini si studia perché in molte situazioni interessa il totale accumulato, non il singolo termine.
Si indichino con la somma dei primi termini e con il caso non costante.
La formula si ottiene sommando i termini e usando un confronto tra la somma e la stessa somma moltiplicata per .
Per esempio, con e nei primi quattro termini si ha . La somma vale .
La verifica con la formula dà , quindi .
Quando il valore assoluto di è minore di 1, i termini diventano sempre più piccoli. In questo caso la somma può avere un valore limite finito.
La serie geometrica, cioè la somma infinita dei termini di una progressione geometrica, converge solo se .
Per esempio, con e , si ottiene .
Si può anche controllare con la somma parziale: si avvicina a .
Il confronto serve a distinguere due modi diversi di crescere. Nell'una si somma sempre lo stesso numero. Nell'altra si moltiplica sempre per lo stesso numero.
La progressione aritmetica, cioè la successione con differenza costante, descrive aumenti lineari. La progressione geometrica descrive invece variazioni moltiplicative.
Per esempio, con e , si ottiene .
Per esempio, con e , si ottiene .
Nel primo caso la distanza tra i termini resta costante. Nel secondo caso resta costante il rapporto tra termini consecutivi.
Le progressioni geometriche compaiono quando una quantità cresce per fattori successivi. Questo accade negli interessi composti e nei modelli di suddivisione ripetuta.
Negli interessi composti, cioè quando il capitale produce interessi che si sommano al capitale stesso, il montante dopo periodi segue una progressione geometrica.
Per esempio, con euro, e , si ottiene euro.
Nelle suddivisioni frattali, cioè nei processi in cui ogni parte viene divisa in parti più piccole con un rapporto fisso, le lunghezze o le aree possono seguire una progressione geometrica.
Per esempio, se un segmento di cm si dimezza a ogni passaggio, allora i primi termini sono cm.
In sintesi, la progressione geometrica è uno strumento per descrivere trasformazioni ripetute con lo stesso fattore. Per questo compare sia nei calcoli algebrici sia nei modelli applicativi.
Una progressione geometricacioè una successione in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una stessa quantità costante, si descrive con la ragione .
Nella formula, è il primo termine, è il termine n-esimo, e è la ragione.
La ragione q si ottiene dividendo un termine per il precedente. Si scrive .
Si consideri la successione .
Si riconosce e si ha .
Il quarto termine vale , che coincide con la successione data.
Questa è la somma finita dei primi termini. La formula vale per .
Il denominatore non può essere nullo. Quando , la successione è costante e la somma diventa .
Si consideri e .
Si calcola . La somma dei primi quattro termini è dunque .
Questa è la serie geometrica convergente, cioè la somma infinita quando i termini diventano sempre più piccoli in valore assoluto.
La condizione garantisce la convergenza. Se , la somma infinita non converge in senso ordinario.
Si prenda e .
Si ottiene . I termini diminuiscono e la somma totale resta finita.
La differenza tra progressione aritmetica e progressione geometrica è netta. Nella prima si aggiunge sempre lo stesso numero. Nella seconda si moltiplica per la stessa ragione .
Si confrontino le successioni e .
La prima ha differenza costante . La seconda ha ragione costante .
La prima è aritmetica. La seconda è geometrica.
Nelle applicazioni finanziarie si usa la crescita composta. Se un capitale iniziale è e il tasso per periodo è , allora il capitale segue una progressione geometrica.
Si determina il decimo termine di una progressione geometrica con primo termine = 3e ragione = 2.
Si conoscono i dati iniziali e si cerca il termine . Il metodo usa la formula del termine n-esimo.
La formula è . Con i valori dati si ottiene il calcolo richiesto.
Si calcola prima l’esponente. Si ha = 512.
Il decimo termine è 1536.
Errore comune: scrivere q^n invece di q^{n-1}.
Si calcola la somma dei primi cinque termini della progressione con = 4 e = 3.
Si cerca . La formula della somma finita è adatta perché .
Si applica la formula . Sostituendo i valori si ottiene il risultato.
Si calcola = 243, poi si esegue la sottrazione.
La somma dei primi cinque termini è 484.
Errore comune: dimenticare che il denominatore è q - 1, non 1 - q.
Si considera la serie geometrica con = 12 e = \frac{1}{3}.
[IMMAGINE: Rette e segmenti su una retta numerica che mostrano termini 12, 4, 4/3, 4/9, con frecce che indicano la moltiplicazione per q = 1/3]
Si osserva che . La serie è quindi convergente e si può usare la formula del valore limite.
Il valore della somma infinita è dato da .
Si esegue prima la sottrazione al denominatore..
La somma infinita vale 18.
Errore comune: usare la formula della somma finita anche quando si cerca la somma infinita.
Si confrontano due successioni: una aumenta di 5 ogni volta e l’altra si ottiene moltiplicando per 2.
Si deve riconoscere quale sia aritmetica e quale sia geometrica. Il criterio dipende dal modo in cui cambia ogni termine.
La successione con differenza costante è aritmetica, cioè con incremento additivo fisso. La successione con ragione costante è geometrica, cioè con moltiplicazione fissa.
Nel primo caso si somma a ogni passo. Nel secondo caso si moltiplica per a ogni passo.
La successione con addizione costante è aritmetica, mentre quella con moltiplicazione costante è geometrica.
Errore comune: confondere differenza costante e ragione costante.
Scrivere che in una progressione geometrica si somma sempre una stessa quantità.
In una progressione geometrica ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per la ragione .
L’errore nasce dal confronto con la progressione aritmetica. Nella geometrica cambia il fattore moltiplicativo, non la differenza.
Usare la formula .
La formula corretta è .
L’esponente parte da zero nel primo termine. Per questo, quando , si deve ottenere senza modifiche.
Applicare anche quando .
Per si ha .
La formula generale non è definita per , perché il denominatore si annulla. In quel caso tutti i termini sono uguali.
Confondere progressione aritmetica e progressione geometrica, usando la differenza invece della ragione.
Nella progressione aritmetica si aggiunge una differenza costante; nella geometrica si moltiplica per una ragione costante.
Le due successioni hanno una struttura diversa. Per distinguerle, si controlla se tra i termini si somma sempre lo stesso numero oppure si moltiplica per lo stesso fattore.
Concludere che una serie geometrica infinita ha sempre somma finita.
La serie geometrica infinita converge solo se , e allora .
Se , i termini non si avvicinano a zero in modo adeguato. In quel caso la somma infinita non esiste come numero finito.
Dimenticare che una ragione negativa cambia il segno dei termini.
Se , i termini alternano segno, ma la formula di resta valida.
L’alternanza di segno può trarre in inganno nei calcoli. Conviene scrivere sempre i primi termini per controllare il comportamento della successione.
Una progressione geometrica, cioè una successione in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una costante, si definisce tramite la ragione .
Per esempio, con e si ottiene .
Il termine n-esimo si trova moltiplicando il primo termine per la ragione elevata a .
Per esempio, con e , il quinto termine vale .
La somma finita dei primi termini si calcola con la formula quando la ragione è diversa da .
Per esempio, con e , si ha .
La progressione aritmetica, cioè una successione con differenza costante tra termini consecutivi, somma ogni volta la stessa quantità.
La progressione geometrica, cioè una successione con rapporto costante tra termini consecutivi, moltiplica ogni volta per la stessa ragione.
Per esempio, è aritmetica, mentre è geometrica.
Una progressione geometrica ha somma infinita quando il modulo della ragione è minore di .
Per esempio, con e , la somma vale .
Le progressioni geometriche servono a descrivere crescite o riduzioni percentuali costanti nel tempo.
Un esempio è l'interesse composto, cioè l'aumento di un capitale che cresce moltiplicandosi per lo stesso fattore a ogni periodo.
Un altro esempio è una suddivisione frattale, cioè un processo in cui ogni parte genera copie più piccole con lo stesso rapporto di scala.
Per esempio, un capitale di euro al annuo diventa euro dopo un anno.
