Una progressione aritmetica, cioè una successione numerica con differenza costante tra due termini consecutivi, si definisce tramite la ragione . Ogni termine si ottiene sommando al precedente la stessa quantità.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Successione aritmetica | Ogni termine si ottiene aggiungendo sempre la stessa quantità al precedente. | La quantità costante è la ragione . |
| Ragione | Differenza comune tra due termini consecutivi. | Si calcola con , per esempio . |
| Termine n-esimo | Permette di trovare un termine qualunque della successione. | Formula: . Esempio: , , dà . |
| Somma dei primi termini | Somma dei primi termini della progressione. | Formula: . Esempio: con , , si ha . |
| Termine centrale | In una quantità dispari di termini, il termine centrale è la media aritmetica degli estremi. | Per esempio, tra il termine centrale è , e vale . |
| Verifica di progressione | Si controlla se le differenze tra termini consecutivi sono uguali. | Per esempio, è aritmetica perché le differenze valgono sempre . |
Una progressione aritmetica è una successione, cioè una lista ordinata di numeri, in cui ogni termine si ottiene aggiungendo sempre la stessa quantità.
Questa quantità costante si chiama ragione, cioè la differenza fissa tra due termini consecutivi.
Si usa questo modello quando una grandezza cambia di poco, ma con variazione regolare, come un risparmio mensile fisso o un aumento costante di temperatura.
Se i termini crescono di a ogni passo, la successione descrive un andamento lineare nel tempo.
Per esempio, se si parte da e si aggiunge a ogni passo, si ottiene .
In questo caso la ragione è .La regolarità dei passaggi permette di prevedere termini lontani senza scrivere tutti quelli precedenti.
La ragione, cioè il numero che si somma a ogni termine per ottenere il successivo, misura l'incremento costante della successione.
Se la ragione è positiva, i termini aumentano.Se la ragione è negativa, i termini diminuiscono.Se la ragione è zero, tutti i termini coincidono.
Per esempio, nella successione , si calcola .
Lo stesso risultato si ottiene con altri termini consecutivi: .La differenza resta invariata e conferma la natura aritmetica della successione.
Il termine n-esimo, cioè il termine in posizione , si trova senza elencare tutti i precedenti.
La formula nasce dal fatto che dal primo termine si compiono passi uguali, ciascuno di ampiezza .
Per esempio, con e , il quinto termine vale .
La formula permette quindi di passare direttamente dalla posizione del termine al suo valore.Questo è utile quando la successione è molto lunga.
Si consideri la progressione 3, 7, 11, 15, ... .
Si riconosce e .
Per , si ottiene .
Il sesto termine è quindi .La previsione è stata ottenuta senza scrivere i termini intermedi.
Si può controllare anche la successione: 3, 7, 11, 15, 19, 23.
La somma dei primi termini serve quando interessa il totale accumulato, non il singolo valore.
L'idea è semplice: si sommano il primo e l'ultimo termine, poi il secondo e il penultimo, che danno sempre la stessa somma.
Se si conoscono primo e ultimo termine, il calcolo diventa rapido.In alternativa si può usare anche la forma con la ragione.
Per esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14 si ha , e .
Si calcola quindi .
La somma dei primi cinque termini è dunque .Il risultato coincide con la somma diretta: 2+5+8+11+14.
Si consideri la progressione 1, 4, 7, 10, 13, 16.
Si ha e .
La somma dei primi sei termini vale .Il metodo evita di sommare tutti i termini uno per uno.
Si verifica anche con la somma diretta: 1+4+7+10+13+16=51.
In una progressione aritmetica, i termini equidistanti dagli estremi hanno media aritmetica costante, cioè la loro media è sempre uguale al termine centrale.
Questa proprietà nasce dalla simmetria della successione.Le coppie esterne sommano sempre allo stesso valore.
Per esempio, nella progressione , il termine centrale è .
Si controlla che e che .
La media di ciascuna coppia è quindi .Questo rende più veloce la verifica di molti esercizi.
[IMMAGINE: Retta numerica con i termini di una progressione aritmetica equidistanti, etichette a1, a2, a3, ..., an; frecce uguali tra i punti; evidenziazione del termine centrale e delle coppie simmetriche rispetto agli estremi.]
Le progressioni aritmetiche modellano situazioni con variazione costante.
Si pensi a un piano di risparmio in cui ogni mese si aggiunge la stessa cifra.Si pensi anche a una scala numerata o a posti di teatro disposti in file regolari.
In questi casi, il termine n-esimo descrive il valore dopo un certo numero di passi.La somma descrive il totale accumulato.
Per esempio, se un risparmio parte da euro e aumenta di euro ogni mese, al quarto mese si ha .
Il modello permette quindi di prevedere importi futuri con un calcolo rapido e controllabile.
Quando i dati mostrano differenze costanti tra termini consecutivi, si può riconoscere una progressione aritmetica.
Per esempio, nella sequenza 10, 13, 16, 19, le differenze sono sempre .
La regolarità conferma che si tratta di una progressione aritmetica con ragione .
Le progressioni aritmetiche sono quindi utili sia per calcoli teorici sia per interpretare dati reali.
La progressione aritmetica, cioè una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi resta costante, si descrive con una ragione fissa .
Nella formula, è il termine in posizione , è il primo termine e è la ragione, cioè l'aumento o la diminuzione costante tra due termini vicini.
Si consideri la progressione 3, 7, 11, 15, ... .
Si ha e .
Per si ottiene .
Il termine in quinta posizione vale quindi .
La somma dei primi n termini, cioè la somma dei primi elementi della successione, si calcola con una formula compatta.
In questa espressione, indica la somma parziale, è il numero dei termini sommati e è l'ultimo termine considerato.
Si consideri la progressione 2, 5, 8, 11, 14.
Si ha e .
Si ottiene .
La somma dei primi cinque termini vale quindi .
Una proprietà importante è che il termine centrale di una progressione finita è la media aritmetica degli estremi, cioè il valore medio tra primo e ultimo termine.
Questa relazione vale quando il termine centrale è equidistante dagli estremi. Se e , allora il termine centrale vale .
Si consideri la progressione 4, 8, 12, 16, 20.
Il termine centrale è .
Il valore centrale coincide con la media aritmetica degli estremi.
La forma inversa del termine n-esimo si usa quando è noto un termine e si vuole ricavare la ragione. Si isola dalla formula principale.
Per esempio, se , e , allora .
Si conoscano primo termine, quarto termine e numero di posizioni.
Si ha , e .
Si ottiene .
La ragione della progressione è quindi .
Si consideri la successione 2, 5, 8, 11. Si verifica se è una progressione aritmetica, cioè una successione con differenza costante tra termini consecutivi.
I dati sono i primi quattro termini. L'incognita è la ragione, cioè la differenza costante indicata con . Il metodo consiste nel controllare le differenze successive.
Si calcola la differenza tra il secondo e il primo termine: . Poi tra il terzo e il secondo: . Infine tra il quarto e il terzo: .
Le differenze sono tutte uguali. Quindi la successione è una progressione aritmetica con ragione .
Errore comune: controllare solo una differenza e non tutte le differenze consecutive.
Si consideri una progressione aritmetica con primo termine e ragione . Si calcoli il termine ottavo.
I dati sono , e . L'incognita è . Si usa la formula del termine n-esimo.
Si sostituiscono i valori nella relazione .
Si esegue il calcolo: e poi . Quindi .
Il termine ottavo vale 35.
Errore comune: dimenticare di sottrarre 1 a n nella formula del termine n-esimo.
Si consideri la progressione aritmetica 3, 7, 11, 15, 19. Si calcoli la somma dei primi cinque termini.
I dati sono , e . L'incognita è . Si usa la formula della somma.
Si applica la relazione .
Si calcola la parentesi: . Poi si moltiplica: . Infine si divide per 2.
La somma dei primi cinque termini è 55.
Errore comune: sommare solo i termini estremi senza moltiplicare per il numero dei termini.
In una progressione aritmetica si ha , e . Si trova il sesto termine.
I dati sono il primo termine, la ragione e la somma dei primi sei termini. L'incognita è . Si usa la formula della somma per ricavare il termine finale.
Prima si scrive il sesto termine con la formula del termine n-esimo: .
Si calcola . Quindi .
Il sesto termine vale 20. La somma data risulta coerente con la progressione.
Errore comune: usare la somma per trovare direttamente il termine senza prima collegarla alla formula corretta.
Dire che in una progressione aritmetica ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una costante.
In una progressione aritmetica ogni termine si ottiene sommando una costante, cioè la ragione .
L’errore nasce perché si confonde la progressione aritmetica con quella geometrica. Si controlla sempre se tra due termini consecutivi si somma la stessa differenza.
Scrivere il termine n-esimo come .
La formula corretta è .
Il primo termine corrisponde a , quindi non si aggiunge alcuna ragione. Per evitare l’errore, si verifica sempre il caso iniziale.
Usare per trovare il termine richiesto.
Si usa , oppure si parte dalla differenza costante tra i termini.
L’errore è un conteggio sbagliato dei passi fatti dal primo termine. Si ricorda che tra e ci sono salti.
Calcolare la somma dei primi termini con .
La formula corretta è .
La somma non dipende solo dagli estremi. Si moltiplica prima la media tra primo e ultimo termine per il numero dei termini.
Dimenticare che la ragione può essere negativa o nulla.
La ragione può essere positiva, negativa o zero.
Se , la progressione è decrescente. Se , tutti i termini sono uguali. Questo non cambia la definizione.
Credere che il termine centrale sia sempre la media aritmetica di tutti i termini.
Il termine centrale, quando esiste, è la media aritmetica degli estremi della successione.
La proprietà vale per coppie simmetriche di termini, non per l’intera lista senza condizioni. Si verifica solo quando il numero dei termini è adatto.
Una progressione aritmetica è una successione, cioè una lista ordinata di numeri, in cui ogni termine si ottiene aggiungendo sempre la stessa quantità.
Questa quantità costante si chiama ragione, cioè la differenza fissa tra due termini consecutivi.
Per esempio, nella successione 2, 5, 8, 11, la ragione è 3.
Il termine n-esimo si trova con la formula che parte dal primo termine e aggiunge la ragione tante volte quante ne servono.
Per esempio, con a_1=4, d=3 e n=5, si ottiene a_5=4+(5-1)\cdot 3=16.
La somma dei primi n termini si calcola moltiplicando n per la media tra il primo e l'ultimo termine, cioè il termine n-esimo.
Per esempio, se a_1=2, a_5=14 e n=5, allora S_5=\frac{5(2+14)}{2}=40.
La ragione è il numero costante che si aggiunge o si sottrae a ogni passaggio per ottenere il termine successivo.
Se la ragione è positiva, la successione cresce; se è negativa, la successione decresce.
Per esempio, nella successione 10, 7, 4, 1, la ragione è -3.
Si verifica controllando se la differenza tra termini consecutivi resta sempre uguale.
Per esempio, in 6, 9, 12, 15 le differenze sono tutte 3, quindi la successione è aritmetica.
Il termine centrale è la media aritmetica dei due estremi.
Per esempio, in 4, 7, 10, il termine centrale 7 è la media tra 4 e 10.
