Che cos'è la probabilità?

Il concetto di probabilità è piuttosto intuitivo e lo incontriamo spesso nella nostra vita quotidiana, ma proviamo a definirlo matematicamente:

Per esempio, se lanciamo una monetina potrà uscire testa o croce. Per sapere qual'è la probabilità che esca testa dobbiamo fare così:

Prendiamo l'insieme contenente tutti i casi possibili e chiamiamolo $\Omega$ (lettera greca maiuscola che si legge "Omega"). Il primo caso, dunque, è che esca testa, mentre il secondo è che esca croce.

Quindi possiamo scrivere il nostro insieme $\Omega$ come:

$\Omega = \{$ "esce testa", "esce croce" $\}$

Che possiamo anche schematizzarlo con:

$\Omega = \{$ testa, croce $\}$

Dunque, prendiamo un evento $E$ di $\Omega$ .

Un evento viene definito come un qualsiasi sottoinsieme di $\Omega.$

Cioè $E$ è un insieme di casi possibili.

Intuitivamente, possiamo pensarlo come ad un qualcosa che può succedere.

Nel nostro esempio $E$ potrebbe essere il sottinsieme che contiene soltanto "esce testa".

"La probabilità dell'evento $E$ viene definita come il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili."

I casi favorevoli sono gli eventi di $\Omega$ che appartengono al sottoinsieme $E$ , o in altre parole quelli per i quali avviene $E$ , mentre i casi possibili sono tutti i casi possibili che possono succedere, ovvero tutti quelli che appartengono ad $\Omega$ .

Per indicare il numero di casi appartenenti ai due insiemi, possiamo usare il concetto di cardinalità di un insieme . Infatti la cardinalità $|X|$ di un insieme $X$ è uguale al numero di elementi che contiene.

Dunque possiamo riscrivere l'equazione definita prima a parole come:

Nel nostro esempio, quindi, avremo che $|\Omega|=2$ (perché abbiamo solo due casi possibili) mentre $|E|=1$ (perché abbiamo un solo caso favorevole), dunque:

$P(E)={1 \over 2}$

Che in percentuale sarebbe il $50\%.$

Vediamo un esempio più articolato:

Se lanciamo un dado a sei facce, qual'è la probabilità che esca un numero dispari?

L'insieme $\Omega$ di tutti i casi possibili sarà:

$\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

Mentre $E$ è il sottoinsieme dei casi favorevoli, ovvero di tutti i numeri dispari che possono uscire:

$E=\left\{ 1,3,5 \right\}$

Quindi anche in questo caso avremo:

$P(E)={|E| \over |\Omega|}={3 \over 6}= {1 \over 2}$

In entrambi i nostri esempi ci è uscito il valore ${1 \over 2}$ , ma in generale quali valori può assumere?

La cardinalità di un insieme è sempre un numero positivo perché non si può avere un numero negativo di elementi, quindi dovrà essere maggiore di $0$.

Inoltre, $E$ è un sottoinsieme di $\Omega$ , dunque non potrà avere più elementi di $\Omega$ , quindi il rapporto ${|E| \over |\Omega|}$ deve essere minore di $1$.

Dunque la probabilità di un evento è un valore compreso tra $0$ ed $1$ . Se è uguale a $0$ , vuol dire che $E$ è un insieme vuoto, quindi non ci sono casi favorevoli. Questo vuol dire che è impossibile che $E$ accada.

Se invece la sua probabilità è uguale ad $1$ , $E$ è uguale ad $\Omega$ e quindi tutti i casi possibili sono casi favorevoli. Si dice dunque che $E$ è certo.

Questa è la definizione classica della probabilità. Ci sono poi altre definizioni che vedremo più avanti.