Probabilità

Che cos'è la probabilità?

Il concetto di probabilità è piuttosto intuitivo e lo incontriamo spesso nella nostra vita quotidiana, ma proviamo a definirlo matematicamente:

Per esempio, se lanciamo una monetina potrà uscire testa o croce. Per sapere qual'è la probabilità che esca testa dobbiamo fare così:

Prendiamo l'insieme contenente tutti i casi possibili e chiamiamolo $\displaystyle { \Omega }$ (lettera greca maiuscola che si legge "Omega"). Il primo caso, dunque, è che esca testa, mentre il secondo è che esca croce.

Quindi possiamo scrivere il nostro insieme $\displaystyle { \Omega }$ come:

$\displaystyle { \Omega = \{ }$ "esce testa", "esce croce" $\displaystyle { \} }$

Che possiamo anche schematizzarlo con:

$\displaystyle { \Omega = \{ }$ testa, croce $\displaystyle { \} }$

Dunque, prendiamo un evento $\displaystyle { E }$ di $\displaystyle { \Omega }$ .

Un evento viene definito come un qualsiasi sottoinsieme di $\Omega.$

Cioè $\displaystyle { E }$ è un insieme di casi possibili.

Intuitivamente, possiamo pensarlo come ad un qualcosa che può succedere.

Nel nostro esempio $\displaystyle { E }$ potrebbe essere il sottinsieme che contiene soltanto "esce testa".

"La probabilità dell'evento $E$ viene definita come il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili."

I casi favorevoli sono gli eventi di $\displaystyle { \Omega }$ che appartengono al sottoinsieme $\displaystyle { E }$ , o in altre parole quelli per i quali avviene $\displaystyle { E }$ , mentre i casi possibili sono tutti i casi possibili che possono succedere, ovvero tutti quelli che appartengono ad $\displaystyle { \Omega }$ .

Per indicare il numero di casi appartenenti ai due insiemi, possiamo usare il concetto di cardinalità di un insieme . Infatti la cardinalità $\displaystyle { |X| }$ di un insieme $\displaystyle { X }$ è uguale al numero di elementi che contiene.

Dunque possiamo riscrivere l'equazione definita prima a parole come:

Nel nostro esempio, quindi, avremo che $\displaystyle { |\Omega|=2 }$ (perché abbiamo solo due casi possibili) mentre $\displaystyle { |E|=1 }$ (perché abbiamo un solo caso favorevole), dunque:

$\displaystyle { P(E)={1 \over 2} }$

Che in percentuale sarebbe il $\displaystyle { 50\%. }$

Vediamo un esempio più articolato:

Se lanciamo un dado a sei facce, qual'è la probabilità che esca un numero dispari?

L'insieme $\displaystyle { \Omega }$ di tutti i casi possibili sarà:

$\displaystyle { \Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} }$

Mentre $\displaystyle { E }$ è il sottoinsieme dei casi favorevoli, ovvero di tutti i numeri dispari che possono uscire:

$\displaystyle { E=\left\{ 1,3,5 \right\} }$

Quindi anche in questo caso avremo:

$\displaystyle { P(E)={|E| \over |\Omega|}={3 \over 6}= {1 \over 2} }$

In entrambi i nostri esempi ci è uscito il valore $\displaystyle { {1 \over 2} }$ , ma in generale quali valori può assumere?

La cardinalità di un insieme è sempre un numero positivo perché non si può avere un numero negativo di elementi, quindi dovrà essere maggiore di $\displaystyle { 0 }$.

Inoltre, $\displaystyle { E }$ è un sottoinsieme di $\displaystyle { \Omega }$ , dunque non potrà avere più elementi di $\displaystyle { \Omega }$ , quindi il rapporto $\displaystyle { {|E| \over |\Omega|} }$ deve essere minore di $\displaystyle { 1 }$.

Dunque la probabilità di un evento è un valore compreso tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1 }$ . Se è uguale a $\displaystyle { 0 }$ , vuol dire che $\displaystyle { E }$ è un insieme vuoto, quindi non ci sono casi favorevoli. Questo vuol dire che è impossibile che $\displaystyle { E }$ accada.

Se invece la sua probabilità è uguale ad $\displaystyle { 1 }$ , $\displaystyle { E }$ è uguale ad $\displaystyle { \Omega }$ e quindi tutti i casi possibili sono casi favorevoli. Si dice dunque che $\displaystyle { E }$ è certo.

Questa è la definizione classica della probabilità. Ci sono poi altre definizioni che vedremo più avanti.