Quello di probabilità è un concetto piuttosto intuitivo e lo incontriamo spesso nella nostra vita quotidiana, ma proviamo a definirlo matematicamente:
Per esempio, se lanciamo una monetina potrà uscire testa o croce. Per sapere qual'è la probabilità che esca testa dobbiamo fare così:
Prendiamo l'insieme contenente tutti i casi possibili e chiamiamolo \Omega (lettera greca maiuscola che si legge "Omega"). Il primo caso, dunque, è che esca testa, mentre il secondo è che esca croce.
Quindi possiamo scrivere il nostro insieme \Omega come:
\Omega = \{"esce testa", "esce croce" \}
Che possiamo anche schematizzarlo con:
\Omega = \{testa, croce \}
Dunque, prendiamo un evento E di \Omega. Un evento viene definito come un qualsiasi sottoinsieme di \Omega.
Cioè E è un insieme di casi possibili.
Intuitivamente, possiamo pensarlo come ad un qualcosa che può succedere.
Nel nostro esempio E potrebbe essere il sottinsieme che contiene soltanto "esce testa".
"La probabilità dell'evento E viene definita come il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili."
I casi favorevoli sono gli eventi di \Omega che appartengono al sottoinsieme E, o in altre parole quelli per i quali avviene E, mentre i casi possibili sono tutti i casi possibili che possono succedere, ovvero tutti quelli che appartengono ad \Omega.
Per indicare il numero di casi appartenenti ai due insiemi, possiamo usare il concetto di cardinalità di un insieme. Infatti la cardinalità |X| di un insieme X è uguale al numero di elementi che contiene.
Dunque possiamo riscrivere l'equazione definita prima a parole come:
P(E)={|E| \over |\Omega|}
Nel nostro esempio, quindi, avremo che |\Omega|=2 (perchè abbiamo solo due casi possibili) mentre |E|=1 (perchè abbiamo un solo caso favorevole), dunque:
P(E)={1 \over 2}
Che in percentuale sarebbe il 50\%.
Vediamo un esempio più articolato:
Se lanciamo un dado a sei facce, qual'è la probabilità che esca un numero dispari?
L'insieme \Omega di tutti i casi possibili sarà:
\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}
Mentre E è il sottoinsieme dei casi favorevoli, ovvero di tutti i numeri dispari che possono uscire:
E=\left\{ 1,3,5 \right\}
Quindi anche in questo caso avremo:
P(E)={|E| \over |\Omega|}={3 \over 6}= {1 \over 2}
In entrambi i nostri esempi ci è uscito il valore {1 \over 2}, ma in generale quali valori può assumere?
La cardinalità di un insieme è sempre positivo perchè non puoi avere un numero negativo di elementi, quindi dovrà essere maggiore di 0.
Inoltre, E è un sottoinsieme di \Omega, dunque non potrà avere più elementi di \Omega, quindi il rapporto {|E| \over |\Omega|} deve essere minore di 1.
Dunque la probabilità di un evento è un valore compreso tra 0 ed 1. Se è uguale a 0, vuol dire che E è un insieme vuoto, quindi non ci sono casi favorevoli. Questo vuol dire che è impossibile che E accada.
Se invece la sua probabilità è uguale ad 1, E è uguale ad \Omega e quindi tutti i casi possibili sono casi favorevoli. Si dice dunque che E è certo.
Questa è la definizione classica della probabilità. Ci sono poi altre definizioni che vedremo più avanti.
Lanciando quattro volte una moneta, qual'è la probabilità che esca tre volte croce ed una volta testa?
\frac{1}{4}
Per determinare la probabilità di ottenere tre volte croce e una volta testa:
1. Calcoliamo il numero totale di possibili esiti lanciando quattro volte una moneta: 2^4 = 16.
2. Il numero di modi in cui possiamo ottenere tre croci (C) e una testa (T) è dato da \left ( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right ) = 4.
3. La probabilità è quindi data da \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.
Lanciando due dadi (a sei facce) qual'è la probabilità che la somma dei due numeri usciti faccia 10?
\frac{1}{12}
Per calcolare la probabilità che la somma dei due dadi sia 10:
1. Identifichiamo le coppie di numeri che sommano 10: (4,6), (5,5), (6,4).
2. Calcoliamo il numero totale di esiti possibili lanciando due dadi: 6 \times 6 = 36.
3. Il numero di esiti favorevoli (somma = 10) è 3.
4. Quindi, la probabilità è \frac{3}{36} = \frac{1}{12}.
Ci sono cinque scatole chiuse con dentro cinque palline numerate (da 1 a 5) e cinque persone anch'esse numerate da 1 a 5. Ogni persone prende una scatola. Qual'è la probabilità che tutti e cinque prendino la scatola con il proprio numero?
\frac{1}{120}
Per trovare la probabilità che ogni persona prenda la scatola corretta:
1. Il numero di permutazioni totali delle scatole è 5! = 120.
2. Solo una di queste permutazioni corrisponde a ogni persona che prende la scatola giusta.
3. Quindi, la probabilità è \frac{1}{120}.
Alternativamente possiamo risolverlo nel seguente modo:
La probabilità che la prima persona prenda la scatola giusta è di {1\over 5}.
La probabilità che anche il secondo prenda quella giusta, essendone rimaste solo 4, è di {1\over 4}.
Andando avanti, la probabilità che anche la terza persona prenda quella giusta è di {1\over 3,} quella della seconda {1\over 2} e quella dell'ultima è 1, infatti deve essere un evento certo perché se tutti gli altri hanno preso le giuste scatole, l'ultima rimasta deve essere la sua.
Per ottenere la probabilità totale, siccome ogni evento deve succedere in successione, bisogna moltiplicare la probabilità di ognuno, quindi la probabilità che tutti prendono la scatola giusta è:
P = {1\over 5} \cdot {1\over 4} \cdot {1\over 3} \cdot {1\over 2} \cdot 1 = {1\over 120}
Una roulette ha 18 numeri rossi, 18 numeri neri e un verde. Ad ogni lancio, qual'è la probabilità che esca il rosso? Se dunque ogni volta che esce rosso il giocatore raddoppia la vincita e se perde allora perde la puntata, cosa succederà al lungo andare?
\frac{18}{37} \approx 0.486
Per calcolare la probabilità che esca un numero rosso:
1. Il totale dei numeri sulla roulette è 37.
2. I numeri rossi sono 18.
3. Quindi, la probabilità è \frac{18}{37} che è circa 48.6\%.
Per quanto riguarda il lungo periodo:
4. Se il giocatore raddoppia la puntata ogni volta che vince e perde tutto quando perde, è estremamente probabile che alla fine perda i suoi soldi, data la probabilità sfavorevole. Per questo non bisogna giocare d'azzardo: hai le probabilità contro, provano a farti pensare che puoi vincere, ma anche se puoi effettivamente vincere un paio di volte, alla lunga devi praticamente per forza perdere i tuoi soldi.
Pino e Goffredo dicono contemporaneamente due numeri compresi tra 1 e 1000 (estremi inclusi). Qual'è la probabilità, in percentuale, che dicano lo stesso numero?
0.1\%
Per trovare la probabilità che Pino e Goffredo dicano lo stesso numero:
Chiamimao x il numero di Pino. Una volta che lo ha pensato, Goffredo deve per forza pensare allo stesso numero.
I numeri possibili a cui può pensare Goffredo sono 1000, ma solo 1 è quello a cui sta pensando Pino.
3. Quindi, la probabilità che anche Goffredo stia per dire esattamente quel numero è di \frac{1}{1000} = 0.1\%.
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