Il pendolo semplice è un sistema formato da una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile e di massa trascurabile. Per piccole oscillazioni, cioè con angoli minori di circa 15°, il moto è approssimabile come moto armonico.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Lunghezza del filo | Dato del sistema | m | |
| Accelerazione di gravità | Dato del luogo | m/s^2 | |
| Periodo | s | ||
| Frequenza | Hz | ||
| Equazione del moto | rad/s^2 | ||
| Piccole oscillazioni | Valida per | rad | |
| Massa della bob | Non entra nella formula del periodo | kg |
Il pendolo semplice, cioè un sistema formato da una massa puntiforme sospesa a un filo inestensibile e di massa trascurabile, serve a studiare oscillazioni regolari.
Si pensa a un piccolo peso che oscilla avanti e indietro come un’altalena molto ordinata. Il problema fisico è prevedere quanto dura un’oscillazione completa.
Il periodo, cioè il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa, è la grandezza centrale dello studio.
La questione fondamentale è capire da cosa dipenda il periodo del pendolo semplice. La risposta corretta mostra che non conta la massa, ma contano la lunghezza del filo e l’accelerazione di gravità.
Per esempio, se e , si ottiene .
Se la massa cambia, ma e restano uguali, il periodo rimane lo stesso. Questo punto risponde alla domanda più frequente sul pendolo.
Il comportamento semplice del pendolo si osserva solo per piccole oscillazioni, cioè per spostamenti angolari piccoli rispetto alla verticale.
In pratica si assume . In questo intervallo il moto del pendolo si avvicina a quello armonico.
Il moto armonico, cioè un moto periodico in cui la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento, descrive bene il pendolo solo in questa approssimazione.
Per esempio, se , allora . L’approssimazione è molto buona.
Se invece l’angolo cresce, la traiettoria resta oscillatoria, ma il periodo non segue più in modo preciso la formula semplice.
Per capire il periodo, si parte dalla forza di gravità e si considera la componente lungo l’arco di oscillazione.
La equazione del moto, cioè la relazione matematica che descrive l’evoluzione dell’angolo nel tempo, diventa lineare solo per piccole oscillazioni.
Per esempio, se e , allora il coefficiente vale .
Il segno meno indica che la forza di richiamo è diretta verso l’equilibrio. Questo è lo stesso meccanismo dei sistemi armonici.
Per esempio, con si ha . Da qui si ricava il periodo.
Il periodo si ottiene dal moto armonico con la formula standard.
Per esempio, se , allora . Il risultato coincide con la formula diretta.
La frequenza, cioè il numero di oscillazioni compiute in un secondo, è l’inverso del periodo.
Per esempio, con , si ottiene .
La dipendenza da e spiega perché un pendolo lungo oscilla più lentamente di uno corto.
L’idea storica più importante è l’isocronia, cioè la proprietà di avere lo stesso periodo a parità di lunghezza, almeno per piccole oscillazioni.
Galileo osservò che il periodo dipende soprattutto da e da , non dalla massa. Questa intuizione anticipò lo studio moderno delle oscillazioni.
Per esempio, se la lunghezza quadruplica, il periodo raddoppia, perché .
Questa proprietà ha applicazioni pratiche negli orologi a pendolo, cioè dispositivi che usano il periodo regolare del pendolo per misurare il tempo con buona precisione.
Per esempio, se e , si ricava . Il pendolo diventa così uno strumento per misurare l’accelerazione di gravità.
[IMMAGINE: Disegno di un pendolo semplice con punto di sospensione, filo di lunghezza l, massa m, angolo theta rispetto alla verticale, peso mg scomposto in componente radiale e tangenziale, arco di oscillazione e posizione di equilibrio]
Il pendolo semplice, cioè una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile e privo di massa, è descritto da relazioni precise nel regime delle piccole oscillazioni.
Nel regime di validità, cioè per angoli iniziali piccoli, si ottiene un comportamento di moto armonico con periodo dipendente solo da lunghezza del filo e accelerazione di gravità.
Nella formula, è il periodo, cioè il tempo di un'oscillazione completa, misurato in , è la lunghezza del filo in , e è l'accelerazione di gravità in .
Il periodo non dipende dalla massa della sfera. Dipende invece da .
Si consideri un pendolo con lunghezza e si assuma .
Si ottiene . Il risultato mostra che il periodo è dell'ordine di pochi secondi.
Per lo stesso pendolo, cambiando la massa, il valore di resta invariato.
La frequenza, cioè il numero di oscillazioni complete nell'unità di tempo, si misura in .
Se il periodo è , allora la frequenza vale .
Si parte dal periodo calcolato prima, cioè .
Sostituendo si ottiene .
La frequenza diminuisce se il periodo aumenta.
Questa relazione è utile per confrontare pendoli diversi con la stessa unità di misura.
L'equazione del moto, cioè l'equazione che descrive l'angolo nel tempo, vale solo per piccoli angoli iniziali.
Qui è lo spostamento angolare in , è il tempo in , e il segno meno indica un richiamo verso l'equilibrio.
Si consideri un angolo piccolo, per esempio .
L'accelerazione angolare risulta diretta verso l'equilibrio.
Il modello lineare è valido solo per piccole oscillazioni, cioè per angoli circa minori di .
Per angoli maggiori, la formula del periodo non resta più esatta.
L'isocronia di Galileo, cioè la proprietà per cui il periodo dipende solo da lunghezza e gravità, spiega l'uso storico del pendolo negli orologi.
Un'applicazione importante è l'orologio a pendolo, cioè uno strumento che sfrutta l'oscillazione regolare per misurare intervalli di tempo.
Un'altra applicazione è la misura di , ricavata sperimentalmente misurando .
Si misuri un pendolo con e .
Sostituendo si ottiene un valore vicino a .
La misura richiede piccole oscillazioni e un filo di lunghezza nota.
Se l'angolo iniziale è grande, l'errore aumenta.
Calcolare il periodo di un pendolo semplice di lunghezza , assumendo .
[IMMAGINE: Pendolo semplice con filo di lunghezza l = 1,00 m, massa puntiforme all'estremità, angolo piccolo rispetto alla verticale, etichette l e g]
Dati: , . Incognita: il periodo . Metodo: si usa la formula del pendolo semplice per piccole oscillazioni.
La formula del periodo è . Con i dati assegnati si sostituisce direttamente.
Si calcola il rapporto , poi la radice quadrata.
Infine si moltiplica per .
Il periodo è . Il risultato mostra che il pendolo oscilla lentamente per questa lunghezza.
Errore comune: dimenticare la radice quadrata o usare la massa nel calcolo del periodo.
Confrontare due pendoli identici nella lunghezza, ma con masse diverse: e .
[IMMAGINE: Due pendoli con stessa lunghezza l, ma masse diverse m1 e m2, entrambi con piccole oscillazioni e stesso angolo iniziale]
Dati: la lunghezza è la stessa per i due sistemi. Incognita: confrontare i periodi. Metodo: si osserva la formula .
Nella formula non compare la massa . Perciò il periodo non cambia se la massa cambia.
Se si prende, per esempio, , si ottiene lo stesso valore di per entrambe le masse.
Il periodo è uguale per entrambi i pendoli. Dipende solo da e da .
Errore comune: credere che una massa maggiore faccia oscillare più lentamente il pendolo semplice.
Determinare l'accelerazione di gravità a partire da un pendolo di lunghezza e periodo misurato .
[IMMAGINE: Pendolo con lunghezza l = 0,99 m, angolo piccolo, frecce che indicano il periodo T misurato e l'incognita g]
Dati: , . Incognita: . Metodo: si ricava dalla formula del periodo.
Si parte da . Si isola elevando al quadrato.
Si ricava allora .
Si calcola , poi si sostituisce.
Il valore trovato è , molto vicino a quello atteso sulla Terra.
Errore comune: usare la formula senza elevare al quadrato il periodo quando si isola g.
Confrontare due oscillazioni con la stessa lunghezza e angoli iniziali diversi: e .
[IMMAGINE: Due pendoli con stessa lunghezza l = 0,75 m, uno con angolo iniziale 5° e uno con angolo iniziale 12°, entrambi vicini alla verticale]
Dati: la lunghezza è la stessa. Incognita: stabilire se il periodo cambia. Metodo: si verifica se gli angoli sono nel regime delle piccole oscillazioni.
Per si può usare l'approssimazione del moto armonico. Entrambi gli angoli sono compatibili con questa ipotesi.
Sostituendo si ottiene un unico periodo, indipendente dall'angolo iniziale nel modello approssimato.
Il periodo è lo stesso per piccole ampiezze. La differenza di angolo influisce poco nel modello ideale.
Errore comune: pensare che un angolo iniziale più grande cambi il periodo anche nel regime delle piccole oscillazioni.
Il periodo del pendolo semplice è .
Il periodo del pendolo semplice è .
Si inverte spesso il rapporto tra lunghezza e accelerazione di gravità. La radice deve contenere , perché un filo più lungo fa aumentare il periodo.
Il periodo dipende dalla massa del bob e dalla sua densità.
Il periodo, per piccole oscillazioni, dipende da e da , non dalla massa.
L’errore nasce dal confondere il pendolo con altri moti in cui la massa conta. Nel modello ideale la massa si semplifica, quindi non modifica .
Se l’ampiezza aumenta, il periodo cambia sempre in modo evidente.
Per piccole oscillazioni, cioè per angoli circa minori di , il periodo è praticamente indipendente dall’ampiezza.
L’approssimazione di piccolo angolo rende il moto armonico semplice. Se l’angolo è grande, l’approssimazione non è più valida e il periodo varia leggermente.
Un pendolo semplice è un oggetto rigido che oscilla attorno a un perno.
Un pendolo semplice è una massa puntiforme sospesa a un filo inestensibile e privo di massa.
Si confonde il modello ideale con un pendolo reale o con un corpo rigido. Il modello matematico richiede una massa concentrata in un punto e un filo ideale.
Le piccole oscillazioni significano che il pendolo si muove lentamente.
Le piccole oscillazioni significano che l’angolo massimo è piccolo, non che la velocità sia bassa.
L’espressione riguarda l’ampiezza angolare, cioè lo scostamento dalla verticale. Un pendolo piccolo può anche muoversi velocemente vicino alla posizione più bassa.
La frequenza del pendolo è .
La frequenza corretta è .
Si scambia spesso la formula della frequenza con quella del periodo. Ricordare che evita l’errore di scrivere il reciproco in modo scorretto.
Il periodo del pendolo semplice è , per piccole oscillazioni.
Qui è il periodo, cioè il tempo di un'oscillazione completa. Un esempio: con e , si ottiene .
Il periodo dipende solo dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità.
In questa formula è la lunghezza e è l'accelerazione di gravità. Un esempio: se raddoppia, il periodo aumenta di un fattore .
No, il periodo non dipende dalla massa.
Nella formula non compare la massa . Un esempio: due pendoli con la stessa lunghezza oscillano con lo stesso periodo, anche se le masse sono diverse.
Un pendolo semplice è una massa puntiforme, cioè un corpo idealizzato concentrato in un punto, appesa a un filo inestensibile e senza massa.
Si considera il moto attorno alla posizione di equilibrio. Un esempio ideale è una piccola sfera sospesa a un filo sottile.
Le piccole oscillazioni sono oscillazioni con angolo massimo piccolo, circa inferiore a . In questo caso il moto è approssimativamente armonico, cioè descritto da una legge sinusoidale.
Qui è lo spostamento angolare. Un esempio: per angoli piccoli il pendolo torna verso l'equilibrio con una dinamica regolare e quasi sinusoidale.
Per piccole oscillazioni il periodo non dipende dall'ampiezza.
L'isocronia di Galileo, cioè la proprietà per cui il periodo resta lo stesso per oscillazioni piccole, spiega questo risultato. Un esempio: due oscillazioni piccole con ampiezze diverse hanno quasi lo stesso periodo.
Il pendolo semplice serve per studiare il moto armonico e per misurare l'accelerazione di gravità.
Si usa anche negli orologi a pendolo, dove il periodo regolare permette di scandire il tempo. Un esempio: misurando e si può ricavare .
