Equazioni con valore assoluto

Equazioni con modulo (valore assoluto)

Un’equazione con modulo, come dice il suo nome, è un’equazione in cui appaiono uno o più moduli .

Esempi di equazioni con modulo sono i seguenti:

• $|x+4| = 3$

• $3-2|x| = 0$

• $|x+4| = |x+3|+x$

Non sono invece equazioni con modulo le seguenti:

• $x+4=18x +3$ - perché non appare alcun modulo

• $3x+|2|=0$ - perché, non essendoci alcun incognita dentro il modulo, possiamo ricondurla direttamente ad una semplice equazione senza moduli (in questo caso a $3x+2=0$ )

Equazioni con un solo modulo

Iniziamo parlando delle equazioni in cui compare un solo modulo. Nella forma più generale esse si presentono nella seguente forma:

$|A(x)| = B(x)$

Dove $A(x)$ e $B(x)$ sono funzioni di $x$ .

Modulo e una constante

Iniziamo considerando un caso particolare che risulta più semplice del caso generale: guardiamo cosa succede quando $B(x)$ è una costante. Chiamiamo questa costante $k$ . Avremo quindi:

$|A(x)|= k$

Dobbiamo distinguere due casi: se $k$ è negativo o positivo. Il primo caso è il più semplice perché siccome il valore assoluto di qualcosa è sempre positivo , è impossibile che sia uguale a qualcosa di negativo.

Quindi se $k<0$ l’equazione è impossibile.

Se invece $k$ è positivo basta mettere un $\pm$ davanti a $k$ per togliere il modulo. Questo perché siccome $k$ non varia a seconda di $x$ , per avere l’equazione verificata dobbiamo avere:

$A(x) = k$

Oppure:

$A(x) = -k$

Che possiamo sintetizzare in:

$A(x) = \pm k$

Quindi per risolvere questa tipologie di equazioni con modulo dobbiamo risolvere le due equazioni che abbiamo trovato e prendere tutte le soluzioni .

Facciamo un esempio:

• $|x+4|=3$

Dobbiamo risolvere le due equazioni.

Cominciamo risolvendo la prima:

$x+4=3$

$x=-1$

Passiamo alla seconda:

$x+4=-3$

$x=-7$

Quindi le soluzioni dell’equazione con modulo saranno $3$ e $-7$ .

Tutto qua, i calcoli potrebbero essere più complicati, ma il procedimento è questo. Se invece abbiamo un’equazione tipo:

$|x^5+2|=-2$

Sappiamo subito che è impossibile , perché qualunque sia l’ argomento del modulo (cioè quello che sta dentro al modulo), la parte a sinistra dell’uguale sarà positiva e non potrà mai e poi mai essere uguale a $-2$ .

Modulo e una variabile

Passiamo al caso generale:

Abbiamo detto che in generale un’equazione con un modulo appare nella seguente forma:

$|A(x)|=B(x)$

Quindi vediamo che risolverle quando $B(x)$ non è costante.

Per fare ciò dividiamo il problema in due casi, quando $A(x)$ è maggiore o uguale a $0$ e quando $A(x)$ è minore di $0$ . Trovate le soluzioni dei due casi ci basterà unirle per trovare la soluzione dell’equazione con modulo.

Partiamo dal primo caso:

Se $A(x)$ è maggiore o uguale a $0$ abbiamo:

$|A(x)|=A(x)$

Quindi sostituendo:

$A(x) =B(x)$

Risolvendo otteniamo le soluzioni. Notiamo che non dobbiamo preoccuparci di $B(x),$ perché se $B(x)=A(x)$ e $A(x)$ è positivo anch’esso deve esserlo.

Quindi otteniamo il sistema:

$\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.$

Guardiamo ora invece a quando $A(x)$ è negativo. Se $A(x) < 0,$ abbiamo:

$|A(x)|=-A(x)$

Sostituendo:

$-A(x)=B(x)$

Notiamo che anche questa volta non ci sono problemi sul segno di $B(x)$ , perché se $A(x)$ è negativo, allora $-A(x)$ è positivo e quindi l’equazione precedente ci assicura che anche $B(x)$ lo sarà.

Quindi otteniamo il sistema:

$\left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.$

Unendo i due sistemi otteniamo le soluzioni dell’equazione con modulo. Quindi dobbiamo unire le soluzioni dei sistemi, ovvero:

$\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.$ $\cup$ $\left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.$

Con questa formula potrete risolvere qualsiasi equazione con un modulo!

Equazioni con due o più moduli

Vediamo ora come risolvere equazioni dove compaiono $2$ o più moduli .

Ecco alcuni esempi:

• $|2x+1|-4x+|x| = 9$

• $|3-2x| - 5x = |3x-1|$

• $|x^2-x-3|+4x-|x|=0$

Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna studiare il segno dell'argomento di ogni modulo singolarmente e poi trovare le possibili soluzioni per i vari casi.

Prendiamo come esempio la prima equazione riportata sopra:

$|2x+1|-4x+|x| = 9$

In questa equazione sono presenti $2$ moduli, iniziamo studiando il primo modulo:

$|2x+1|$

Sappiamo che il modulo sarà sempre positivo, ma ci serve di conoscere il segno dell'argomento per capire se cambierà segno:

$2x+1>0 \longrightarrow x>-{1\over 2}$

Ora sappiamo che per le $x$ minori di $-{1\over 2}$ l’espressione all’interno del modulo sarà negativa e quindi il modulo cambierà segno all'argomento per renderla positiva.

Se $x \geq -{1\over 2}$ :

$|2x+1| = 2x+1$

Se $x < -{1\over 2}$ :

$|2x+1| = -(2x+1) =$ $-2x-1$

Ci annotiamo i risultati nel seguente grafico dei segni e procediamo nello studio del prossimo modulo.

Il modulo successivo è $|x|$ in questo caso sarà facile capire che si annulla per $x=0$ e di conseguenza:

Se $x \geq 0$ :

$|x| = x$

Se $x < 0$:

$|x|=-x$

Lo scriviamo nel grafico dei segni e procediamo con la risoluzione dell’equazione.

Ora ci basterà leggere il grafico e per ogni situazione scrivere l’equazione corrispondente e fare l’ unione delle soluzioni accettabili di tutte le equazioni.

Se $x< -{1 \over 2}$ :

$-2x-1-4x-x=9$

$x= -{10 \over 7}$ - ACCETTABILE

Se $-{1\over 2} \leq x < 0$ :

$2x+1-4x-x = 9$

$x = -{8 \over 3}$ - NON accettabile perché non rispetta la condizione $-{1\over 2} \leq x < 0$

Se $x \geq 0 :$

$2x+1-4x+x = 9$

$x=-8$ - NON accettabile perché non rispetta la condizione $x \geq 0$

L'unica vera soluzione dell’equazione sarà quindi $x= -{10 \over 7}$

Equazioni con moduli dentro altri moduli

Passiamo ora all’ultimo caso che analizzeremo in questa lezione, ovvero quello di uno o più moduli dentro un modulo.

Vediamo alcuni esempi:

• $|x-|x^2-3|+2| = 3$

• $||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|$

• $2x-||x-3|-x| = 8$

Per risolvere questo tipo di equazione basta applicare i metodi visti in precedenza uno dopo l’altro.

Le soluzioni potrebbero essere molte, soprattutto se sono presenti tanti moduli.

Prendiamo il secondo esempio, dove è necessario usare due dei metodi visti in precedenza:

$|3x-1|+x-|2x|+5| = |x|$

La prima cosa da notare è che entrambi i membri dell’equazione sono moduli e quindi, come prima, avremo che il primo membro è uguale a $\pm$ il secondo membro.

Quindi otterremo queste $2$ equazioni:

• $|3x-1|+x-|2x|+5 = x$

• $|3x-1|+x-|2x|+5 = -x$

Ora risolviamole entrambe separatamente con il metodo già visto e troviamo le soluzioni.

Iniziamo dalla prima:

Studiamo il segno degli argomenti dei moduli:

$3x-1>0$

$x>{1\over 3}$

Per il secondo modulo abbiamo:

$2x>0$

$x>0$

Tracciamo il grafico dei segni dei moduli:

Abbiamo tre casi, ma prima di studiarli signolarmente semplifichiamo l'equazione generale:

$|3x -1| + x -|2x| + 5 = x$ $\longrightarrow |3x-1| - |2x| + 5 = 0$

Il primo è quando $x < 0,$ in tal caso l'equazione diventa:

$-(3x-1)-(-2x)+5 = 0$

$-3x +1 +2x + 5 = 0$

$-x = -6$

$x=6$

Però non è vero che $6 < 0,$ quindi la soluzione Non è accettabile .

Passiamo al secondo caso:

Adesso abbiamo $0 \leq x < {1\over 3}$ e l'equazione diventa:

$-(3x-1) -2x + 5 = 0$

$-3x + 1 -2x +5 =0$

$-5x +6 = 0$

$x = {6\over 5}$

Ma ${6\over 5} > {1\over 3},$ quindi anche questa soluzione Non è accettabile .

Passiamo al terzo e ultimo caso, cioè quando $x\geq {1\over 3}:$

$3x -1 -2x +5 =0$

$x = -4$

Anche questa soluzione non è accettabile, quindi la prima equazione non ha alcuna soluzione. Passiamo alla seconda:

Riscriviamola come:

$|3x -1| +x -|2x| +5 = -x$ $\longrightarrow |3x-1| +2x - |2x| +5=0$

I moduli degli argomenti solo gli stessi di prima, quindi anche il grafico dei segni sarà uguale:

Studiamo quindi i soliti tre casi:

Se $x< 0$ abbiamo:

$-(3x-1) +2x -(-2x) +5 = 0$

$-3x +1 +2x +2x +5 = 0$

$x= -6$

Finalmente abbiamo trovato una soluzione ACCETTABILE !

Passiamo ora al secondo caso:

Se $0 \leq x < {1\over 3},$ allora:

$-(3x -1) + 2x -2x + 5 = 0$

$-3x +1 + 5 = 0$

$x = 2$

Siccome $2 < {1\over 3},$ questa soluzione Non è accettabile .

Infine abbiamo l'ultimissimo caso, quello dove $x \geq {1\over 3}.$ Così otteniamo:

$3x -1 +2x -2x +5 = 0$

$3x = -4$

$x ={-4\over 3}$

Questa soluzione ovviamente non è accettabile perché ${-4\over 3} < {1\over 3}.$

Quindi l'unica soluzione dell'equazione iniziale è $-6.$