Il modello atomico di Bohr descrive l'atomo di idrogeno con elettroni che possono occupare solo orbite stazionarie a energia definita. Le transizioni tra livelli avvengono per emissione o assorbimento di fotoni con energia pari alla differenza tra i livelli.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Raggio dell’orbita | m | ||
| Raggio di Bohr | m | ||
| Energia del livello | J oppure eV | ||
| Quantizzazione del momento angolare | J·s | ||
| Frequenza della radiazione | Hz | ||
| Costante di Rydberg | m | ||
| Serie di Lyman | — | Transizioni verso | UV |
| Serie di Balmer | — | Transizioni verso | Visibile |
| Serie di Paschen | — | Transizioni verso | IR |
| Limite del modello | — | Valido soprattutto per l’idrogeno | — |
Il problema centrale, per l'atomica moderna, è spiegare perché l'atomo sia stabile e perché emetta solo certe righe di luce.
Nel modello classico, un elettrone in orbita dovrebbe perdere energia continuamente. Atomo cioè sistema formato da nucleo ed elettroni, non potrebbe allora restare stabile a lungo.
Bohr propone un'idea semplice e potente: l'elettrone non può avere qualunque orbita, ma solo alcune orbite stazionarie, cioè traiettorie ammesse senza perdita di energia.
Per esempio, se = 1, allora = . Se = 2, si ha .
Questa quantizzazione, cioè la scelta di valori discreti e non continui, spiega subito un fatto osservato: l'energia atomica non varia in modo arbitrario.
Il modello si fonda su tre postulati, cioè tre affermazioni di base che guidano tutta la teoria.
La prima idea serve a garantire la stabilità. La seconda impone valori discreti. La terza collega la struttura atomica allo spettro luminoso.
Si osservi un esempio numerico. Se = 3, allora . Se = 4, allora . Valori intermedi non sono ammessi.
Per esempio, se la differenza di energia vale , si ottiene , usando .
La relazione tra energia e frequenza mostra perché le righe spettrali risultino discrete. Non si emette una qualunque frequenza, ma solo quelle compatibili con i salti possibili.
L'idea fisica è simile a una scala. Si può stare solo su alcuni gradini. Anche l'elettrone può occupare solo certi stati autorizzati.
Un'orbita stazionaria, cioè un'orbita in cui l'energia resta costante nel tempo, non irradia energia. Questo evita il collasso dell'atomo.
Per = 1 si ha . Per = 2 si ha . Per = 3 si ha .
Le energie sono negative perché l'elettrone è legato al nucleo. Più il valore è vicino a zero, più lo stato è poco legato.
Si può leggere il segno negativo come il costo energetico necessario per liberare l'elettrone. Lo stato fondamentale, cioè il livello più basso, corrisponde a .
Per esempio, passare da a richiede un'energia di . Questa quantità è la differenza tra e .
Il raggio cresce con il quadrato del numero quantico principale, cioè l'indice che identifica il livello energetico.
Per esempio, se e , si ha . Se , allora .
Il raggio di Bohr cioè il raggio del primo livello consentito, fissa la scala spaziale dell'atomo di idrogeno.
Si nota che i livelli più alti sono più lontani dal nucleo e anche meno legati. L'aumento con rende la crescita molto rapida.
[IMMAGINE: Diagramma dell'atomo di idrogeno con nucleo al centro e tre orbite circolari etichettate n=1, n=2, n=3. Indicare r1, r2, r3, a0 e frecce dei salti energetici.]
Lo spettro dell'idrogeno è un insieme di righe, cioè lunghezze d'onda separate e non continue. Questo accade perché i salti energetici sono discreti.
Per esempio, se il salto avviene da a , si usa la differenza tra e . Si ottiene una riga della serie di Balmer.
La formula di Rydberg, cioè la legge empirica che collega le righe spettrali ai livelli atomici, si scrive in forma equivalente con i numeri quantici iniziale e finale.
Per esempio, per la riga H-alpha della serie di Balmer si ha e . Si ottiene una lunghezza d'onda visibile di circa .
La costante di Rydberg è la costante sperimentale che compare in questa legge. Vale circa .
Per esempio, usando questa costante e la coppia , , si ricava la riga rossa dell'idrogeno nel visibile.
Le serie spettrali, cioè famiglie di righe che terminano tutte nello stesso livello finale, organizzano lo spettro dell'idrogeno in tre casi principali.
Il motivo è energetico. Se il livello finale è più basso, il fotone emesso ha energia maggiore e quindi frequenza maggiore.
Per esempio, una transizione verso produce spesso luce ultravioletta. Una transizione verso produce invece radiazione meno energetica, quindi infrarossa.
Si può vedere il raggruppamento delle righe come una classificazione per destinazione finale. Ogni famiglia contiene infinite righe possibili, una per ogni .
Il modello di Bohr funziona bene per l'idrogeno e per sistemi molto simili. Non descrive però tutti gli atomi reali.
Non spiega gli atomi multi-elettronici, cioè atomi con più di un elettrone, perché le interazioni tra elettroni diventano importanti.
Non spiega nemmeno lo spin, cioè una proprietà quantistica intrinseca dell'elettrone che richiede la meccanica quantistica.
Il modello viene quindi superato dalla meccanica quantistica, cioè dalla teoria più generale che descrive gli stati elettronici con orbitali e funzioni d'onda.
Per esempio, l'elio non può essere spiegato bene con sole orbite circolari e un elettrone alla volta. Servono correzioni più profonde.
Il valore storico del modello resta però enorme. Esso introduce i livelli energetici discreti e prepara il passaggio alla visione quantistica moderna.
In sintesi, Bohr spiega stabilità e righe spettrali dell'idrogeno con orbite consentite, energie discrete e salti quantizzati.
Il modello di Bohr, cioè il modello dell'atomo con elettroni su orbite stazionarie quantizzate, descrive bene l'atomo di idrogeno.
La grandezza fondamentale è il numero quantico principale , che identifica il livello energetico e l'orbita permessa.
Qui è l'energia del livello , misurata in , cioè elettronvolt.
Il segno negativo indica uno stato legato. Quando aumenta, l'energia cresce verso zero e il legame diminuisce.
Si calcola l'energia del secondo livello dell'idrogeno.
Si ottiene . Il livello è meno legato del fondamentale.
Qui è il raggio dell'orbita, mentre è il raggio di Bohr.
Il raggio di Bohr vale circa , cioè nanometri.
Si determina il raggio dell'orbita del terzo livello.
Con , si trova .
Qui è il momento angolare, cioè la misura della rotazione orbitale, e è la costante di Planck ridotta.
La quantizzazione impone che il momento angolare assuma solo multipli interi di .
Si applica la quantizzazione al quarto livello.
Il risultato indica un solo valore ammesso per quel livello: .
Qui è la costante di Planck, è la frequenza della radiazione, e è la differenza di energia tra due livelli.
Se , l'atomo assorbe energia. Se , emette un fotone.
Si considera la transizione dall'orbita terza alla seconda.
La differenza vale . L'energia è emessa come fotone.
Questa è la forma della formula di Rydberg per l'idrogeno.
Qui è la lunghezza d'onda, mentre è la costante di Rydberg.
Si assume per un'emissione. Le serie spettroscopiche dipendono dal valore fissato di .
Si considera la transizione .
Si ottiene una riga del visibile, con .
La costante di Rydberg vale circa . Essa collega i livelli energetici alle righe spettrali.
Un limite importante è questo: il modello funziona bene per l'idrogeno, ma non descrive correttamente gli atomi multi-elettronici.
Un altro limite è l'assenza dello spin, cioè il momento angolare intrinseco dell'elettrone.
Il modello è stato superato dalla meccanica quantistica, che sostituisce le orbite con orbitali, cioè regioni di probabilità.
Si calcoli l’energia del terzo livello dell’atomo di idrogeno usando il modello di Bohr.
[IMMAGINE: Schema dell’atomo di idrogeno con tre orbite concentriche etichettate n = 1, n = 2, n = 3. Evidenziare il livello n = 3.]
Si conosce la relazione dei livelli energetici, cioè l’espressione che assegna un’energia discreta a ogni orbita permessa.
I dati sono , mentre l’incognita è . Il metodo consiste nella sostituzione diretta nella formula dei livelli.
Si sostituisce . Si ottiene .
Il risultato indica che il terzo livello è meno legato del fondamentale, ma resta un’energia negativa.
La grandezza finale è .
Errore comune: dimenticare il segno negativo e interpretare l’energia come positiva.
Si determini il raggio della seconda orbita permessa nell’atomo di idrogeno.
[IMMAGINE: Atomo di idrogeno con orbita n = 1 interna e orbita n = 2 esterna. Indicare il raggio a0 e il raggio r2.]
Si usa la legge dei raggi di Bohr, cioè la relazione che mostra come il raggio cresca con il quadrato del numero quantico.
I dati sono , mentre l’incognita è . Si parte dal raggio di Bohr .
Si sostituisce . Si ottiene .
Il risultato mostra che l’orbita n = 2 è quattro volte più grande della prima orbita.
Il valore finale è .
Errore comune: confondere la crescita lineare con una crescita quadratica.
Si calcoli la frequenza della radiazione emessa quando l’elettrone passa da n = 4 a n = 2.
[IMMAGINE: Diagramma a livelli energetici con quattro linee orizzontali. Evidenziare la freccia discendente da n = 4 a n = 2 e la radiazione emessa.]
Si tratta di una transizione, cioè del passaggio dell’elettrone da un livello energetico a un altro con emissione di un fotone.
I dati sono e . L’incognita è la frequenza . Il metodo consiste nel calcolare la differenza di energia e poi usare .
Si calcolano i due livelli. Si ha e .
Poiché si tratta di emissione, si considera il valore assoluto dell’energia ceduta al fotone.
Usando , si ottiene .
La frequenza emessa è , tipica della luce visibile.
Errore comune: invertire la differenza di energia e ottenere un valore negativo per la frequenza.
Si determini a quale serie spettrale appartiene la transizione che termina in n = 2.
[IMMAGINE: Diagramma dello spettro dell'idrogeno con tre gruppi di righe etichettati Lyman, Balmer e Paschen. Evidenziare la serie con livello finale n = 2.]
Una serie spettrale, cioè un insieme di righe emesse verso lo stesso livello finale, si riconosce dal valore di arrivo della transizione.
L’incognita è il nome della serie. Il dato decisivo è il livello finale . Il metodo consiste nel confrontare il livello finale con le serie note.
Poiché il livello finale è , la transizione appartiene alla serie di Balmer.
La serie corretta è , cioè la serie visibile dello spettro dell’idrogeno.
Errore comune: confondere il livello finale con quello iniziale della transizione.
Si valuti se il modello di Bohr spiega correttamente un atomo con due elettroni e la struttura fine dello spettro.
[IMMAGINE: Confronto tra un atomo di idrogeno con una sola orbita e un atomo multi-elettronico con traiettorie non definite. A lato, righe spettrali con dettagli fini non spiegati dal modello di Bohr.]
Il modello di Bohr è valido soprattutto per l’idrogeno e per sistemi idrogenoidi. Non descrive in modo corretto gli atomi con più elettroni.
L’analisi richiede di distinguere il tipo di sistema. L’incognita è la validità del modello in presenza di interazioni elettroniche multiple e dello spin.
La formula precedente produce livelli corretti per l’idrogeno, ma non incorpora l’interazione elettrone-elettrone né lo spin.
Per questo motivo il modello viene superato dalla meccanica quantistica, cioè dalla teoria che usa funzioni d’onda e numeri quantici più completi.
Il limite essenziale è l’incapacità di trattare sistemi multi-elettronici e lo spin.
Errore comune: credere che il modello di Bohr valga per tutti gli atomi senza eccezioni.
Le orbite di Bohr sono traiettorie classiche qualsiasi, come nei pianeti.
Le orbite di Bohr sono orbite stazionarie, cioè stati consentiti in cui l'elettrone non irradia energia.
L'errore nasce dal confronto troppo letterale con il modello planetario. Nel modello di Bohr contano solo alcune orbite ammesse, non tutte le traiettorie possibili.
I livelli energetici dell'idrogeno si calcolano con .
I livelli energetici dell'idrogeno si calcolano con .
L'errore nasce dall’invertire la dipendenza da . L'energia cresce verso zero all’aumentare di , quindi il modulo diminuisce come .
L'atomo emette luce solo quando l'elettrone gira su un'orbita qualunque.
L'emissione avviene quando l'elettrone passa tra due livelli consentiti, cioè per un salto di livello.
La luce non dipende dal moto continuo lungo l'orbita. Dipende dalla differenza di energia tra stato iniziale e finale.
La costante di Rydberg è una costante di energia pari a .
La costante di Rydberg è una costante spettrale, cioè una costante che compare nelle formule delle righe spettrali dell'idrogeno.
Si confonde spesso la costante di Rydberg con l'energia di ionizzazione dell'idrogeno. Nelle formule spettrali compare , non un'energia.
Il modello di Bohr spiega tutti gli atomi e anche lo spin elettronico.
Il modello di Bohr descrive bene solo l'idrogeno e gli ioni idrogenoidi, ma non spiega gli atomi multielettronici né lo spin.
Il limite nasce dal fatto che il modello è semiclassico e molto semplificato. Per descrivere in modo completo l'atomo serve la meccanica quantistica.
Gli spettri di Lyman, Balmer e Paschen sono continui, perché l'energia può variare in modo continuo.
Gli spettri dell'idrogeno sono discreti, cioè formati da righe a lunghezze d'onda precise.
Le righe discrete derivano da differenze di energia quantizzate. Per questo si osservano serie come Lyman nell'ultravioletto, Balmer nel visibile e Paschen nell'infrarosso.
Il modello di Bohr dice che l’elettrone nell’atomo di idrogeno può occupare solo orbite stazionarie, cioè orbite permesse con energia definita e senza irradiare energia.
La quantità di moto angolare, cioè il momento angolare dell’elettrone attorno al nucleo, è quantizzata secondo la relazione seguente.
Per esempio, per si ha , mentre per si ha .
I livelli energetici dell’idrogeno si calcolano con la legge di Bohr, che assegna a ogni livello un’energia negativa dipendente da , cioè dal numero quantico principale.
Per esempio, per si ottiene , mentre per si ottiene .
Gli atomi emettono luce a frequenze discrete perché l’elettrone può passare solo tra livelli energetici separati, non tra energie qualsiasi.
Quando avviene un salto di livello, l’energia del fotone emesso vale la differenza tra i due livelli.
Per esempio, nel passaggio da a si emette un fotone con energia pari a .
La costante di Rydberg, cioè la costante che compare nella descrizione delle righe spettrali dell’idrogeno, fissa le lunghezze d’onda delle transizioni tra livelli.
Per esempio, nella serie di Balmer, con e , si ottiene una riga visibile dello spettro dell’idrogeno.
Il modello di Bohr è limitato perché funziona bene soprattutto per l’idrogeno e non descrive correttamente gli atomi con più elettroni.
Non spiega inoltre lo spin, cioè la proprietà quantistica intrinseca dell’elettrone, né i dettagli fini degli spettri atomici.
Per questo motivo il modello è stato superato dalla meccanica quantistica, che descrive gli elettroni con funzioni d’onda e orbitali.
Per esempio, l’elio non può essere spiegato in modo accurato con le sole orbite di Bohr.
Le orbite di Bohr sono orbite stazionarie permesse, cioè traiettorie circolari associate a un raggio discreto.
Qui è il raggio di Bohr, cioè il raggio del primo livello dell’idrogeno, pari a circa .
Per esempio, per si ha .
Le serie spettrali dell’idrogeno sono insiemi di righe emesse quando l’elettrone cade verso un livello finale fissato.
La serie di Lyman cade su ed è nell’ultravioletto, la serie di Balmer cade su ed è nel visibile, la serie di Paschen cade su ed è nell’infrarosso.
Per esempio, la transizione appartiene alla serie di Balmer e produce una riga visibile.
