I metodi di integrazione sono tecniche per calcolare integrali che non si risolvono con le regole immediate. Si usano trasformazioni algebriche, sostituzioni, parti e, nei casi razionali, anche fratti semplici.
| Metodo / Formula | Significato | Quando si usa |
|---|---|---|
| Integrazione per parti: | Si trasforma un integrale in un altro più semplice, scambiando un fattore con una derivata. | Si usa con prodotti di funzioni, per esempio , , . |
| Regola LIATE | Si sceglie seguendo l’ordine Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali. | Aiuta a decidere quale funzione derivare in integrazione per parti. |
| Integrazione per sostituzione: , | Si cambia variabile per riconoscere una derivata composta. | Si usa quando compare una composizione, per esempio o . |
| Sostituzione trigonometrica | Si sostituisce con funzioni trigonometriche per semplificare radicali. | Si usa per forme come e . |
| Fratti semplici | Una funzione razionale si scompone in somme di frazioni più semplici. | Si usa per integrali di funzioni razionali, soprattutto dopo scomposizione del denominatore. |
| Formula utile: | È un caso tipico di integrazione per parti. | Serve come modello per prodotti polinomio-esponenziale. |
| Formula utile: | È un caso tipico di integrazione per parti. | Serve come modello per prodotti polinomio-trigonometrico. |
| Formula utile: | Si risolve scegliendo e . | Si usa per integrali con logaritmi non moltiplicati da altre funzioni. |
L'integrazione di una funzione, cioè il calcolo di una primitiva, serve a risolvere integrali che non si riconducono subito a formule elementari.
Si cerca quindi una trasformazione che renda l'integrale più semplice. L'idea è simile a cambiare strada quando il percorso diretto è bloccato.
I metodi di integrazione, cioè le tecniche per riscrivere un integrale in una forma più gestibile, si usano soprattutto con prodotti, composizioni e funzioni razionali.
La scelta del metodo dipende dalla struttura dell'integrando, cioè della funzione dentro il segno di integrale.
[IMMAGINE: Schema con tre frecce che partono da un integrale complicato e portano a: integrazione per parti, integrazione per sostituzione, fratti semplici. Etichette con esempi brevi: x·e^x, sin(2x), 1/(x^2-1).]
Per esempio, si presta bene all'integrazione per parti. Il fattore algebrico si semplifica, mentre resta stabile.
L'integrazione per parti, cioè una tecnica basata sulla regola del prodotto delle derivate, si usa quando l'integrando è un prodotto di funzioni con ruoli diversi.
L'intuizione è questa: si sposta una derivata da un fattore all'altro, in modo da ottenere un integrale più semplice.
Per esempio, con e , si ha e .
Nel risultato finale compare , cioè la costante di integrazione. Per , si ottiene dopo la sostituzione simbolica dei passaggi, a costante fissata.
La regola LIATE, cioè un criterio pratico per scegliere quale fattore porre in , suggerisce un ordine di priorità.
Si sceglie di solito il fattore più alto nella lista come . In , si pone e .
Si usa la stessa strategia per , perché non ha una primitiva elementare diretta come prodotto semplice.
Nel primo passaggio si pone e .
Si vuole calcolare .
Si sceglie e .
L'integrazione per sostituzione, cioè il cambio di variabile che semplifica la forma dell'integrale, si usa quando compare una funzione composta.
L'idea è trasformare una parte dell'integrando in una nuova variabile , così da eliminare la composizione.
Questa relazione si legge anche al contrario come , quando la derivata non si annulla e il passaggio è lecìto.
Per esempio, si semplifica con .
Un caso più ricco è .
La sostituzione si usa quando compare una funzione composta con la sua derivata, almeno in parte, già presente accanto.
Si vuole calcolare .
La sostituzione trigonometrica, cioè il cambio di variabile con funzioni goniometriche, serve quando compaiono radici di forme quadratiche particolari.
Si usa perché identità note, come quelle legate al cerchio goniometrico, trasformano la radice in un'espressione più semplice.
Nel primo caso si sfrutta . Nel secondo caso si sfrutta .
Per esempio, se e , allora .
In questi casi il passaggio trigonometrico non è un ornamento. È il modo con cui la radice viene ricondotta a un'identità elementare.
La scomposizione in fratti semplici, cioè la riscrittura di una funzione razionale come somma di frazioni più elementari, si applica soprattutto agli integrali di rapporti tra polinomi.
Una funzione razionale, cioè un rapporto tra polinomi, si integra più facilmente dopo aver fattorizzato il denominatore.
Per esempio, si tratta con la scomposizione .
Questo metodo è utile quando il denominatore è fattorizzabile e l'integrale risultante si spezza in somme di forme note.
In sintesi, si sceglie il metodo guardando la struttura dell'integrando. Il prodotto suggerisce le parti, la composizione suggerisce la sostituzione, il rapporto di polinomi suggerisce i fratti semplici.
I metodi di integrazionesono procedure che trasformano un integrale difficile in un integrale più semplice o noto.
La scelta del metodo dipende dalla forma dell'integrando cioè dalla funzione da integrare, e dalla presenza di prodotti, composizioni o radici.
Nella formula precedente, è una funzione scelta in modo strategico, mentre è la parte restante dell'integrando.
La relazione si usa soprattutto quando compare un prodotto tra due funzioni. Si ottiene un nuovo integrale spesso più semplice del primo.
Si considera e si sceglie e .
Si applica quindi la formula.
La regola LIATE indica un ordine utile per scegliere : Logaritmi, Inverse trigonometriche, Algebraiche, Trigonometriche, Esponenziali.
La scelta di segue in genere questo ordine, perché la derivazione deve semplificare l'integrando.
Si considera e si pone e .
Si applica la formula di integrazione per parti.
La sostituzione, cioè il cambio di variabile, si usa quando nell'integrale compare una funzione composta con la sua derivata quasi completa.
Si pone e si riscrive in funzione di . In questo modo si ottiene un integrale equivalente ma più semplice.
Si considera e si pone .
L'integrale diventa più semplice nella variabile .
Si considera e si pone .
L'integrale si trasforma in una potenza di .
La sostituzione trigonometrica si usa nelle radici quadratiche con costante positiva.
Nel caso si pone spesso . Nel caso si pone spesso .
Il metodo trasforma la radice in un'espressione trigonometrica più gestibile. La scelta dipende dalla forma del radicando.
Le funzioni razionali, cioè rapporti tra polinomi, si trattano spesso con la scomposizione in fratti semplici.
Il metodo richiede prima una divisione, se il grado del numeratore è almeno quello del denominatore, e poi una decomposizione somma di termini elementari.
Si consideri una funzione come .
Si determinano e confrontando i coefficienti, poi si integra termine per termine.
Calcolare con l'integrazione per parti.
Si riconosce un prodotto tra un polinomio e una funzione esponenziale, cioè una funzione del tipo . La scelta naturale segue la regola LIATE, cioè logaritmi, inverse trigonometriche, algebriche, trigonometriche, esponenziali.
Si pone e . Si ottiene e .
Si sostituiscono i termini nella formula e si ha .
Quindi = .
Il risultato finale è .
Errore comune: scegliere come la parte esponenziale invece del polinomio, complicando il calcolo senza vantaggio.
Calcolare con l'integrazione per parti.
L'integrando contiene un polinomio e una funzione trigonometrica, cioè una funzione periodica. Anche qui la scelta LIATE suggerisce .
Si pone e . Allora e .
Si ottiene .
Quindi .
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare il segno di quando .
Calcolare usando l'integrazione per parti.
Questo esempio mostra un caso tipico in cui non compare un prodotto esplicito. Si scrive e si usa la regola LIATE, cioè si sceglie .
Si pone e . Allora e .
Si sostituisce nella formula e si ottiene .
Quindi .
Il risultato finale è .
Errore comune: integrare per tentativi senza usare una scelta strutturata di e .
Calcolare con la sostituzione.
Si riconosce una funzione composta, cioè una funzione applicata a un'altra funzione. Si usa la sostituzione .
Derivando, si ottiene , quindi .
Si porta fuori il fattore costante e si integra . Si ha .
Quindi .
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare il fattore prodotto dalla derivata interna .
Calcolare con la sostituzione.
L'espressione contiene , cioè una quantità la cui derivata è presente nell'integrando. Si sceglie .
Derivando, si ha , quindi . Allora la radice diventa .
Si riscrive e si integra con la regola delle potenze. Si ottiene .
Tornando alla variabile iniziale, si ha .
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare di sostituire con dopo la scelta di .
Scrivere .
La formula corretta è .
L’errore nasce da un segno copiato male. Si ricorda che la derivazione del prodotto porta al segno meno nella formula finale.
Scegliere e senza seguire la regola LIATE.
Si sceglie in genere secondo LIATE: logaritmi, inverse trigonometriche, algebriche, trigonometriche, esponenziali.
Una scelta casuale può complicare l’integrale invece di semplificarlo. LIATE aiuta a lasciare in la parte più facile da integrare.
Nel cambio di variabile, porre solo e poi integrare senza sostituire anche .
Si scrive e si trasforma anche , usando .
La sostituzione deve riscrivere tutto l’integrale nella nuova variabile. Se resta un pezzo in , il cambio non è completo.
Usare la sostituzione in qualunque integrale, anche quando non compare una funzione composta con la sua derivata.
La sostituzione si usa quando l’integrando contiene una composizione riconoscibile e una derivata vicina alla funzione interna.
Non ogni integrale richiede un cambio di variabile. Il criterio è cercare una struttura del tipo , che si semplifica dopo il cambio.
Per , fare una sostituzione qualsiasi senza collegarla alla forma del radicale.
Si usa una sostituzione trigonometrica adatta, per esempio , nei radicali del tipo .
La sostituzione trigonometrica sfrutta identità note come . In questo modo il radicale diventa più gestibile.
Integrare una funzione razionale senza controllare se il denominatore si fattorizza in fratti semplici.
Per funzioni razionali conviene spesso scomporre in fratti semplici prima di integrare.
Molti integrali razionali diventano elementari dopo la decomposizione. Se si ignora questo passaggio, il calcolo può restare inutilmente lungo.
Si integra per parti riscrivendo l’integrale come prodotto tra una funzione e la derivata di un’altra, poi si applica la formula. L’idea è scegliere e in modo conveniente.
Per esempio, con , si pone e . Si ottiene .
La formula dell’integrazione per parti è . È una trasformazione che sposta la derivazione da una funzione all’altra.
Per esempio, se e , allora e .
L’integrazione per sostituzione funziona cambiando variabile, cioè ponendo per semplificare l’integrando. Poi si riscrive anche in funzione di .
Per esempio, in , si pone . Allora e l’integrale diventa più semplice.
La sostituzione si usa quando nell’integrando compare una composizione, cioè una funzione dentro un’altra, insieme alla sua derivata o a un suo multiplo.
Per esempio, in si riconosce come parte della derivata di . Si pone .
La regola LIATE guida la scelta di nell’integrazione per parti. Significa Logaritmi, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali.
Per esempio, in si sceglie e , perché i logaritmi precedono le funzioni algebriche nella lista.
La sostituzione trigonometrica si usa per eliminare radicali del tipo o . Si sceglie una sostituzione con seno, coseno o tangente.
Per esempio, se compare , si pone spesso , perché allora il radicale diventa .
Sì, per le funzioni razionali spesso si usa prima la scomposizione in fratti semplici, cioè la decomposizione in somme di frazioni più semplici.
Per esempio, un integrale razionale può diventare una somma di integrali elementari dopo la decomposizione. In questo modo si riduce il problema a casi noti.
