Medie

Media aritmetica

La media aritmetica è senza dubbio la tipologia di media più famosa e la più comune da usare.

Infatti, nella media aritmetica ogni singolo termine pesa nello stesso modo sul risultato finale ed è dunque ottima per la vita di tutti i giorni.

Se abbiamo $\displaystyle { n }$ termini $\displaystyle { a_1, a_2, a_3, ... , a_n, }$ la loro media aritmetica si calcola come la somma di essi divisa il numero di termini:

Essa, però, non è l'unica media che possiamo prendere. Ne esistono molte altre, vediamo le principali:

Media geometrica

Al contrario della media aritmetica, che possiamo calcolare per qualsiasi insieme di numeri reali, la media geometrica necessita che tutti i termini siano positivi.

Se quindi abbiamo $\displaystyle { n }$ numeri positivi $\displaystyle { a_1, a_2, a_3, ... a_n, }$ la loro media geometrica si calcola come:

Cioè la radice ennesima del prodotto di tutti i termini. Vediamo un esempio. Calcoliamo la media geomtrica tra $\displaystyle { 2 }$ e $\displaystyle { 8: }$

$\displaystyle { M_g = \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16}= 4 }$

Notiamo che al contrario della media aritmetica, il risultato non si trova a metà strada tra i due valori, ma si trova più vicino al più piccolo.

Infatti, la media geometrica da due valori $\displaystyle { x }$ ed $\displaystyle { y }$ è quel valore $\displaystyle { z }$ tale che:

$\displaystyle { {z\over x} = {y\over z} }$

Questo viene dal fatto che per definizione dobbiamo avere $\displaystyle { z= \sqrt{xy} }$ e quindi $\displaystyle { z^2 = xy }$ e dividendo entrambi i lati per $\displaystyle { xz }$ otteniamo la nostra relazione.

Quindi, prendendo il reciproco di entrambe le frazioni, otteniamo:

$\displaystyle { {x\over z} = {z\over y} }$

Che possiamo scrivere in proporzione come:

$\displaystyle { x:z = z:y }$

Cioè $\displaystyle { z }$ è medio proporzionale a $\displaystyle { x }$ ed $\displaystyle { y. }$

Cosa significa? Significa che mentre nella media aritmetica ottenevamo il risultato a metà strada sommando, la media geometrica ci da il valore a metà strada moltiplicando.

Cioè, se prendo la media aritmetica tra $\displaystyle { 2 }$ ed $\displaystyle { 8 }$ ottengo $\displaystyle { 5 }$ ed infatti sta a metà strada sommando:

$\displaystyle { 5-2 = 8-5 }$

Sia $\displaystyle { 8 }$ che $\displaystyle { 2 }$ distano $\displaystyle { 3 }$ da $\displaystyle { 5. }$

Quando invece andiamo a prendere la media geometrica, stiamo moltiplicando e non dividendo. Per questo ci esce $\displaystyle { 4, }$ che sta a metà strada tra $\displaystyle { 2 }$ ed $\displaystyle { 8 }$ moltiplicando:

$\displaystyle { {4\over 2} = {8\over 4} }$

Se infatti moltiplico $\displaystyle { 2 }$ per il rapporto tra la media geometrica ed esso (ovvero $\displaystyle { 2 }$ ), ottengo proprio la media $\displaystyle { 4 }$ e se moltiplico di nuovo ottengo $\displaystyle { 8. }$

Sia $\displaystyle { 8 }$ che $\displaystyle { 2 }$ distano un fattore $\displaystyle { 2 }$ da $\displaystyle { 4. }$

La media geometrica tra $\displaystyle { 3 }$ e $\displaystyle { 7 }$ é:

$\displaystyle { M_g = \sqrt{3\cdot 7}= \sqrt{21} }$

Il rapporto tra la media geometrica e $\displaystyle { 3 }$ vale $\displaystyle { \sqrt{7\over 3}. }$ Se moltiplico due volte $\displaystyle { 3 }$ per questo valore riottengo infatti $\displaystyle { 7, }$ per questo sta a metà strada moltiplicando.

Infatti, sia $\displaystyle { 3 }$ che $\displaystyle { 7 }$ distano un fattore $\displaystyle { \sqrt{7\over 3} }$ da $\displaystyle { \sqrt{21}. }$

Media armonica

La media armonica è più rara da incontrare, ma è comunque bene studiarla. Ad esempio, compare nelle formule dei moti rettilinei uniformi consecutivi.

Se abbiamo $\displaystyle { n }$ termini $\displaystyle { a_1,a_2,a_3,...,a_n, }$ la loro media armonica si calcola come:

Abbiamo indicato la media armonica con $\displaystyle { M_h }$ perché, per evitare confusioni con la $\displaystyle { a }$ di aritmetica, abbiamo messo l'$\displaystyle { h }$ di harmonic, cioè armonica in inglese.

Media quadratica

La media quadratica tra $\displaystyle { n }$ termini $\displaystyle { a_1,a_2,a_3,...,a_n }$ viene calcolata come:

La media quadratica viene usata, per esempio, nel calcolo dello scarto quadratico medio.

Disequazioni tra medie

Esistono delle famosissime ed utilissime disequazioni tra le medie che abbiamo appena studiato.

Prendiamo $\displaystyle { n }$ termini positivi e chiamiamo $\displaystyle { M_a }$ la loro media aritmetica, $\displaystyle { M_g }$ la loro media geometrica, $\displaystyle { M_h }$ la loro media armonica e $\displaystyle { M_q }$ la loro media quadratica. Dovremo avere:

Se vogliamo riscriverla utilizzando le formule per calcolare queste medie, se chiamiamo i nostri termini $\displaystyle { a_1,a_2,a_3,...,a_n, }$ otteniamo:

In particolare, l'uguaglianza è verificata quando tutti i nostro termini sono uguali.

Se infatti prendiamo la media di un insieme di termini tutti uguali ad un certo valore $\displaystyle { x_0, }$ qualsiasi delle medie che abbiamo studiato ci da come risultato proprio $\displaystyle { x_0, }$ quindi l'uguaglianza tra le medie è verificata.

È interessante studiare in particolare il caso della media fra solo due termini $\displaystyle { x }$ ed $\displaystyle { y. }$ In tal caso otteniamo:

Molti problemi possono essere risolti sapendo che la media aritmetica è sempre maggiore o uguale della media geometrica e l'uguaglianza è verificata quando i termini sono tutti uguali.

Quest'ultima disequazione viene spesso chiamata la disequazione MA-MG (Media Aritmetica-Media Geometrica) e può essere utilizzata, per esempio, per dimostrare che fissato il perimetro di un rettangolo e facendo variare di conseguenza le sue dimensioni, quello con area maggiore è il quadrato.