Meccanica dei fluidi

Una volta studiata l'equilibrio dei fluidi possiamo passare alla meccanica dei fluidi.

Sapete già come si comportano i fluidi quando stanno fermi, ma cosa succede quando si muovono? In natura i fluidi si muovono spesso in maniera piuttosto caotica e quindi difficilmente prevedibile. Possiamo però studiare dei casi particolari di moti più ordinati: le correnti.

Una corrente è un movimento ordinato di un fluido. La sede di essa si chiama condotto.

Ad esempio, il flusso di acqua che passa costante per una tubatura è una corrente e il suo condotto è la tubatura.

L'intensità di una corrente viene calcolata grazie alla portata $q$ :

Prendiamo una sezione trasversale $S$ del condotto. In un tempo $\Delta t$ una quantità di fluido di volume $Delta V$ oltrepassa questa sezione. La portata è il rapporto tra questo volume di fluido e il tempo trascorso:

Una corrente è stazionaria se la velocità del fluido è costante nel tempo in ogni determinato punto del condotto. Quindi la velocità può variare all'interno del condotto, ma in ogni punto specifico la velocità non varia nel tempo.

Se prendiamo $\Delta t$ piccoli, possiamo considerare la velocità come costante. In tal caso, per la legge del moto rettilineo uniforme, avremo:

Siccome il volume del cilindro è:

$\Delta V= S\Delta x$

Avremo che il volume del fluido sarà:

$\Delta V= S\cdot v\Delta t$

e sostituendo nella formula della portata otteniamo:

Equazione di continuità

Se il fluido è incomprimibile, un volume $V$ che passa per una sezione $A$ spingerà nella stessa direzione un'altra parte di uguale volume.

Di conseguenza, in una sezione $A$ passa in un tempo $\Delta t$ per una sezione $S_A$ un certo volume $\Delta V$ ad una velocità $v_A$.

Invece in una sezione $B$ passa nello stesso tempo $\Delta t$ per una sezione $S_B$ lo stesso volume $\Delta V$ ma ad una velocità $v_B$.

Siccome:

$q={\Delta V \over \Delta t}$

e dunque, siccome abbiamo detto che i due volumi e i due tempi sono uguali, dobbiamo avere:

$q_a = q_b$

Di conseguenza, se la corrente è stazionaria, avremo:

$S_a v_a = S_b v_b$

Equazione di Bernoulli e le sue applicazioni

Cosa succede se il condotto non è orizzontale ma presenta dislivelli o allargamenti (o entrambi)?

Avremo quindi una parte di condotto $A$ con sezione trasversale $S_A$ a quota (ovvero altezza) $y_A$ rispetto ad un livello di riferimento e una seconda parte $B$ con sezione trasversale $S_B$ a quota $y_B$.

In $A$ e in $B$ avremo rispettivamente una pressione $p_A$ ed una $p_B$ . Per definizione abbiamo:

dove $F_A$ sarebbe la spinta esercitata verso destra dal fluido che sta a sinistra di $A$.

Analogamente avremo:

dove $F_B$ sarebbe la spinta esercitata verso sinistra dal fluido che sta a destra e di conseguenza si oppone al moto del fluido stesso.

Abbiamo inoltre un'ultima forza che agisce sul volume di fluido: la forza di gravità.

Ora, possiamo calcolare il lavoro delle forze non conservative, ovvero di $F_A$ e di $F_B$ grazie alla definizione di lavoro:

e utilizzando le equazioni trovate prima per le forze:

Siccome però il volume è uguale a:

$\Delta V = S_A \Delta x_A$

e anche a:

$\Delta V = S_B \Delta x_B$

Sostituendo nell'equazione del lavoro otteniamo:

Ora guardiamo invece alla differenza di energia meccanica totale:

Siccome abbiamo un dislivello, dobbiamo tenere conto anche della variazione in energia potenziale oltre che a quella cinetica:

$\Delta E_m = \Delta K + \Delta U$

$\Delta E_m = K_f - K_i + U_f - U_i$

$\Delta E_m = {1\over 2} m {v_B}^2 - {1\over 2} m {v_A}^2 + mgy_B - mgy_A$

dove $m$ è la massa del volume del fluido spostato. Siccome:

dove $d$ è la densità del fluido, possiamo raccogliere la massa nell'equazione dell'energia meccanica e sostituirla:

$\Delta E_m = d\Delta V({1\over 2} {v_B}^2 - {1\over 2} {v_A}^2) + gy_B - gy_A$

Per il teorema lavoro-energia il lavoro delle forze non conservative deve essere uguale alla differenza di energia meccanica. Uguagliando quindi le due equazioni abbiamo:

$L_{nc}= \Delta E_m$

$(p_A - p_B) \Delta V = d\Delta V({1\over 2} {v_B}^2 - {1\over 2} {v_A}^2) + gy_B - gy_A$

$p_A -p_B = {1\over 2} d{v_B}^2 - {1\over 2} d{v_A}^2 + dgy_B - dgy_A$

Portiamo tutto quello che riguarda la parte $A$ a sinistra dell'uguale:

$p_A + {1\over 2} d{v_A}^2 + dgy_A = p_B + {1\over 2} d {V_B}^2 + dgy_B$

Quindi, per qualsiasi sezione $B$ che prendiamo, la quantità $p_B + {1\over 2} d{v_B}^2 + dgy_B$ è uguale a quella nella parte $A$ , di conseguenza deve essere costante:

$p + {1\over 2} dv^2 + dgy=$ costante

Quest'equazione prende il nome di equazione di Bernoulli.

Vediamo qualche applicazione di questa nuova equazione che possiamo usare nel caso di correnti stazionarie di fluidi ideali (ovvero incomprimibili e senza attrito).

Se prendiamo un recipiente, pieno fino ad un'altezza $y_A$, con un piccolo foro ad altezza $y_B$, qual'è la velocità di fuoriuscita?

Siccome il foro è piccolo, la velocità con cui diminuisce il livello del fluido è trascurabile. Di conseguenza avremo:

$v_A=0$

D'altra parte la pressione in $A$ è uguale alla pressione atmosferica $p_0$:

$p_A = p_0$

La variazione di pressione tra $A$ e $B$ è trascurabile e quindi:

$p_B=p_A=p_0$

Sostituiamo tutto nell'equazione di Bernoulli per ottenere:

$p_A + {1\over 2} d {v_A}^2 + dgy_A = p_B + {1\over 2}d {v_B}^2 + dgy_B$

$p_0 + {1\over 2} d{0}^2 + dgy_A = p_0 + {1\over 2} d{v_B}^2 + dgy_B$

$dgy_A= {1\over 2} d {v_B}^2 + dgy_B$

$gy_A-gy_B= {1\over 2} {v_B}^2$

${v_B}^2 = 2g(y_A - y_B)$

Siccome $y_A-y_B$ è uguale alla profondità $h$ del foro, otteniamo:

${v_B}^2 =2gh$

$v_B=\sqrt{2hg}$

Questo vuol dire che la velocità di fuoriuscita di un fluido da un foro di grandezza trascurabile a profondità $h$ è uguale alla velocità finale di un corpo che cade da fermo nel vuoto da un'altezza h.

Questa è la legge di Torricelli.

Guardiamo ora invece a quello che viene chiamato l'effetto Venturi:

Se una corrente scorre orizzontalmente, avremo che al quota rimane costante. Quindi, nell'equazione di Bernoulli avremo $y_A=y_B$ ed otteniamo quindi:

$p_A + {1\over 2} d {v_A}^2 + y_A = p_B + {1\over 2} d{v_B}^2 + y_B$

$p_A + {1\over 2} d{v_A}^2 = p_B+ {1\over 2} d {v_B}^2$

e quindi la quantità $p + {1\over 2} d{v}^2$ deve rimanere costante, dunque se $p$ aumenta $v$ deve diminuire e viceversa.

Questo fenomeno si chiama, appunto, effetto Venturi.

Se quindi prendiamo un rotolo di carta igienica e accendiamo un'asciugacapelli appena sopra di esso, avremo sopra il foglio una corrente con una velocità $v$ ed una corrente con velocità nulla sotto il foglio.

Quindi, per l'effetto Venturi, la pressione sopra il foglio dovrà essere maggiore di quella sotto di essa, provocando dunque una forza verso l'alto, per questo la carta volerà verso l'alto.

Anche gli aerei sfruttano questo effetto: le ali sono progettate in modo tale da ottenere una corrente più veloce sopra ed una più lenta sotto, ricevendo così una forza verso l'alto.

Infine, usando l'equazione di continuità, siccome:

$S_A v_A = S_B v_B$

la velocità diminuisce quando la sezione trasversale aumenta di grandezza,. Quindi, per l'effetto Venturi, quando la sezione trasversale è più grande, la pressione è maggiore, mentre è minore dove la sezione trasversale è più piccola.

L'attrito nei fluidi

Possiamo avvicinarci di più al mondo reale introducendo le forze d'attrito. Per prima cosa, introduciamo la viscosità:

La viscosità indica la resistenza di un fluido allo scorrimento. Ogni fluido ha un proprio coefficiente di viscosità $\eta$ (lettera greca che si pronuncia "eta"). L'attrito in un fluido viene appunto chiamato attrito viscoso.

Se la velocità del fluido è abbastanza piccola, il fluido non forma vortici piuttosto caotici, ma scorre come se fosse formato da tante sottili lamine che scivolano una sull'altra. Questo regime si chiama infatti regime laminare.

La lamina di fluido a contatto con la parete rimane ferma, rallentando quella sopra di essa, che a sua volta rallenta quella ancora più su e così via:

La forza di attrito applicata ad uno strato di fluido è uguale a:

dove $h$ è la distanza dalla parete.

Un corpo che si muove all'interno di un fluido è soggetto ad una forza di attrito viscoso. Maggiore è la velocità del corpo e maggiore è la forza.

Essa, in generale, è difficile da calcolare perché dipende dalla forma dell'oggetto. Per questo le macchine più aerodinamiche vanno più veloci.

Nel caso però di una sfera, possiamo calcolarla usando la formula di Stokes:

dove $r$ è il raggio della sfera.

Se facciamo quindi cadere un oggetto, dobbiamo considerare la forza di attrito viscoso oltre alla forza di gravità. La velocità aumenterà quindi solo fino a quando la forza peso sarà maggiore di quella di attrito viscoso.

Quando le due si uguaglieranno, raggiungeremo l'equilibrio e il corpo continuerà il suo moto con questa velocità, chiamata velocità limite.

Nel caso della sfera, siccome sappiamo calcolare la forza di attrito viscoso, possiamo trovare la velocità limite:

Le due forze devono essere uguali, quindi:

$F_a = F_p$

$6\pi \eta rv_l = mg$

ed è per questo che sulla Terra, due corpi con masse diverse cadono in modo diverso.

Se la densità $d_s$ della sfera di volume $V$ non è molto più grande di quella del fluido $d$ , allora dobbiamo considerare anche la forza di Archimede $F_AR$. Avremo quindi:

$F_a + F_{AR} = F_p$

$6 \pi \eta r v_l + Vd g = mg$

$6\pi \eta r v_l + Vd g = V d_s g$

Ricordando che il volume di una sfera si calcola come:

$V={4\over 3} \pi r^3$

avremo:

$6\pi \eta + r v_l + {4\over 3}\pi r^3 d g = {4\over 3}\pi r^3 d_s g$

$3\eta v_l + {2\over 3} r^2 dg = {2\over 3} r^2 d_s g$

$3\eta v_l = {2\over 3} r^2 g (d_s - d)$