Le leggi di Kirchhoff descrivono il comportamento di correnti e tensioni nei circuiti elettrici. La prima legge riguarda i nodi, la seconda le maglie chiuse.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Prima legge di Kirchhoff | In un nodo, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti. | Si usa la conservazione della carica; esempio: in ingresso/uscita. |
| Seconda legge di Kirchhoff | In una maglia chiusa, la somma algebrica delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione. | Si usa la conservazione dell'energia; esempio: . |
| Legge dei nodi | Per ogni nodo si scrive un'equazione sulle correnti. | Le correnti si orientano prima di impostare il sistema; esempio: . |
| Legge delle maglie | Per ogni maglia si scrive un'equazione sulle tensioni. | Si percorre la maglia con un verso scelto; esempio: . |
| Metodo sistematico | Si orientano correnti e maglie, poi si scrive un sistema di equazioni. | Serve con più generatori e più resistenze; esempio: due nodi e due maglie producono due equazioni indipendenti. |
| Circuiti in serie | La corrente è la stessa in tutti i componenti. | Sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff; esempio: in ogni resistenza della serie. |
| Circuiti in parallelo | La tensione è la stessa ai capi dei rami. | Sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff; esempio: su ogni ramo parallelo. |
| Conservazione della carica | La carica non si accumula nel nodo in regime stazionario. | Giustifica la prima legge; esempio: la corrente totale in ingresso coincide con quella in uscita. |
| Conservazione dell'energia | L'energia per unità di carica si distribuisce tra generatori e utilizzatori. | Giustifica la seconda legge; esempio: la somma delle salite di potenziale e delle cadute si annulla sulla maglia. |
Le leggi di Kirchhoff, cioè le due regole fondamentali per analizzare circuiti con più rami, servono a descrivere correnti e tensioni quando non basta la sola legge di Ohm.
Si usano perché in molti circuiti la corrente si divide, si ricompone e incontra più generatori. In questi casi serve un metodo generale per trovare le incognite.
L'idea di fondo è semplice. Si osserva un circuito come una rete di incroci e percorsi chiusi, proprio come un sistema di strade con bivi e anelli.
La prima legge riguarda i bivi, cioè i nodi. La seconda riguarda i percorsi chiusi, cioè le maglie.
La regola più importante è questa: in un circuito si scrivono equazioni ai nodi e alle maglie, poi si risolve il sistema per trovare correnti e tensioni.
Per esempio, se in un nodo entrano e , allora devono uscire complessivamente .
Per esempio, in una maglia con un generatore da e due cadute da e , la somma algebrica vale zero.
La legge dei nodi, cioè il bilancio delle correnti in un punto di diramazione, nasce dalla conservazione della carica elettrica.
In un nodo la carica non si crea e non si distrugge. Perciò tutta la corrente che arriva deve anche ripartire in uscita.
Formalmente, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti.
Per esempio, se nel nodo entrano e , allora deve uscire una corrente totale di .
Si può anche scrivere la stessa legge come somma algebrica nulla. Si sceglie un verso positivo per le correnti, poi si sommano con segno.
Per esempio, se si considerano positive le correnti entranti, nel nodo si può scrivere .
Questa forma è molto utile nei calcoli. Si sceglie un verso iniziale, anche provvisorio, e poi il segno del risultato dice il verso reale.
Si consideri un nodo in cui entrano due correnti note e una terza è incognita.
Entrano e . Esce la corrente .
Si ottiene . La corrente uscente deve quindi valere questo numero.
La legge delle maglie, cioè il bilancio delle tensioni lungo un percorso chiuso, esprime il fatto che l'energia si conserva.
Se si percorre una maglia e si torna al punto di partenza, l'aumento di potenziale fornito dai generatori deve compensare le cadute sui componenti.
Perciò la somma algebrica delle variazioni di tensione lungo una maglia chiusa è nulla.
Per esempio, in una maglia con un generatore da e due resistenze con cadute da e , si ha .
La legge può anche essere letta come uguaglianza tra fem, cioè forze elettromotrici, e cadute di tensione.
Per esempio, con una fem di e due resistenze da e percorse dalla stessa corrente , si scrive .
Da qui segue .
Si considera una maglia con un generatore da 9 V, una resistenza da 2 Ω e una da 1 Ω in serie.
Si percorre la maglia nel verso della corrente. Le cadute sono e .
Si ottiene .
La corrente trovata è coerente con la somma delle resistenze pari a .
L'applicazione corretta richiede un metodo fisso. Si scelgono i versi delle correnti e si scrivono poi le equazioni dei nodi e delle maglie.
Questo metodo serve perché, nei circuiti complessi, le correnti incognite sono spesso più di una. Le leggi di Kirchhoff forniscono tante equazioni quante ne servono.
La scelta iniziale dei versi non deve preoccupare. Se il risultato finale è negativo, il verso reale è opposto a quello scelto.
Per esempio, con , e , si ottiene un sistema da risolvere per le correnti.
[IMMAGINE: Schema di un circuito con due maglie che condividono una resistenza centrale. Indicare un generatore da 12 V, tre resistenze R1, R2, R3, le correnti I1, I2, I3 con frecce, i nodi A e B e il verso di percorrenza delle maglie con frecce curve.]
Si osserva spesso che il circuito contiene più maglie indipendenti. In quel caso si scrivono solo le equazioni necessarie e non tutte le possibili combinazioni.
Le connessioni in serie e in parallelo, cioè i due casi più semplici di collegamento tra resistenze, si ottengono come casi particolari delle leggi di Kirchhoff.
In serie la corrente è la stessa in tutti i componenti. In parallelo la tensione è la stessa sui rami. Queste proprietà si ricavano proprio dalle due leggi fondamentali.
Per esempio, con e , la resistenza equivalente in serie è .
Per esempio, con e , si ha , quindi .
Questi due casi sono più rapidi da trattare con le formule equivalenti. Tuttavia restano compatibili con l'impostazione generale di Kirchhoff.
Nel caso di più generatori, le tensioni si sommano algebricamente lungo la maglia. Anche qui il segno dipende dal verso di percorrenza scelto.
Per esempio, con generatori da e in aiuto, e uno da in opposizione, la fem totale è .
La differenza tra legge dei nodi e legge delle maglie è quindi netta. La prima conserva la carica in un punto, la seconda conserva l'energia lungo un percorso chiuso.
In pratica, si usa la prima per collegare le correnti ai bivi e la seconda per collegare tensioni e resistenze negli anelli.
Un circuito con molte diramazioni si risolve trovando un numero sufficiente di equazioni indipendenti. Il risultato finale descrive tutte le correnti e tutte le differenze di potenziale.
Le leggi di Kirchhoff sono quindi uno strumento generale. Consentono di affrontare circuiti che non si riducono subito a un semplice schema in serie o in parallelo.
Con un po' di pratica, il metodo diventa meccanico: si traducono i collegamenti in equazioni e poi si procede con l'algebra.
In sintesi, un circuito non si interpreta guardando solo un componente alla volta. Si deve leggere l'intera rete, perché le correnti e le tensioni si influenzano a vicenda.
Le leggi di Kirchhoffsono due relazioni fondamentali dei circuiti elettrici, cioè dei sistemi in cui cariche e tensioni si distribuiscono tra più componenti.
La prima legge riguarda i nodi, cioè i punti in cui convergono più rami. La seconda legge riguarda le maglie, cioè i percorsi chiusi del circuito.
Nella prima legge, ogni si misura in , cioè in . La regola esprime la conservazione della carica.
Se entrano e , allora devono uscire . La somma al nodo resta nulla come bilancio.
Si consideri un nodo con tre correnti note e una incognita.
Entrano e . Esce una corrente .
La corrente uscente vale . La somma delle correnti entranti coincide con quella uscente.
Nella seconda legge, la f.e.m., cioè la forza elettromotrice, si misura in , cioè in . Anche la tensione si misura in .
Lungo una maglia chiusa, la somma algebrica delle tensioni è nulla. In pratica, le cadute su resistenze e i generatori si bilanciano.
Si consideri una maglia con un generatore da e resistenze in serie da e .
La resistenza totale è . La corrente vale .
La somma delle cadute di tensione è . La legge della maglia è verificata.
Questa forma vale per un resistore ohmico, cioè un componente in cui la tensione è proporzionale alla corrente.
Se è in e in , allora risulta in .
Si consideri un circuito con due generatori e tre resistenze.
Si assegnano versi arbitrari a e . Si scrivono poi le equazioni dei nodi e delle maglie.
Il sistema permette di trovare le correnti incognite in modo ordinato. Il metodo funziona anche con più rami e più generatori.
Le resistenze in serie e in parallelo sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff.
Nel caso in serie, la corrente è la stessa in ogni elemento. Nel caso in parallelo, la tensione è la stessa sui rami.
Per due resistenze in serie vale . Per due resistenze in parallelo vale .
Ad esempio, con e , in serie si ottiene .
In parallelo, con gli stessi valori, si ottiene . Questo risultato deriva dalla conservazione della corrente ai nodi.
Nelle applicazioni pratiche, si procede scegliendo i versi, scrivendo le equazioni e risolvendo il sistema lineare.
Si considera un nodo in cui entrano due correnti e ne esce una terza. Si richiede di calcolare la corrente uscente usando la prima legge di Kirchhoff, cioè la legge dei nodi.
[IMMAGINE: Nodo elettrico con tre rami. Due correnti entranti etichettate I1 e I2. Una corrente uscente etichettata I3. Frecce ben visibili e nodo evidenziato.]
Dati: , . Incognita: . Metodo: si imposta l'uguaglianza tra correnti entranti e uscenti.
La legge dei nodi afferma che la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti. Si scrive .
Sostituendo i valori si ottiene .
Il risultato è .
Errore comune: dimenticare di distinguere correnti entranti e uscenti prima di scrivere l'equazione.
Si considera una maglia chiusa con un generatore ideale e una resistenza. Si vuole determinare la corrente nel circuito usando la seconda legge di Kirchhoff, cioè la legge delle maglie.
[IMMAGINE: Maglia rettangolare con un generatore ideale da 12 V e una resistenza da 4 ohm. Corrente I indicata con freccia nel verso scelto.]
Dati: , . Incognita: . Metodo: si scrive la somma algebrica delle tensioni lungo la maglia.
Per la legge delle maglie, la f.e.m. è uguale alla caduta di tensione sulla resistenza. Si scrive .
Sostituendo i dati si ottiene .
Si ricava .
Errore comune: scrivere la caduta di tensione con il segno sbagliato nel verso di percorrenza della maglia.
Si considerano due maglie con due generatori e un resistore condiviso. Si devono trovare le correnti di maglia impostando il sistema di Kirchhoff.
[IMMAGINE: Due maglie adiacenti. Generatore E1 nella prima, generatore E2 nella seconda. Resistore condiviso al centro etichettato R3. Resistori R1 e R2 nelle due maglie. Correnti di maglia I1 e I2 indicate con frecce.]
Dati: , , , , . Incognite: e .
Si scelgono due correnti di maglia nello stesso verso. Nel resistore condiviso la corrente vale la differenza algebraica delle due correnti.
Sostituendo i dati si ottiene il sistema e .
Si semplifica il sistema: e .
La soluzione è e .
Errore comune: trattare il resistore condiviso come se fosse percorso dalla stessa corrente in entrambe le maglie.
Si studia un circuito con due resistenze in serie e poi con due resistenze in parallelo. Si verifica che le regole note derivano dalle leggi di Kirchhoff.
[IMMAGINE: Due schemi affiancati. A sinistra due resistori in serie con un generatore. A destra due resistori in parallelo con un generatore. Correnti e tensioni etichettate.]
Caso serie: si considerano e con la stessa corrente . La legge delle maglie dà .
Se , allora .
Caso parallelo: con e , la legge dei nodi impone che la corrente totale si divida nei due rami.
Si può quindi scrivere la stessa tensione ai capi di entrambi i rami e ottenere le correnti dei singoli rami.
Il risultato finale è che le formule di serie e parallelo sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff.
Errore comune: usare la stessa regola della serie nei rami in parallelo, dove invece la corrente si ripartisce.
Dire che la prima legge di Kirchhoff parla delle tensioni nei nodi.
La prima legge di Kirchhoff, cioè la legge dei nodi, riguarda le correnti: la somma di quelle entranti uguale la somma di quelle uscenti.
L’errore nasce dalla confusione tra nodo e maglia. Il nodo è un punto di diramazione del circuito, quindi si controllano le correnti e non le tensioni.
Scrivere nel nodo senza fissare i versi delle correnti.
Si assegna prima un verso a ogni corrente e poi si scrive la somma algebrica: entranti positive e uscenti negative, oppure il contrario, ma in modo coerente.
La legge dei nodi funziona solo con una convenzione di segno precisa. Se i versi non sono scelti prima, il sistema di equazioni diventa ambiguo.
Pensare che la seconda legge di Kirchhoff dica che la corrente si conserva lungo una maglia.
La seconda legge di Kirchhoff, cioè la legge delle maglie, riguarda le tensioni: in una maglia chiusa la somma algebrica delle differenze di potenziale è nulla.
La conservazione della carica vale ai nodi, mentre la somma delle tensioni vale lungo un percorso chiuso. Le due leggi descrivono fenomeni diversi.
Percorrere una maglia senza segnare i segni di generatori e resistenze.
Si sceglie un verso di percorrenza e si assegnano i segni alle f.e.m., cioè forze elettromotrici, e alle cadute di tensione in modo coerente con il verso scelto.
L’errore più comune è mescolare i segni durante il calcolo. Conviene scrivere subito il verso di percorrenza e annotare se si attraversa un generatore da polo negativo a positivo oppure una resistenza nel verso della corrente.
Usare le leggi di Kirchhoff senza contare quante incognite ci sono nel circuito.
Si orientano prima correnti e maglie, poi si scrivono tante equazioni indipendenti quante bastano per determinare tutte le incognite.
Kirchhoff non sostituisce il ragionamento sul circuito. Un buon metodo consiste nel contare incognite e equazioni prima di iniziare i calcoli.
Credere che serie e parallelo siano un argomento separato dalle leggi di Kirchhoff.
Le associazioni in serie e in parallelo sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff, ottenuti quando il circuito ha una struttura semplice.
Questo errore porta a studiare le regole come formule isolate. In realtà le leggi di Kirchhoff sono più generali e spiegano anche i circuiti riducibili con resistenze equivalenti.
Le leggi di Kirchhoff descrivono come si conservano carica ed energia nei circuiti elettrici.
La prima legge riguarda i nodi, cioè i punti di incontro dei rami. La seconda legge riguarda le maglie, cioè i percorsi chiusi.
La legge dei nodi afferma che, in un nodo, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti.
Essa esprime la conservazione della carica, cioè la carica non si accumula nel nodo in condizioni stazionarie.
La legge delle maglie afferma che, lungo una maglia chiusa, la somma algebrica delle tensioni è zero.
In altre parole, le f.e.m., cioè le forze elettromotrici, compensano le cadute di tensione nel percorso chiuso.
Si applica scegliendo un verso per le correnti e un orientamento per le maglie, poi si scrivono le equazioni ai nodi e lungo le maglie.
Il sistema ottenuto si risolve con l'algebra ordinaria, cioè con le normali operazioni di sostituzione ed eliminazione.
La differenza è che la legge dei nodi riguarda le correnti in un punto, mentre la legge delle maglie riguarda le tensioni lungo un percorso chiuso.
La prima deriva dalla conservazione della carica, la seconda dalla conservazione dell'energia nel circuito.
Sì, le configurazioni in serie e in parallelo sono casi particolari delle leggi di Kirchhoff.
Con un'unica maglia o con un unico nodo, le equazioni di Kirchhoff si riducono alle formule note per resistenze equivalenti.
Serve un numero di equazioni sufficiente a determinare tutte le incognite del circuito.
In pratica si scrivono equazioni indipendenti ai nodi e alle maglie fino a raggiungere il numero delle incognite.
