Lavoro di una forza

Q: unità di misura del lavoro

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè J. Un joule corrisponde al lavoro di una forza di 1\,\text{N} che sposta il corpo di 1\,\text{m} nella stessa direzione.

Q: lavoro su piano inclinato

Sul piano inclinato il lavoro si calcola usando la componente della forza parallela al piano. La componente perpendicolare al piano non produce lavoro se non c'è spostamento in quella direzione.

Definizione, segno e unità

Altre opzioni

Simula interrogazione Risolutore esercizi Correggi compiti

Concetto chiave

Lavoro di una forza

Il lavoro di una forza è una grandezza scalare che misura l’effetto della forza sullo spostamento. Dipende dall’intensità della forza, dallo spostamento e dall’angolo tra essi.

L = F\,s\,\cos\theta

✓Segno: è motore se $\theta<90^\circ$ , resistente se $\theta>90^\circ$ , nullo se $\theta=90^\circ$ .
✓Unità di misura: il joule, $1\,\text{J}=1\,\text{N}\cdot\text{m}$ .
✓Angolo: conta la componente della forza lungo lo spostamento.
✓Piano inclinato: si usa la componente della forza parallela al piano.

Schema rapido del lavoro di una forza

Grandezza	Simbolo	Formula	Unità SI
Lavoro	$L$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{J}$
Forza	$F$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{N}$
Spostamento	$s$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{m}$
Angolo tra forza e spostamento	$\theta$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$^\circ$ o rad
Componente parallela	$F_\parallel$	$L = F_\parallel\,s$ con $F_\parallel = F\cos\theta$	$\mathrm{N}$
Lavoro motore	$L$	$\theta < 90^\circ \Rightarrow L > 0$	$\mathrm{J}$
Lavoro resistente	$L$	$\theta > 90^\circ \Rightarrow L < 0$	$\mathrm{J}$
Lavoro nullo	$L$	$\theta = 90^\circ \Rightarrow L = 0$	$\mathrm{J}$
Unità di misura	$J$	$1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$\mathrm{J}$
Piano inclinato	$F_\parallel$	$L = F_\parallel\,s$	$\mathrm{J}$

Il lavoro di una forza

In fisica il lavoro, cioè la quantità che misura quanto una forza trasferisce energia a un corpo durante uno spostamento, serve a descrivere effetti concreti del moto.

Si osserva che non basta conoscere solo la forza. Conta anche lo spostamento e conta la direzione relativa tra i due vettori.

Pensala come una spinta su una valigia. Se la spinta va nella direzione del movimento, l'effetto è massimo. Se invece è laterale, l'effetto utile si annulla.

Per questo si definisce il lavoro come il prodotto tra forza, spostamento e coseno dell'angolo tra i due vettori.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Nel Sistema Internazionale il lavoro si misura in joule, cioè in $N\cdot m$ . Un esempio è $10\,\text{N} \cdot 2\,\text{m} = 20\,\text{J}$ .

Lavoro motore, resistente e nullo

Il segno del lavoro dipende dall'angolo $\theta$ tra forza e spostamento. Questa idea permette di capire se la forza aiuta, ostacola oppure non modifica l'energia del moto.

Si parla di lavoro motore quando la forza ha una componente nello stesso verso dello spostamento.

\theta < 90^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta > 0 \;\Rightarrow\; L > 0

Un esempio è una forza di $8\,\text{N}$ che produce uno spostamento di $3\,\text{m}$ con $\theta = 0^\circ$ . Si ottiene $L = 8\cdot 3\cdot \cos 0^\circ = 24\,\text{J}$ .

Si parla di lavoro resistente quando la forza ha verso opposto, almeno in parte, rispetto allo spostamento.

90^\circ < \theta \le 180^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta < 0 \;\Rightarrow\; L < 0

Un esempio è una forza di attrito di $5\,\text{N}$ lungo uno spostamento di $4\,\text{m}$ con $\theta = 180^\circ$ . Si ottiene $L = 5\cdot 4\cdot \cos 180^\circ = -20\,\text{J}$ .

Il lavoro è nullo quando la forza è perpendicolare allo spostamento.

\theta = 90^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta = 0 \;\Rightarrow\; L = 0

Un esempio è una forza di $12\,\text{N}$ applicata in modo verticale mentre il corpo si sposta orizzontalmente di $5\,\text{m}$ . Si ha $L = 12\cdot 5\cdot \cos 90^\circ = 0\,\text{J}$ .

Il lavoro su un piano inclinato

Su un piano inclinato non si usa tutta la forza per il moto lungo il piano. Serve solo la componente parallela, cioè la parte della forza diretta lungo la traiettoria.

Si scompone quindi il peso $P$ nelle sue componenti. La componente parallela vale $P_{\parallel} = mg\sin\alpha$ , dove $\alpha$ è l'angolo del piano.

L = P_{\parallel}\cdot s = mg\sin\alpha \cdot s

Per esempio, con massa $2\,\text{kg}$ , angolo $30^\circ$ e spostamento $4\,\text{m}$ , si ha $P_{\parallel} = 2\cdot 9{,}8\cdot \sin 30^\circ = 9{,}8\,\text{N}$ e quindi $L = 9{,}8\cdot 4 = 39{,}2\,\text{J}$ .

Questa scomposizione è utile perché il moto avviene lungo il piano, non lungo la direzione del peso totale.

[IMMAGINE: Diagramma di un piano inclinato con blocco su un piano di angolo alfa. Indicare il peso P verso il basso, la componente parallela P|| lungo il piano, la componente perpendicolare P⊥, la forza di attrito opposta al moto e lo spostamento s lungo il piano.]

Perché compare il coseno

Il coseno compare perché conta solo la parte della forza allineata allo spostamento. La forza può essere vista come una freccia inclinata, e solo la sua ombra sullo spostamento produce lavoro.

F_{\parallel} = F\cos\theta

Per esempio, con $F = 10\,\text{N}$ e $\theta = 60^\circ$ , la componente utile vale $F_{\parallel} = 10\cos 60^\circ = 5\,\text{N}$ .

Allora il lavoro diventa $L = F_{\parallel}\cdot s$ . Questa scrittura è equivalente alla formula iniziale.

L = F\cos\theta \cdot s = F\cdot s\cdot \cos\theta

Un esempio numerico conferma l'equivalenza. Con $F = 10\,\text{N}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 60^\circ$ , si ottiene $L = 10\cdot 3\cdot \cos 60^\circ = 15\,\text{J}$ .

Unità di misura e condizioni di validità

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè il lavoro compiuto da una forza di $1\,\text{N}$ lungo uno spostamento di $1\,\text{m}$ quando forza e spostamento sono paralleli.

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}

Per esempio, una forza di $1\,\text{N}$ applicata per $1\,\text{m}$ produce $1\,\text{J}$ .

La forza deve avere una componente lungo lo spostamento.
Lo spostamento deve essere misurato lungo la traiettoria del corpo.
L'angolo deve essere quello tra i vettori forza e spostamento.
Se la forza è perpendicolare, il lavoro risulta nullo.

Si osserva infine che il lavoro dipende dalla forza esterna considerata. In uno stesso problema possono comparire lavori diversi per forze diverse.

Esempio — Calcolo del lavoro con angolo obliquo

Si consideri una forza di 20 N applicata a un carrello per 6 m, con angolo di 30° rispetto al moto.

L = F\cdot s\cdot \cos\theta

Si sostituiscono i dati:

L = 20\cdot 6\cdot \cos 30^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} }$ , si ottiene $L = 60\sqrt{3}\,\text{J} \approx 103{,}9\,\text{J}$ .

Il risultato è positivo, quindi il lavoro è motore.

Formule e proprietà del lavoro di una forza

Il lavoro, cioè la grandezza che misura il trasferimento di energia dovuto a una forza, si calcola con la forza, lo spostamento e l'angolo tra essi.

L = F\,s\,\cos\theta

In questa formula, $L$ è il lavoro, $F$ è il modulo della forza, $s$ è lo spostamento e $\theta$ è l'angolo tra forza e spostamento.

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè l'unità del Sistema Internazionale per l'energia trasferita. Si scrive $J$ e coincide con $\text{N}\cdot\text{m}$ .

Esempio — Calcolo del lavoro con forza parallela allo spostamento

Si consideri una forza di 10 N applicata per 4 m nella stessa direzione dello spostamento.

L = F s \cos 0^\circ = 10 \cdot 4 \cdot 1

Si ottiene $L = 40\,\text{J}$ . Il lavoro è positivo, quindi è motore.

Il lavoro motore, cioè il lavoro positivo, si ha quando la forza ha una componente concorde con lo spostamento. Questo accade per $\theta < 90^\circ$ .

L > 0 \quad \text{se} \quad \theta < 90^\circ

In un caso numerico, con $F = 20\,\text{N}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 60^\circ$ , si ha $L = 30\,\text{J}$ .

Esempio — Lavoro motore con angolo acuto

Si considerino una forza di 20 N, uno spostamento di 3 m e un angolo di 60°.

L = 20 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 60^\circ = \frac{1}{2} }$ , il risultato è $L = 30\,\text{J}$ .

Il lavoro resistente, cioè il lavoro negativo, si ha quando la forza si oppone al moto. Questo accade per $\theta > 90^\circ$ .

L < 0 \quad \text{se} \quad \theta > 90^\circ

Se $F = 15\,\text{N}$ , $s = 2\,\text{m}$ e $\theta = 120^\circ$ , si ottiene $L = -15\,\text{J}$ .

Esempio — Lavoro resistente con angolo ottuso

Si considerino una forza di 15 N, uno spostamento di 2 m e un angolo di 120°.

L = 15 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} }$ , il lavoro vale $L = -15\,\text{J}$ . Il segno negativo indica un'azione resistente.

Il lavoro nullo, cioè il lavoro uguale a zero, si ha quando la forza è perpendicolare allo spostamento. In tal caso $\theta = 90^\circ$ e $\cos 90^\circ = 0$ .

L = 0 \quad \text{se} \quad \theta = 90^\circ

Per esempio, con $F = 12\,\text{N}$ e $s = 5\,\text{m}$ , se la forza è perpendicolare al moto, il lavoro resta nullo: $L = 0\,\text{J}$ .

Esempio — Forza perpendicolare allo spostamento

Si considerino una forza di 12 N e uno spostamento di 5 m, con direzioni perpendicolari.

L = 12 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ

Poiché il coseno vale zero, si ottiene $L = 0\,\text{J}$ .

Sul piano inclinato, cioè una superficie inclinata rispetto all'orizzontale, si considera la componente della forza parallela al piano. Se la forza peso è coinvolta, conta la componente lungo il piano.

F_{\parallel} = F\cos\alpha

Qui $F_{\parallel}$ è la componente parallela, $F$ è il modulo della forza e $\alpha$ è l'angolo con il piano. Se $F = 50\,\text{N}$ e $\alpha = 37^\circ$ , si ha circa $F_{\parallel} = 40\,\text{N}$ .

Esempio — Lavoro su piano inclinato

Si consideri una forza di 50 N che forma un angolo di 37° con il piano inclinato.

F_{\parallel} = 50 \cos 37^\circ

Poiché $\cos 37^\circ \approx 0{,}8$ , la componente parallela vale circa $40\,\text{N}$ . Il lavoro si calcola poi con $L = F_{\parallel}s$ .

Una forma inversa utile è $\displaystyle { F = \frac{L}{s\cos\theta} }$ , cioè la forza si ricava dividendo il lavoro per lo spostamento e per il coseno dell'angolo.

F = \frac{L}{s\cos\theta}

Per esempio, se $L = 24\,\text{J}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 0^\circ$ , allora $F = 8\,\text{N}$ .

Esempio — Ricavo della forza dalla formula del lavoro

Si conoscono il lavoro, lo spostamento e l'angolo, ma non la forza.

F = \frac{24}{3\cos 0^\circ}

Poiché $\cos 0^\circ = 1$ , si ottiene $F = 8\,\text{N}$ .

Esempi svolti

Esempio 1 — Lavoro di una forza costante orizzontale

Calcolare il lavoro di una forza di $50 N$ che sposta un carrello di $4 m$ nella stessa direzione della forza.

[IMMAGINE: Carrello su piano orizzontale con forza F = 50 N verso destra e spostamento s = 4 m verso destra; angolo θ = 0° indicato tra forza e spostamento.]

Si individuano i dati: $F = 50 N$ , $s = 4 m$ e $\theta = 0^\circ$ . L'incognita è il lavoro $L$ .

Si usa la formula del lavoro di una forza costante. Il lavoro dipende dalla componente della forza lungo lo spostamento.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituiscono i valori. Poiché $\cos 0^\circ = 1$ , il prodotto resta invariato.

L = 50 \cdot 4 \cdot 1 = 200\,\text{J}

Il risultato finale è positivo perché forza e spostamento hanno lo stesso verso.

Errore comune: dimenticare il coseno dell'angolo e moltiplicare solo forza e spazio.

Esempio 2 — Lavoro resistente con angolo ottuso

Determinare il lavoro di una forza di $30 N$ che agisce su uno spostamento di $5 m$ formando un angolo di $120^\circ$ con lo spostamento.

[IMMAGINE: Vettore spostamento s verso destra e forza F inclinata di 120° rispetto a s; indicare che l'angolo è ottuso e il lavoro risulta negativo.]

Si hanno i dati: $F = 30 N$ , $s = 5 m$ e $\theta = 120^\circ$ . Si cerca $L$ .

Si osserva che l'angolo è maggiore di $90^\circ$ . Il coseno è quindi negativo, e il lavoro è resistente.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituisce il valore del coseno. Si usa $\displaystyle { \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} }$ .

L = 30 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -75\,\text{J}

Il lavoro è resistente perché il segno è negativo.

Errore comune: interpretare un angolo ottuso come se producesse lavoro positivo.

Esempio 3 — Lavoro nullo di una forza perpendicolare

Calcolare il lavoro della forza peso su un corpo che si muove orizzontalmente di $8 m$ , sapendo che il peso è verticale.

[IMMAGINE: Blocco che scorre orizzontalmente verso destra; peso verticale verso il basso; indicare angolo θ = 90° tra peso e spostamento.]

Si considerano i dati geometrici del problema. Lo spostamento è orizzontale, mentre la forza peso è verticale.

L'angolo tra forza e spostamento è $90^\circ$ . Questa è la situazione tipica di lavoro nullo.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituisce il valore del coseno. Poiché $\cos 90^\circ = 0$ , il prodotto annulla il lavoro.

L = F \cdot 8 \cdot 0 = 0\,\text{J}

Il lavoro è nullo perché la forza non ha componente lungo lo spostamento.

Errore comune: confondere una forza presente con un lavoro non nullo.

Esempio 4 — Lavoro su piano inclinato

Una cassa di massa $10 kg$ sale su un piano inclinato lungo $6 m$ con angolo di $30^\circ$ . Si calcoli il lavoro della forza peso.

[IMMAGINE: Piano inclinato di 30° con cassa che sale lungo il piano; peso verticale verso il basso; s lungo il piano; evidenziare la componente del peso parallela al piano.]

Si analizzano i dati: $m = 10 kg$ , $s = 6 m$ , $\alpha = 30^\circ$ . Si cerca il lavoro del peso $L_P$ .

Sul piano inclinato conta la componente del peso parallela al piano. Essa vale $P \sin\alpha$ .

P = mg

Si calcola prima il peso. Con $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$ , si ottiene:

P = 10 \cdot 9{,}8 = 98\,\text{N}

La componente parallela vale:

P_{\parallel} = P \sin 30^\circ = 98 \cdot \frac{1}{2} = 49\,\text{N}

Poiché il moto è verso l'alto e il peso è verso il basso, il lavoro della forza peso è negativo.

L_P = -P_{\parallel} \cdot s = -49 \cdot 6 = -294\,\text{J}

Il risultato finale è resistente perché il peso si oppone al moto lungo il piano.

Errore comune: usare il peso intero invece della sola componente parallela al piano inclinato.

Errori comuni sul lavoro di una forza

✗

Dire che il lavoro è sempre uguale alla forza moltiplicata per lo spostamento.

✓

Il lavoro si calcola con $L = F \cdot s \cdot \cos\theta$ , dove conta anche l’angolo tra forza e spostamento.

L’errore nasce quando si ignora la direzione della forza. Se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente lungo lo spostamento produce lavoro.

✗

Pensare che il lavoro sia nullo solo quando la forza è zero.

✓

Il lavoro è nullo anche quando la forza è perpendicolare allo spostamento, cioè per $\theta = 90^\circ$ .

In questo caso $\cos 90^\circ = 0$ , quindi il prodotto finale vale zero. Si osserva spesso nel moto su traiettorie con forze laterali.

✗

Scrivere che l’unità di misura del lavoro è il newton.

✓

L’unità di misura del lavoro è il joule, cioè $\text{J} = \text{N} \cdot \text{m}$ .

Il newton misura la forza, non il lavoro. Il joule si ottiene combinando forza e spostamento, quindi va sempre distinto da $\text{N}$ .

✗

Dire che se la forza forma un angolo con lo spostamento, il lavoro resta positivo per forza.

✓

Il segno del lavoro dipende da $\cos\theta$ : è positivo per $\theta < 90^\circ$ e negativo per $\theta > 90^\circ$ .

Quando l’angolo è ottuso, la forza tende a opporsi allo spostamento. In quel caso si parla di lavoro resistente, non motore.

✗

Applicare sempre la forza totale nel piano inclinato senza scomporla.

✓

Sul piano inclinato si usa la componente della forza parallela al piano, perché è quella che produce lavoro lungo lo spostamento.

Se si usa la forza sbagliata, il risultato diventa troppo grande. Conviene sempre individuare prima la direzione dello spostamento.

✗

Confondere lavoro motore, resistente e nullo solo guardando il valore della forza.

✓

Bisogna guardare l’angolo tra forza e spostamento e il segno di $\cos\theta$ .

Una forza grande può produrre lavoro nullo se è perpendicolare al moto. Una forza piccola può invece produrre lavoro positivo se è ben orientata.

Domande frequenti

Il lavoro in fisica è l'energia trasferita da una forza quando provoca uno spostamento.

La forza è un'interazione, cioè un'azione capace di modificare il moto o la forma di un corpo.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Il lavoro è nullo quando la forza è perpendicolare allo spostamento, oppure quando lo spostamento è nullo.

In questi casi non c'è trasferimento di energia lungo la direzione del moto.

\theta = 90^\circ \Rightarrow L = 0

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè $J$ .

Un joule corrisponde al lavoro di una forza di $1\,\text{N}$ che sposta il corpo di $1\,\text{m}$ nella stessa direzione.

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}

Il lavoro dipende dall'angolo tra forza e spostamento attraverso il coseno di quell'angolo.

Conta solo la componente della forza parallela allo spostamento.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Il lavoro è motore quando è positivo, resistente quando è negativo e nullo quando vale zero.

Se $\theta < 90^\circ$ , allora $L > 0$ . Se $\theta > 90^\circ$ , allora $L < 0$ .

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Sul piano inclinato il lavoro si calcola usando la componente della forza parallela al piano.

La componente perpendicolare al piano non produce lavoro se non c'è spostamento in quella direzione.

L = F_{\parallel} \cdot s

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Lavoro di una forza

Definizione, segno e unità

Altre opzioni

Simula interrogazione Risolutore esercizi Correggi compiti

Concetto chiave

Lavoro di una forza

Il lavoro di una forza è una grandezza scalare che misura l’effetto della forza sullo spostamento. Dipende dall’intensità della forza, dallo spostamento e dall’angolo tra essi.

L = F\,s\,\cos\theta

✓Segno: è motore se $\theta<90^\circ$ , resistente se $\theta>90^\circ$ , nullo se $\theta=90^\circ$ .
✓Unità di misura: il joule, $1\,\text{J}=1\,\text{N}\cdot\text{m}$ .
✓Angolo: conta la componente della forza lungo lo spostamento.
✓Piano inclinato: si usa la componente della forza parallela al piano.

Schema rapido del lavoro di una forza

Grandezza	Simbolo	Formula	Unità SI
Lavoro	$L$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{J}$
Forza	$F$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{N}$
Spostamento	$s$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$\mathrm{m}$
Angolo tra forza e spostamento	$\theta$	$L = F\,s\,\cos\theta$	$^\circ$ o rad
Componente parallela	$F_\parallel$	$L = F_\parallel\,s$ con $F_\parallel = F\cos\theta$	$\mathrm{N}$
Lavoro motore	$L$	$\theta < 90^\circ \Rightarrow L > 0$	$\mathrm{J}$
Lavoro resistente	$L$	$\theta > 90^\circ \Rightarrow L < 0$	$\mathrm{J}$
Lavoro nullo	$L$	$\theta = 90^\circ \Rightarrow L = 0$	$\mathrm{J}$
Unità di misura	$J$	$1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$\mathrm{J}$
Piano inclinato	$F_\parallel$	$L = F_\parallel\,s$	$\mathrm{J}$

Il lavoro di una forza

In fisica il lavoro, cioè la quantità che misura quanto una forza trasferisce energia a un corpo durante uno spostamento, serve a descrivere effetti concreti del moto.

Si osserva che non basta conoscere solo la forza. Conta anche lo spostamento e conta la direzione relativa tra i due vettori.

Pensala come una spinta su una valigia. Se la spinta va nella direzione del movimento, l'effetto è massimo. Se invece è laterale, l'effetto utile si annulla.

Per questo si definisce il lavoro come il prodotto tra forza, spostamento e coseno dell'angolo tra i due vettori.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Nel Sistema Internazionale il lavoro si misura in joule, cioè in $N\cdot m$ . Un esempio è $10\,\text{N} \cdot 2\,\text{m} = 20\,\text{J}$ .

Lavoro motore, resistente e nullo

Il segno del lavoro dipende dall'angolo $\theta$ tra forza e spostamento. Questa idea permette di capire se la forza aiuta, ostacola oppure non modifica l'energia del moto.

Si parla di lavoro motore quando la forza ha una componente nello stesso verso dello spostamento.

\theta < 90^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta > 0 \;\Rightarrow\; L > 0

Un esempio è una forza di $8\,\text{N}$ che produce uno spostamento di $3\,\text{m}$ con $\theta = 0^\circ$ . Si ottiene $L = 8\cdot 3\cdot \cos 0^\circ = 24\,\text{J}$ .

Si parla di lavoro resistente quando la forza ha verso opposto, almeno in parte, rispetto allo spostamento.

90^\circ < \theta \le 180^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta < 0 \;\Rightarrow\; L < 0

Un esempio è una forza di attrito di $5\,\text{N}$ lungo uno spostamento di $4\,\text{m}$ con $\theta = 180^\circ$ . Si ottiene $L = 5\cdot 4\cdot \cos 180^\circ = -20\,\text{J}$ .

Il lavoro è nullo quando la forza è perpendicolare allo spostamento.

\theta = 90^\circ \;\Rightarrow\; \cos\theta = 0 \;\Rightarrow\; L = 0

Un esempio è una forza di $12\,\text{N}$ applicata in modo verticale mentre il corpo si sposta orizzontalmente di $5\,\text{m}$ . Si ha $L = 12\cdot 5\cdot \cos 90^\circ = 0\,\text{J}$ .

Il lavoro su un piano inclinato

Su un piano inclinato non si usa tutta la forza per il moto lungo il piano. Serve solo la componente parallela, cioè la parte della forza diretta lungo la traiettoria.

Si scompone quindi il peso $P$ nelle sue componenti. La componente parallela vale $P_{\parallel} = mg\sin\alpha$ , dove $\alpha$ è l'angolo del piano.

L = P_{\parallel}\cdot s = mg\sin\alpha \cdot s

Questa scomposizione è utile perché il moto avviene lungo il piano, non lungo la direzione del peso totale.

Perché compare il coseno

Il coseno compare perché conta solo la parte della forza allineata allo spostamento. La forza può essere vista come una freccia inclinata, e solo la sua ombra sullo spostamento produce lavoro.

F_{\parallel} = F\cos\theta

Per esempio, con $F = 10\,\text{N}$ e $\theta = 60^\circ$ , la componente utile vale $F_{\parallel} = 10\cos 60^\circ = 5\,\text{N}$ .

Allora il lavoro diventa $L = F_{\parallel}\cdot s$ . Questa scrittura è equivalente alla formula iniziale.

L = F\cos\theta \cdot s = F\cdot s\cdot \cos\theta

Un esempio numerico conferma l'equivalenza. Con $F = 10\,\text{N}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 60^\circ$ , si ottiene $L = 10\cdot 3\cdot \cos 60^\circ = 15\,\text{J}$ .

Unità di misura e condizioni di validità

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè il lavoro compiuto da una forza di $1\,\text{N}$ lungo uno spostamento di $1\,\text{m}$ quando forza e spostamento sono paralleli.

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}

Per esempio, una forza di $1\,\text{N}$ applicata per $1\,\text{m}$ produce $1\,\text{J}$ .

La forza deve avere una componente lungo lo spostamento.
Lo spostamento deve essere misurato lungo la traiettoria del corpo.
L'angolo deve essere quello tra i vettori forza e spostamento.
Se la forza è perpendicolare, il lavoro risulta nullo.

Si osserva infine che il lavoro dipende dalla forza esterna considerata. In uno stesso problema possono comparire lavori diversi per forze diverse.

Esempio — Calcolo del lavoro con angolo obliquo

Si consideri una forza di 20 N applicata a un carrello per 6 m, con angolo di 30° rispetto al moto.

L = F\cdot s\cdot \cos\theta

Si sostituiscono i dati:

L = 20\cdot 6\cdot \cos 30^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} }$ , si ottiene $L = 60\sqrt{3}\,\text{J} \approx 103{,}9\,\text{J}$ .

Il risultato è positivo, quindi il lavoro è motore.

Formule e proprietà del lavoro di una forza

Il lavoro, cioè la grandezza che misura il trasferimento di energia dovuto a una forza, si calcola con la forza, lo spostamento e l'angolo tra essi.

L = F\,s\,\cos\theta

In questa formula, $L$ è il lavoro, $F$ è il modulo della forza, $s$ è lo spostamento e $\theta$ è l'angolo tra forza e spostamento.

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè l'unità del Sistema Internazionale per l'energia trasferita. Si scrive $J$ e coincide con $\text{N}\cdot\text{m}$ .

Esempio — Calcolo del lavoro con forza parallela allo spostamento

Si consideri una forza di 10 N applicata per 4 m nella stessa direzione dello spostamento.

L = F s \cos 0^\circ = 10 \cdot 4 \cdot 1

Si ottiene $L = 40\,\text{J}$ . Il lavoro è positivo, quindi è motore.

Il lavoro motore, cioè il lavoro positivo, si ha quando la forza ha una componente concorde con lo spostamento. Questo accade per $\theta < 90^\circ$ .

L > 0 \quad \text{se} \quad \theta < 90^\circ

In un caso numerico, con $F = 20\,\text{N}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 60^\circ$ , si ha $L = 30\,\text{J}$ .

Esempio — Lavoro motore con angolo acuto

Si considerino una forza di 20 N, uno spostamento di 3 m e un angolo di 60°.

L = 20 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 60^\circ = \frac{1}{2} }$ , il risultato è $L = 30\,\text{J}$ .

Il lavoro resistente, cioè il lavoro negativo, si ha quando la forza si oppone al moto. Questo accade per $\theta > 90^\circ$ .

L < 0 \quad \text{se} \quad \theta > 90^\circ

Se $F = 15\,\text{N}$ , $s = 2\,\text{m}$ e $\theta = 120^\circ$ , si ottiene $L = -15\,\text{J}$ .

Esempio — Lavoro resistente con angolo ottuso

Si considerino una forza di 15 N, uno spostamento di 2 m e un angolo di 120°.

L = 15 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ

Poiché $\displaystyle { \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} }$ , il lavoro vale $L = -15\,\text{J}$ . Il segno negativo indica un'azione resistente.

Il lavoro nullo, cioè il lavoro uguale a zero, si ha quando la forza è perpendicolare allo spostamento. In tal caso $\theta = 90^\circ$ e $\cos 90^\circ = 0$ .

L = 0 \quad \text{se} \quad \theta = 90^\circ

Per esempio, con $F = 12\,\text{N}$ e $s = 5\,\text{m}$ , se la forza è perpendicolare al moto, il lavoro resta nullo: $L = 0\,\text{J}$ .

Esempio — Forza perpendicolare allo spostamento

Si considerino una forza di 12 N e uno spostamento di 5 m, con direzioni perpendicolari.

L = 12 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ

Poiché il coseno vale zero, si ottiene $L = 0\,\text{J}$ .

F_{\parallel} = F\cos\alpha

Esempio — Lavoro su piano inclinato

Si consideri una forza di 50 N che forma un angolo di 37° con il piano inclinato.

F_{\parallel} = 50 \cos 37^\circ

Poiché $\cos 37^\circ \approx 0{,}8$ , la componente parallela vale circa $40\,\text{N}$ . Il lavoro si calcola poi con $L = F_{\parallel}s$ .

Una forma inversa utile è $\displaystyle { F = \frac{L}{s\cos\theta} }$ , cioè la forza si ricava dividendo il lavoro per lo spostamento e per il coseno dell'angolo.

F = \frac{L}{s\cos\theta}

Per esempio, se $L = 24\,\text{J}$ , $s = 3\,\text{m}$ e $\theta = 0^\circ$ , allora $F = 8\,\text{N}$ .

Esempio — Ricavo della forza dalla formula del lavoro

Si conoscono il lavoro, lo spostamento e l'angolo, ma non la forza.

F = \frac{24}{3\cos 0^\circ}

Poiché $\cos 0^\circ = 1$ , si ottiene $F = 8\,\text{N}$ .

Esempi svolti

Esempio 1 — Lavoro di una forza costante orizzontale

Calcolare il lavoro di una forza di $50 N$ che sposta un carrello di $4 m$ nella stessa direzione della forza.

[IMMAGINE: Carrello su piano orizzontale con forza F = 50 N verso destra e spostamento s = 4 m verso destra; angolo θ = 0° indicato tra forza e spostamento.]

Si individuano i dati: $F = 50 N$ , $s = 4 m$ e $\theta = 0^\circ$ . L'incognita è il lavoro $L$ .

Si usa la formula del lavoro di una forza costante. Il lavoro dipende dalla componente della forza lungo lo spostamento.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituiscono i valori. Poiché $\cos 0^\circ = 1$ , il prodotto resta invariato.

L = 50 \cdot 4 \cdot 1 = 200\,\text{J}

Il risultato finale è positivo perché forza e spostamento hanno lo stesso verso.

Errore comune: dimenticare il coseno dell'angolo e moltiplicare solo forza e spazio.

Esempio 2 — Lavoro resistente con angolo ottuso

Determinare il lavoro di una forza di $30 N$ che agisce su uno spostamento di $5 m$ formando un angolo di $120^\circ$ con lo spostamento.

[IMMAGINE: Vettore spostamento s verso destra e forza F inclinata di 120° rispetto a s; indicare che l'angolo è ottuso e il lavoro risulta negativo.]

Si hanno i dati: $F = 30 N$ , $s = 5 m$ e $\theta = 120^\circ$ . Si cerca $L$ .

Si osserva che l'angolo è maggiore di $90^\circ$ . Il coseno è quindi negativo, e il lavoro è resistente.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituisce il valore del coseno. Si usa $\displaystyle { \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} }$ .

L = 30 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -75\,\text{J}

Il lavoro è resistente perché il segno è negativo.

Errore comune: interpretare un angolo ottuso come se producesse lavoro positivo.

Esempio 3 — Lavoro nullo di una forza perpendicolare

Calcolare il lavoro della forza peso su un corpo che si muove orizzontalmente di $8 m$ , sapendo che il peso è verticale.

[IMMAGINE: Blocco che scorre orizzontalmente verso destra; peso verticale verso il basso; indicare angolo θ = 90° tra peso e spostamento.]

Si considerano i dati geometrici del problema. Lo spostamento è orizzontale, mentre la forza peso è verticale.

L'angolo tra forza e spostamento è $90^\circ$ . Questa è la situazione tipica di lavoro nullo.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Si sostituisce il valore del coseno. Poiché $\cos 90^\circ = 0$ , il prodotto annulla il lavoro.

L = F \cdot 8 \cdot 0 = 0\,\text{J}

Il lavoro è nullo perché la forza non ha componente lungo lo spostamento.

Errore comune: confondere una forza presente con un lavoro non nullo.

Esempio 4 — Lavoro su piano inclinato

Una cassa di massa $10 kg$ sale su un piano inclinato lungo $6 m$ con angolo di $30^\circ$ . Si calcoli il lavoro della forza peso.

[IMMAGINE: Piano inclinato di 30° con cassa che sale lungo il piano; peso verticale verso il basso; s lungo il piano; evidenziare la componente del peso parallela al piano.]

Si analizzano i dati: $m = 10 kg$ , $s = 6 m$ , $\alpha = 30^\circ$ . Si cerca il lavoro del peso $L_P$ .

Sul piano inclinato conta la componente del peso parallela al piano. Essa vale $P \sin\alpha$ .

P = mg

Si calcola prima il peso. Con $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$ , si ottiene:

P = 10 \cdot 9{,}8 = 98\,\text{N}

La componente parallela vale:

P_{\parallel} = P \sin 30^\circ = 98 \cdot \frac{1}{2} = 49\,\text{N}

Poiché il moto è verso l'alto e il peso è verso il basso, il lavoro della forza peso è negativo.

L_P = -P_{\parallel} \cdot s = -49 \cdot 6 = -294\,\text{J}

Il risultato finale è resistente perché il peso si oppone al moto lungo il piano.

Errore comune: usare il peso intero invece della sola componente parallela al piano inclinato.

Errori comuni sul lavoro di una forza

✗

Dire che il lavoro è sempre uguale alla forza moltiplicata per lo spostamento.

✓

Il lavoro si calcola con $L = F \cdot s \cdot \cos\theta$ , dove conta anche l’angolo tra forza e spostamento.

L’errore nasce quando si ignora la direzione della forza. Se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente lungo lo spostamento produce lavoro.

✗

Pensare che il lavoro sia nullo solo quando la forza è zero.

✓

Il lavoro è nullo anche quando la forza è perpendicolare allo spostamento, cioè per $\theta = 90^\circ$ .

In questo caso $\cos 90^\circ = 0$ , quindi il prodotto finale vale zero. Si osserva spesso nel moto su traiettorie con forze laterali.

✗

Scrivere che l’unità di misura del lavoro è il newton.

✓

L’unità di misura del lavoro è il joule, cioè $\text{J} = \text{N} \cdot \text{m}$ .

Il newton misura la forza, non il lavoro. Il joule si ottiene combinando forza e spostamento, quindi va sempre distinto da $\text{N}$ .

✗

Dire che se la forza forma un angolo con lo spostamento, il lavoro resta positivo per forza.

✓

Il segno del lavoro dipende da $\cos\theta$ : è positivo per $\theta < 90^\circ$ e negativo per $\theta > 90^\circ$ .

Quando l’angolo è ottuso, la forza tende a opporsi allo spostamento. In quel caso si parla di lavoro resistente, non motore.

✗

Applicare sempre la forza totale nel piano inclinato senza scomporla.

✓

Sul piano inclinato si usa la componente della forza parallela al piano, perché è quella che produce lavoro lungo lo spostamento.

Se si usa la forza sbagliata, il risultato diventa troppo grande. Conviene sempre individuare prima la direzione dello spostamento.

✗

Confondere lavoro motore, resistente e nullo solo guardando il valore della forza.

✓

Bisogna guardare l’angolo tra forza e spostamento e il segno di $\cos\theta$ .

Una forza grande può produrre lavoro nullo se è perpendicolare al moto. Una forza piccola può invece produrre lavoro positivo se è ben orientata.

Domande frequenti

Il lavoro in fisica è l'energia trasferita da una forza quando provoca uno spostamento.

La forza è un'interazione, cioè un'azione capace di modificare il moto o la forma di un corpo.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Il lavoro è nullo quando la forza è perpendicolare allo spostamento, oppure quando lo spostamento è nullo.

In questi casi non c'è trasferimento di energia lungo la direzione del moto.

\theta = 90^\circ \Rightarrow L = 0

L'unità di misura del lavoro è il joule, cioè $J$ .

Un joule corrisponde al lavoro di una forza di $1\,\text{N}$ che sposta il corpo di $1\,\text{m}$ nella stessa direzione.

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}

Il lavoro dipende dall'angolo tra forza e spostamento attraverso il coseno di quell'angolo.

Conta solo la componente della forza parallela allo spostamento.

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Il lavoro è motore quando è positivo, resistente quando è negativo e nullo quando vale zero.

Se $\theta < 90^\circ$ , allora $L > 0$ . Se $\theta > 90^\circ$ , allora $L < 0$ .

L = F \cdot s \cdot \cos\theta

Sul piano inclinato il lavoro si calcola usando la componente della forza parallela al piano.

La componente perpendicolare al piano non produce lavoro se non c'è spostamento in quella direzione.

L = F_{\parallel} \cdot s

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