La quantità di moto è una grandezza vettoriale che misura lo stato di moto di un corpo in relazione alla sua massa e alla sua velocità. L’impulso è l’effetto di una forza applicata per un intervallo di tempo e coincide con la variazione della quantità di moto.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Quantità di moto | |||
| Impulso | |||
| Teorema dell’impulso | |||
| Conservazione della quantità di moto | se | ||
| Centro di massa | |||
| Urto elastico | Si conserva e anche l’energia cinetica | — | |
| Urto anelastico | Si conserva , non l’energia cinetica | — |
Il problema fisico di fondo è descrivere in modo compatto gli effetti di una forza quando agisce per un certo intervallo di tempo.
Si cerca quindi una grandezza che riassuma sia l'intensità della forza sia la durata dell'azione.
In meccanica, cioè lo studio del moto dei corpi e delle cause del moto, questa esigenza porta a definire quantità di moto e impulso.
Per esempio, un corpo di massa che si muove a ha quantità di moto di modulo .
La quantità di moto, cioè la misura vettoriale dello stato di moto di un corpo, dipende sia dalla massa sia dalla velocità.
L'impulso, cioè l'effetto complessivo di una forza nel tempo, serve a collegare l'azione della forza alla variazione del moto.
Per esempio, una forza costante di applicata per produce un impulso di .
Le due grandezze hanno la stessa direzione e lo stesso verso della velocità e della forza, rispettivamente, quando il moto è rettilineo.
In forma più generale, si osserva che impulso e variazione di quantità di moto coincidono.
Per esempio, se la quantità di moto passa da a , l'impulso vale e ha anche unità .
La quantità di moto, cioè la grandezza che descrive quanto un corpo è difficile da fermare, non dipende solo dalla velocità.
Conta anche la massa, perché un corpo più massiccio oppone maggiore resistenza a una variazione del moto.
Per esempio, una pallina di con velocità ha quantità di moto di modulo .
Se la stessa pallina si muove nel verso opposto, il segno della quantità di moto cambia, perché si tratta di un vettore, cioè di una grandezza con modulo, direzione e verso.
Per esempio, due corpi con massa diversa ma stessa velocità hanno quantità di moto diverse proprio per la diversa massa.
L'impulso, cioè la misura dell'azione di una forza durante un intervallo di tempo, risponde alla domanda pratica su quanto il moto cambia.
Una forza grande per poco tempo può avere lo stesso effetto di una forza più piccola per più tempo.
Per esempio, una forza di applicata per produce lo stesso impulso di una forza di applicata per .
Il teorema dell'impulso, cioè il legame tra forza e variazione di quantità di moto, afferma che l'impulso totale coincide con la variazione di quantità di moto.
Per esempio, se un corpo passa da a , la variazione è , quindi l'impulso vale .
Questa relazione è utile perché permette di studiare urti e spinte senza analizzare ogni istante del moto.
La quantità di moto totale di un sistema, cioè la somma vettoriale delle quantità di moto di tutti i corpi, resta costante se l'impulso esterno totale è nullo.
In pratica, si conserva quando le forze esterne risultano trascurabili o si annullano tra loro.
Per esempio, due pattinatori inizialmente fermi che si spingono tra loro si allontanano in versi opposti, ma la quantità di moto totale prima e dopo rimane nulla.
Se un sistema isolato, cioè un sistema senza effetto netto di forze esterne, cambia stato interno, la somma delle quantità di moto non cambia.
Per esempio, in uno scontro tra due carrelli su rotaia, il totale si conserva meglio che su una strada, perché gli attriti sono minori.
Un urto, cioè un'interazione breve e intensa tra corpi, si studia spesso con la conservazione della quantità di moto.
Negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica, cioè l'energia del moto.
Per esempio, due palle da biliardo di uguale massa possono scambiarsi velocità quasi senza perdita di energia cinetica.
Negli urti anelastici, cioè urti in cui parte dell'energia cinetica si trasforma in calore, suono o deformazione, la quantità di moto si conserva ma l'energia cinetica no.
Per esempio, due pezzi di plastilina che si scontrano possono restare uniti dopo l'urto.
Nel caso limite perfettamente anelastico, i corpi dopo l'urto hanno la stessa velocità finale.
Questo accade perché l'energia del moto si degrada, ma il bilancio della quantità di moto resta valido.
Un urto centrale in una dimensione, cioè un urto lungo la stessa retta di moto, si descrive con due velocità iniziali e due velocità finali lungo lo stesso asse.
Il problema si risolve imponendo la conservazione della quantità di moto e, se l'urto è elastico, anche quella dell'energia cinetica.
Per esempio, se , , e , allora il totale iniziale vale .
Per urti elastici unidimensionali, le velocità finali risultano dalla combinazione delle due condizioni di conservazione.
Per esempio, con masse uguali e una sola massa inizialmente in moto, il primo corpo si ferma e il secondo acquista la velocità iniziale del primo.
Queste formule sono valide solo lungo una stessa direzione e solo per urti elastici ideali.
Il centro di massa, cioè il punto che rappresenta la distribuzione media della massa di un sistema, permette di descrivere il moto complessivo con una sola posizione.
Si può pensare a un corpo composto come se tutta la massa fosse concentrata lì per studiare il movimento globale.
Per esempio, due masse di e poste rispettivamente in e hanno centro di massa in .
La posizione del centro di massa è più vicina alla massa maggiore, perché il peso della massa entra nel calcolo come coefficiente.
[IMMAGINE: Diagramma su asse orizzontale con due carrelli di masse m1 e m2, velocità v1 e v2 prima dell'urto, velocità v1' e v2' dopo l'urto, frecce dei vettori quantità di moto p1 e p2, punto del centro di massa R_cm segnato tra i due corpi, etichette chiare delle grandezze e versi di moto]
In sintesi, impulso e quantità di moto permettono di passare dalla descrizione delle forze alla descrizione globale del moto, specialmente negli urti.
La quantità di moto, cioè la grandezza vettoriale che misura lo stato di moto di un corpo, si definisce come prodotto tra massa e velocità.
In questa formula è il vettore quantità di moto in , è la massa in e è la velocità in .
Si consideri un corpo di massa 2 kg che si muove a 3 m/s.
Si sostituisce nella formula: .
La quantità di moto ha modulo 6 kg·m/s e direzione uguale a quella di .
L'impulso, cioè l'effetto di una forza applicata per un intervallo di tempo, coincide con la variazione della quantità di moto.
In questa relazione è l'impulso in oppure in , è la forza media in , è l'intervallo di tempo in e è la variazione di quantità di moto.
Si applichi una forza media di 10 N per 0,2 s.
Si calcola l'impulso: .
La quantità di moto varia di 2 kg·m/s nella direzione della forza.
La conservazione della quantità di moto, cioè l'uguaglianza della quantità di moto totale prima e dopo l'interazione, vale in assenza di forze esterne risultanti.
Se il sistema è isolato, si ha . La massa totale non basta da sola; conta la somma vettoriale delle quantità di moto.
Due corpi hanno quantità di moto iniziali opposte: 4 kg·m/s e -4 kg·m/s.
La somma iniziale è , quindi resta 0 anche dopo l'interazione se non agiscono forze esterne.
Il totale si conserva, anche se le quantità di moto dei singoli corpi possono cambiare.
Il centro di massa, cioè il punto che descrive la distribuzione della massa del sistema, si calcola con media pesata delle posizioni.
In questa formula è la posizione del centro di massa in , sono le masse dei corpi e sono i vettori posizione in .
Due masse di 2 kg e 1 kg si trovano rispettivamente in 0 m e 3 m.
Si calcola: .
Il centro di massa si trova a 1 m dall'origine, più vicino alla massa maggiore.
Negli urti centrali in una dimensione, cioè negli urti lungo la stessa retta, si conserva la quantità di moto totale del sistema.
Le formule di e danno le velocità finali nell'urto elastico. Le grandezze sono in .
Si considerino due masse uguali, con velocità iniziali 4 m/s e 0 m/s.
Sostituendo nelle formule si ottiene lo scambio delle velocità.
L'urto elastico tra masse uguali comporta uno scambio completo delle velocità.
Negli urti elastici, cioè negli urti in cui si conserva anche l'energia cinetica, vale sia la conservazione della quantità di moto sia quella di
. Negli urti anelastici, cioè negli urti in cui una parte dell'energia cinetica si trasforma in altre forme, si conserva solo la quantità di moto totale.
Due corpi si urtano e rimangono attaccati dopo l'urto.
La quantità di moto totale si conserva, ma l'energia cinetica diminuisce.
La trasformazione dell'energia indica un urto anelastico.
Calcolare l’impulso di una forza costante e la variazione di quantità di moto di un carrello.
[IMMAGINE: Carrello su piano orizzontale con forza orizzontale F verso destra applicata per Δt; indicare p iniziale, p finale e frecce vettoriali.]
Dati: costante, , massa del carrello . Si cerca e .
Il metodo usa il teorema dell’impulso, cioè . Si osserva che forza e intervallo di tempo sono noti.
La variazione di quantità di moto vale quindi , con lo stesso verso della forza.
Il risultato finale è 6,0 N·s per l’impulso e 6,0 kg·m/s per la variazione di quantità di moto.
Errore comune: dimenticare che impulso e quantità di moto sono grandezze vettoriali e hanno verso.
Determinare la velocità comune dopo un urto in cui due corpi restano uniti.
[IMMAGINE: Due carrelli su binario: m1 con velocità iniziale v1 verso destra, m2 fermo; dopo l’urto i due carrelli uniti con velocità v' verso destra.]
Dati: , , , . Si cerca la velocità finale .
Si applica la conservazione della quantità di moto, cioè , perché le forze esterne sono trascurabili.
Sostituendo i valori si ottiene .
La velocità finale è 1,6 m/s verso destra.
Errore comune: usare la conservazione dell’energia cinetica anche negli urti anelastici.
Calcolare le velocità finali in un urto elastico centrale in una dimensione.
[IMMAGINE: Due carrelli su binario rettilineo: m1 a sinistra con v1 verso destra, m2 a destra con v2 verso sinistra; indicare le velocità finali v1' e v2'.]
Dati: , , , verso sinistra, cioè .
Si usa il sistema di riferimento con verso positivo verso destra. In un urto elastico si conservano quantità di moto ed energia cinetica.
Sostituendo si ottiene e .
Il risultato finale è simmetrico rispetto al verso scelto: il primo carrello inverte il moto.
Errore comune: non assegnare il segno negativo alla velocità iniziale verso sinistra.
Determinare la posizione del centro di massa di due corpi su una retta.
[IMMAGINE: Retta orizzontale con due masse m1 in x1=0 m e m2 in x2=4 m; indicare il punto R_cm tra le due masse.]
Dati: in , in . Si cerca .
Il metodo usa la formula del centro di massa, cioè la media pesata delle posizioni.
Si sostituisce: .
Il centro di massa è in 3,0 m dall’origine, quindi più vicino alla massa maggiore.
Errore comune: fare la media aritmetica semplice senza pesare le posizioni con le masse.
Scrivere che la quantità di moto è .
La quantità di moto è .
La grandezza dipende da massa e velocità insieme. L'errore nasce dal confondere prodotto e somma.
Trattare la quantità di moto come una grandezza scalare.
La quantità di moto è un vettore, cioè ha modulo, direzione e verso.
La direzione coincide con quella della velocità. Questo conta molto negli urti e nelle somme tra più corpi.
Dire che l'impulso è sempre uguale a o a .
L'impulso si calcola con e vale anche .
L'impulso dipende sia dalla forza sia dal tempo di applicazione. Per questo una forza piccola può dare un grande impulso se agisce a lungo.
Usare solo la forza senza il tempo, scrivendo .
Si deve usare se la forza è costante.
La forza da sola non basta. Serve anche l'intervallo temporale, cioè il tempo durante il quale la forza agisce.
Credere che la quantità di moto si conservi sempre.
La quantità di moto totale si conserva solo se la risultante delle forze esterne è nulla.
In un sistema isolato, cioè senza azioni esterne apprezzabili, vale . Se agiscono forze esterne, la quantità di moto può cambiare.
Confondere impulso e quantità di moto come se fossero la stessa cosa.
La quantità di moto è , mentre l'impulso è .
Le due grandezze hanno la stessa unità di misura, ma significato diverso. La quantità di moto descrive lo stato di moto, l'impulso descrive una variazione.
La quantità di moto, cioè il prodotto tra massa e velocità, è una grandezza vettoriale che descrive lo stato di moto di un corpo.
Per esempio, se = 2 kg e = 3 m/s, allora = 6 kg·m/s, con direzione e verso uguali a quelli di .
L'impulso, cioè l'effetto di una forza agente per un certo intervallo di tempo, è una grandezza vettoriale che misura la variazione della quantità di moto.
Per esempio, se = 10 N e = 0{,}5 s, allora = 5 N·s.
Si osserva che 1 N·s è equivalente a 1 kg·m/s.Per esempio, 5 N·s corrispondono a 5 kg·m/s.
La quantità di moto si conserva quando la risultante delle forze esterne sul sistema è nulla o trascurabile.
Per esempio, in due carrelli che si urtano su un piano quasi senza attrito, la quantità di moto totale prima e dopo l'urto resta la stessa.
Se agiscono forze esterne importanti, la conservazione non vale per il sistema considerato.
L'impulso si calcola moltiplicando la forza per l'intervallo di tempo in cui essa agisce.
Per esempio, con = 8 N e = 2 s, si ottiene = 16 N·s.
Se la forza cambia nel tempo, si usa l'area sotto il grafico forza-tempo.Per esempio, un triangolo di base 4 s e altezza 6 N dà impulso 12 N·s.
La differenza è che la quantità di moto descrive lo stato di moto, mentre l'impulso descrive la variazione di quello stato.
Per esempio, un corpo con = 3 kg e = 4 m/s ha = 12 kg·m/s, mentre un impulso di 12 N·s può produrre una variazione equivalente di quantità di moto.
In sintesi, la quantità di moto è uno stato, mentre l'impulso è una causa del cambiamento.
Negli urti si conserva sempre la quantità di moto del sistema isolato, mentre l'energia cinetica si conserva solo negli urti elastici.
Per esempio, due palle che rimbalzano senza deformazioni permanenti possono approssimare un urto elastico.Se invece restano parzialmente unite, l'urto è anelastico.
Il centro di massa, cioè il punto che rappresenta la distribuzione della massa del sistema, è utile per descrivere il moto complessivo di più corpi.
Per esempio, per due masse di 2 kg e 4 kg poste a 1 m e 4 m dall'origine, si ha = (2\cdot1+4\cdot4)/6 = 3 m.
Negli urti, il centro di massa si muove come se agissero solo le forze esterne sul sistema.
