Le funzioni iperboliche sono funzioni definite tramite gli esponenziali, usate in analisi e in modelli con crescita e decadimento. Le più importanti sono il seno iperbolico, il coseno iperbolico e la tangente iperbolica.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Seno iperbolico, cioè funzione costruita con gli esponenziali. | È dispari: ; esempio: . | |
| Coseno iperbolico, cioè funzione costruita con gli esponenziali. | È pari: ; esempio: . | |
| Tangente iperbolica, cioè rapporto tra seno e coseno iperbolico. | È definita per ogni ; esempio: . | |
| Identità fondamentale, cioè relazione sempre vera tra le due funzioni. | Esempio: per , . | |
| Derivata del seno iperbolico, cioè tasso di variazione della funzione. | Esempio: in , la derivata vale . | |
| Derivata del coseno iperbolico, cioè tasso di variazione della funzione. | Esempio: in , la derivata vale . | |
| Funzioni inverse | , , | Si usano per invertire le funzioni iperboliche; esempio: . |
| Confronto con le trigonometriche | Analoghe per nome, ma non per identità. | Le funzioni trigonometriche hanno identità con il segno opposto: . |
Le funzioni iperboliche, cioè funzioni costruite con esponenziali simili a quelle trigonometriche, nascono per descrivere crescite e simmetrie legate a e .
La loro utilità si vede quando un problema produce combinazioni di esponenziali con parte crescente e parte decrescente. In quel caso, sinh e cosh separano in modo naturale la componente dispari e quella pari.
Per esempio, con , si ottiene e .
Queste due funzioni non sono introdotte per imitare i seni e coseni ordinari. Si introducono perché risolvono in modo compatto molti modelli con esponenziali.
Da esse si definisce anche la tangente iperbolica, cioè il rapporto tra seno iperbolico e coseno iperbolico.tanh misura quindi un confronto tra le due componenti.
Per esempio, se , allora e , quindi .
[IMMAGINE: Grafico su piano cartesiano con le curve y=sinh x, y=cosh x e y=tanh x. Indicare origine, asse x, asintoto orizzontale di tanh, crescita di cosh e attraversamento dell'origine di sinh.]
Le funzioni iperboliche si leggono bene anche dal loro comportamento grafico. sinh passa per l'origine, mentre cosh resta sempre positiva e presenta un minimo in .
Una proprietà centrale è la simmetria. La funzione sinh è dispari, cioè cambia segno quando si sostituisce con .
Per esempio, se , si ha e quindi .
La funzione cosh è pari, cioè mantiene lo stesso valore per e per .
Per esempio, con , si ottiene e anche .
La relazione più importante lega le due funzioni in modo simile al teorema di Pitagora. Si ottiene sottraendo i quadrati delle definizioni esponenziali.
Per esempio, con , si calcola .
Questa identità è fondamentale perché consente di riscrivere una funzione tramite l'altra. Inoltre mostra che non può mai essere minore di .
Per un confronto grafico, si osserva che cresce senza limite in entrambe le direzioni, mentre ha forma a U e non interseca l'asse delle ascisse.
Le derivate si ricavano in modo diretto dalle definizioni esponenziali. Questo è il motivo per cui le funzioni iperboliche sono molto comode nel calcolo differenziale.
Per esempio, nel punto , la derivata di vale .
Per esempio, nel punto , la derivata di vale .
La verifica si svolge applicando le derivate di e . Si ottiene una coppia perfettamente simmetrica.
Per esempio, se , allora la derivata di in quel punto coincide con .
Per esempio, se , la derivata di coincide con .
Questa simmetria rende il calcolo molto ordinato. La derivata di una funzione genera l'altra, senza introdurre nuove forme algebriche.
Si consideri la funzione f(x)=3\sinh x-2\cosh x.
Si deriva termine a termine: f'(x)=3\cosh x-2\sinh x.
Nel punto x=0 si ottiene f'(0)=3·1-2·0=3.
Il risultato mostra che la derivata conserva la struttura della funzione iniziale.
Anche le funzioni inverse hanno un ruolo importante. Si introducono per risolvere equazioni in cui l'incognita compare dentro sinh, cosh o tanh.
Le inverse si chiamano arcsinh, arccosh e arctanh, cioè le funzioni che restituiscono l'argomento a partire dal valore iperbolico.
Per esempio, se , allora .
Per esempio, se , allora .
Per esempio, se , allora .
L'analogia con le funzioni trigonometriche è utile, ma non deve diventare confusione. Le funzioni trigonometriche descrivono rotazioni e cerchi; le iperboliche descrivono curve legate alle esponenziali e alle iperboli.
Si osserva inoltre che le identità cambiano segno rispetto al caso circolare. Per e compare , mentre per le funzioni iperboliche compare la differenza.
Per esempio, se si prende un valore compatibile con il cerchio o con l'iperbole, si nota che nel primo caso la somma dei quadrati resta sempre 1, mentre nel secondo la differenza dei quadrati resta sempre 1.
Questo confronto aiuta a ricordare il senso delle due famiglie di funzioni. Le trigonometriche sono periodiche, cioè si ripetono; le iperboliche non lo sono e crescono con gli esponenziali.
Le funzioni iperboliche, cioè funzioni definite tramite gli esponenziali, si studiano a partire da due definizioni fondamentali.
Nella formula, è la variabile reale, mentre ed sono i due termini esponenziali opposti.
La funzione \sinh si legge seno iperbolico, cioè l'analogo esponenziale del seno circolare.
Si consideri per verificare la definizione.
Il risultato vale . Questo mostra che il grafico passa per l'origine.
La funzione \cosh si legge coseno iperbolico, cioè la media dei due esponenziali opposti.
La è sempre positiva e vale almeno .
Si calcola il caso .
Questo è il minimo della funzione. Il grafico tocca l'asse delle ordinate in .
La funzione \tanh si legge tangente iperbolica, cioè il rapporto tra seno e coseno iperbolici.
Poiché non si annulla mai, il rapporto è definito per ogni reale.
Si consideri per un controllo immediato.
Il valore è nullo. Questo conferma che la funzione passa per l'origine.
Questa è l'identità fondamentale, cioè la relazione che sostituisce l'identità trigonometrica circolare.
Per ricordarla, si osserva che il termine con i quadrati degli esponenziali si semplifica esattamente in .
Si sostituisce il valore .
L'identità risulta verificata in modo immediato.
Le funzioni e hanno comportamenti diversi di parità.
La dispari indica simmetria rispetto all'origine. La pari indica simmetria rispetto all'asse delle ordinate.
Si prenda e si confronti con .
Il grafico non cambia con il segno dell'ascissa. Questo conferma la parità.
Le funzioni iperboliche sono legate anche a problemi fisici. In particolare, la catena sospesa e l'equazione dell'equilibrio producono la funzione .
In tali modelli, si misura in , mentre l'altezza della curva si misura nella stessa unità della grandezza studiata, per esempio .
Si considera il punto minimo della curva.
Il vertice è nel punto e la curva cresce allontanandosi dall'origine.
Le funzioni inverse sono indicate con \operatorname{arcsinh}, \operatorname{arccosh} e \operatorname{arctanh}, cioè le inverse rispettivamente di seno, coseno e tangente iperbolici.
Si usa quando si vuole risolvere un'equazione del tipo .
Le inverse sono utili per passare dalla grandezza nota al parametro in problemi di geometria e di fisica matematica.
Si calcolino i valori di , e .
Si usano le definizioni esponenziali di seno iperbolico, cioè funzione costruita con e , e di coseno iperbolico, cioè funzione costruita con la loro somma.
L'incognita è il valore delle tre funzioni nel punto . Il metodo consiste nella sostituzione diretta nelle formule.
Sostituendo , si ottiene .
Inoltre . Quindi .
Il risultato finale è che , e .
Errore comune: scambiare con 0 perché il nome ricorda il seno ordinario.
Si verifichi che nel caso .
Si calcolano prima e . L'obiettivo è controllare l'identità con valori numerici concreti.
Si applicano le definizioni: e .
Si sviluppa la differenza di quadrati. I termini misti si eliminano.
Si ottiene quindi il valore . L'identità è verificata numericamente.
Errore comune: sostituire solo uno dei due termini e dimenticare il quadrato su entrambi.
Si calcolino le derivate di e .
Si parte dalle definizioni esponenziali. Il metodo usa la derivata di e di .
Si deriva termine per termine. La derivata di è , mentre la derivata di è .
In modo analogo, si ottiene .
Il risultato finale è che le derivate si scambiano: e .
Errore comune: dimenticare il segno meno quando si deriva .
Si studi il segno di e il suo comportamento per .
Si ricorda che . Poiché per ogni reale, il segno dipende da .
L'incognita è il limite della funzione. Il metodo consiste nel dividere numeratore e denominatore per .
Quando , si ha .
Il risultato finale è che tende a per .
Errore comune: pensare che possa superare 1 in valore assoluto.
Confondere il seno iperbolico con il seno circolare e scrivere .
Il seno iperbolico si definisce con .
L’errore nasce dalla somiglianza dei nomi. Si ricorda che il segno meno compare in , mentre il segno più compare in .
Scambiare le formule e scrivere oppure invertire i ruoli di e .
Le definizioni corrette sono e .
Le due funzioni differiscono solo per un segno, quindi la confusione è frequente. Si controlla sempre la parità: è dispari, è pari.
Trattare le funzioni iperboliche come se avessero periodicità, asintoti verticali e valori compresi tra e .
Le funzioni iperboliche non sono periodiche. Inoltre per ogni , mentre ha asintoti orizzontali e .
Questo errore deriva dall’analogia troppo rapida con le funzioni trigonometriche. In realtà il legame con l’esponenziale cambia grafici e proprietà in modo sostanziale.
Applicare la regola delle derivate trigonometriche e scrivere oppure .
Le derivate corrette sono e .
Il segno meno appartiene a e , non alle funzioni iperboliche. Si evita l’errore ricordando che le derivate mantengono la stessa famiglia.
Scrivere oppure dimenticare il denominatore .
La definizione corretta è .
L’errore è pericoloso perché altera anche il grafico e i limiti. Si controlla sempre il rapporto tra numeratore e denominatore prima di semplificare.
Dimenticare l’identità fondamentale e usare come nelle funzioni circolari.
L’identità corretta è .
La somiglianza con l’identità trigonometrica induce facilmente in errore. Si osserva che il segno cambia perché le funzioni iperboliche derivano da somme e differenze di esponenziali.
Il seno iperbolico, cioè la funzione sinhdefinita con gli esponenziali, è una funzione dispari usata spesso in analisi e fisica matematica.
Per esempio, se , si ha .
Le formule sono quelle ottenute dalle combinazioni di ed , e definiscono seno e coseno iperbolico.
Per esempio, per , si ottiene e .
La differenza principale è che le funzioni trigonometriche, cioè seno e coseno circolari, sono legate alla circonferenza; le funzioni iperboliche sono legate all'iperbole.
Per esempio, nel caso circolare si sommano i quadrati con segno positivo, mentre nel caso iperbolico compare una sottrazione.
Inoltre, e sono periodiche, mentre e non lo sono.
Le derivate si ottengono derivando le definizioni esponenziali, e si scambiano tra loro.
Per esempio, se , allora la derivata è .
Il fatto è utile perché molte equazioni differenziali si scrivono in modo compatto con queste funzioni.
La funzione tanh è il rapporto tra seno e coseno iperbolico, e spesso compare nei limiti e nei modelli di crescita.
Per esempio, in , si ha , perché e .
No, le funzioni e non hanno asintoti orizzontali, mentre ha asintoti orizzontali.
Sono le funzioni inverse, cioè quelle che riportano indietro il valore della funzione iperbolica corrispondente.
Per esempio, se , allora .
