come si risolve arcsin(x) = a

Si risolve imponendo che x=\sin(a), con la condizione a\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Per esempio, se a=\frac{\pi}{6}, allora x=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.

differenza tra sin⁻¹ e 1/sin

Sono cose diverse: sin^{-1} indica l’arcoseno, mentre 1/\sin(x) è il reciproco del seno, cioè la funzione cosecante. La scrittura sin^{-1}(x) non significa \frac{1}{\sin(x)}. Per esempio, sin^{-1}(\tfrac12)=\arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6}, mentre 1/\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2.

L’arctangente di infinito si interpreta come un limite e vale \frac{\pi}{2}. Analogamente, per x\to -\infty, si ha \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}. L’immagine di arctan è quindi \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

Sì, l’arcoseno è dispari, cioè il valore della funzione cambia segno quando cambia segno l’argomento. Per esempio, \arcsin(-\tfrac12)=-\frac{\pi}{6}, mentre \arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6}. Questa proprietà vale per l’intervallo principale dell’arcoseno. Non va confusa con le soluzioni periodiche delle equazioni goniometriche.

Funzioni goniometriche inverse

Q: cos'è l'arcoseno

L’arcoseno, cioè la funzione inversa del seno ristretta al suo intervallo principale, restituisce l’angolo il cui seno vale un dato numero. Per definizione, si indica con arcsin e si ottiene un valore compreso tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}.

Q: qual è il dominio di arcsin

Il dominio di arcsin è l’intervallo [-1,1], perché il seno assume solo valori compresi tra -1 e 1. Per esempio, arcsin(1)=\frac{\pi}{2} e arcsin(0)=0.

Q: perché seno e coseno hanno l'inversa solo con un dominio ristretto?

Si restringe il dominio perché seno e coseno non sono iniettive, cioè non associano sempre valori distinti a immagini distinte. Per esempio, \sin(0)=\sin(\pi)=0, quindi il seno non è invertibile su tutto \mathbb{R}. Con una restrizione opportuna, si ottiene una funzione inversa ben definita. Per il seno si usa spesso \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Inversione e proprietà delle inverse

Altre opzioni

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Concetto chiave

Funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche inverse, cioè arcoseno, arcocoseno e arcotangente, permettono di risalire all’angolo a partire dal valore della funzione goniometrica. Per esistere come funzioni, seno, coseno e tangente devono essere ristrette a intervalli in cui risultano invertibili.

\sin(x)=a \iff x=\arcsin(a)+2k\pi \ \text{oppure}\ x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi

✓Arcsin: dominio [-1,1], immagine [-\pi/2,\pi/2].
✓Arccos: dominio [-1,1], immagine [0,\pi].
✓Arctan: dominio \mathbb{R}, immagine (-\pi/2,\pi/2).
✓Proprietà: \arcsin(-x)=-\arcsin(x) e \arccos(-x)=\pi-\arccos(x).
✓Derivate: (\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2}, (\arctan x)'=1/(1+x^2).

Schema rapido delle funzioni goniometriche inverse

Funzione	Dominio e immagine	Proprietà e formule
$\arcsin x$	Dominio: $[-1,1]$ ; immagine: $\displaystyle { \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$	È l’inversa del seno ristretto a $\displaystyle { \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ . Per esempio, $\displaystyle { \arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6} }$ .
$\arccos x$	Dominio: $[-1,1]$ ; immagine: $[0,\pi]$	È l’inversa del coseno ristretto a $[0,\pi]$ . Per esempio, $\displaystyle { \arccos(\tfrac12)=\frac{\pi}{3} }$ .
$\arctan x$	Dominio: $\mathbb{R}$ ; immagine: $\displaystyle { \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }$	È l’inversa della tangente ristretto a $\displaystyle { \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }$ . Per esempio, $\displaystyle { \arctan(1)=\frac{\pi}{4} }$ .
Restrizione del dominio	Serve per rendere le funzioni goniometriche invertibili	Senza restrizione, seno e coseno non sono iniettive, cioè non associano a ogni valore un solo angolo.
Proprietà di simmetria	$\arcsin(-x)=-\arcsin(x)$ ; $\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)$	Per esempio, se $\arcsin(\tfrac34)\approx0{,}848$ , allora $\arcsin(-\tfrac34)\approx-0{,}848$ .
Equazione $\sin(x)=a$	Soluzioni periodiche	$x=\arcsin(a)+2k\pi$ oppure $x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi$ , con $k\in\mathbb{Z}$ . Per esempio, se $a=\tfrac12$ , allora $\displaystyle { x=\frac{\pi}{6}+2k\pi }$ oppure $\displaystyle { x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi }$ .
Derivata di $\arcsin x$	$\displaystyle { \left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$	Valida per $x\in(-1,1)$ . Per esempio, in $x=0$ , la derivata vale $1$ .
Derivata di $\arctan x$	$\displaystyle { \left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2} }$	Valida per ogni $x\in\mathbb{R}$ . Per esempio, in $x=2$ , la derivata vale $\frac15$ .

Perché servono le funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche inverse, cioè le funzioni che annullano seno, coseno e tangente, servono per rispondere a una domanda precisa: quale angolo produce un valore dato?

Il problema nasce perché seno, coseno e tangente non sono iniettive, cioè non associano sempre valori distinti a valori distinti. Perciò non si possono invertire direttamente su tutto il loro dominio.

Si sceglie allora un tratto ristretto del grafico, dove ogni valore compare una sola volta. In questo modo l’inversa diventa una funzione vera e propria.

\sin x = a \iff x = \arcsin(a) \text{ su un intervallo ristretto }

Per esempio, il valore $\displaystyle { a = \frac{1}{2} }$ corrisponde a più angoli sulla circonferenza goniometrica. Tuttavia l’arcoseno restituisce solo il valore principale, cioè $\displaystyle { \frac{\pi}{6} }$ .

Si osserva quindi che l’inversa non serve a elencare tutti gli angoli possibili. Serve a scegliere un rappresentante unico, utile nei calcoli e nelle equazioni.

[IMMAGINE: Circonferenza goniometrica con tre angoli diversi che producono lo stesso seno; evidenziare il tratto ristretto usato per definire l'inversa e il valore principale restituito.]

Restrizione del dominio: il motivo matematico

Per costruire un’inversa, una funzione deve essere biunivoca, cioè sia iniettiva sia suriettiva sul codominio scelto.

Il seno su tutto $\mathbb{R}$ non è biunivoco, perché lo stesso valore si ripete ogni $2\pi$ radianti. Lo stesso accade per coseno e tangente.

Si restringe allora il dominio in modo da conservare una sola soluzione per ogni valore ammesso. Questa scelta rende possibile definire arcsin, arccos e arctan.

\sin\colon \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]

Per esempio, su $\displaystyle { \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ il seno assume ogni valore tra $-1$ e $1$ una sola volta.

La restrizione non cambia la funzione originaria. Cambia solo il tratto usato per costruire l’inversa.

Arcoseno: definizione, dominio e immagine

L’arcoseno, cioè l’inversa del seno sul tratto ristretto scelto, restituisce l’angolo il cui seno è il valore dato.

Il suo dominio è $[-1,1]$ . Questo significa che si può applicare solo a numeri compresi tra meno uno e uno.

La sua immagine è $\displaystyle { \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ . Quindi il risultato è sempre un angolo principale compreso tra meno novanta e novanta gradi.

y = \arcsin(x) \iff \sin y = x \quad \text{con } y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

Per esempio, $\displaystyle { \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6} }$ , perché $\displaystyle { \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} }$ .

Per esempio, $\arcsin(0)=0$ , perché il seno di zero vale zero.

Si definisce così un’unica risposta principale. Senza questa scelta, la scrittura non sarebbe una funzione.

Arcoseno: proprietà e valori notevoli

L’arcoseno è una funzione dispari, cioè il valore opposto dell’argomento produce l’angolo opposto.

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)

Per esempio, se $\displaystyle { x=\frac{1}{2} }$ , allora $\displaystyle { \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6} }$ .

Questa proprietà si legge bene sul grafico del seno ristretto. La simmetria rispetto all’origine viene conservata.

Si ricordano alcuni valori utili per i calcoli rapidi.

$\displaystyle { \arcsin(1)=\frac{\pi}{2} }$
$\arcsin(0)=0$
$\displaystyle { \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2} }$

Per esempio, il primo valore deriva da $\displaystyle { \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 }$ . Il terzo deriva da $\displaystyle { \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 }$ .

Arcocoseno: definizione e proprietà

L’arcocoseno, cioè l’inversa del coseno sul tratto ristretto scelto, restituisce l’angolo principale che ha quel coseno.

Il suo dominio è ancora $[-1,1]$ , perché il coseno produce solo valori in quell’intervallo.

La sua immagine è $[0,\pi]$ . In questo modo ogni valore ammesso corrisponde a un solo angolo principale.

y = \arccos(x) \iff \cos y = x \quad \text{con } y \in [0,\pi]

Per esempio, $\displaystyle { \arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3} }$ , perché $\displaystyle { \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} }$ .

Per esempio, $\arccos(1)=0$ , perché il coseno di zero vale uno.

L’idea è la stessa dell’arcoseno. Cambia solo il tratto scelto per rendere unica la risposta.

Arcocoseno: proprietà di simmetria

L’arcocoseno soddisfa una relazione di simmetria rispetto a $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ . Questa relazione collega un valore e il suo opposto.

\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)

Per esempio, se $\displaystyle { x=\frac{1}{2} }$ , allora $\displaystyle { \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} }$ .

Questa proprietà si ottiene osservando la simmetria del coseno: $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ .

Per esempio, se $\displaystyle { \theta=\frac{\pi}{3} }$ , allora $\displaystyle { \cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} }$ .

Arcotangente: dominio, immagine e infinito

L’arcotangente, cioè l’inversa della tangente sul tratto ristretto scelto, è spesso la più comoda perché la tangente assume tutti i valori reali.

Il suo dominio è $\mathbb{R}$ . La sua immagine è $\displaystyle { \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }$ .

y = \arctan(x) \iff \tan y = x \quad \text{con } y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Per esempio, $\displaystyle { \arctan(1)=\frac{\pi}{4} }$ , perché $\displaystyle { \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 }$ .

Si domanda spesso il valore dell’arcotangente di infinito. In senso di limite si ottiene $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ , ma questo valore non appartiene all’immagine.

\lim_{x\to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}

Per esempio, per $x=1000$ , si ha $\arctan(1000)$ molto vicino a $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ .

Equazioni goniometriche con arcoseno

Le equazioni goniometriche si risolvono usando l’angolo principale e la periodicità. Questo permette di scrivere tutte le soluzioni reali.

Se $\sin x = a$ , allora si trova prima l’angolo principale $\alpha = \arcsin(a)$ . Poi si usano le due famiglie di soluzioni del seno.

\sin x = a \iff x = \arcsin(a) + 2k\pi \; \text{oppure} \; x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi

Per esempio, se $\displaystyle { \sin x = \frac{1}{2} }$ , si ha $\displaystyle { \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6} }$ .

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Si verificano subito le soluzioni: $\displaystyle { \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} }$ e $\displaystyle { \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} }$ .

Esempio — Risoluzione di \sin x = \frac{1}{2}

Risoluzione dell’equazione \sin x = \frac{1}{2}.

Si calcola l’angolo principale: $\displaystyle { \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6} }$ .

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \; \text{oppure} \; x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Le due famiglie coprono tutti gli zeri del seno con quel valore. La soluzione generale è quindi completa.

Derivate delle inverse goniometriche

Le derivate delle inverse goniometriche sono utili perché compaiono spesso nello studio di funzioni composte e di integrali.

La derivata dell’arcoseno ha denominatore con radice. Ciò riflette il fatto che il seno si avvicina a $\pm 1$ con pendenza molto grande.

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Per esempio, in $x=0$ , si ottiene $(\arcsin x)'_{x=0}=1$ .

Per esempio, vicino a $\displaystyle { x=\frac{3}{4} }$ , il valore della derivata cresce perché il denominatore si riduce.

(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}

Per esempio, in $x=0$ , la derivata vale ancora $1$ .

Per esempio, in $x=1$ , si ottiene $\displaystyle { \frac{1}{2} }$ .

Le due formule mostrano un fatto utile: l’arcotangente varia sempre più lentamente quando il valore assoluto di $x$ cresce.

Formule e proprietà delle funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche inverse, cioè le funzioni che restituiscono l'angolo corrispondente a un valore di seno, coseno o tangente, esistono solo dopo una restrizione del dominio.

La restrizione del dominio, cioè la scelta di un intervallo in cui la funzione trigonometrica è invertibile, serve a rendere univoca l'inversa.

\sin : \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]

Questa è la versione di seno su cui si definisce arcsin. Il valore restituito è un angolo compreso tra $\displaystyle { -\frac{\pi}{2} }$ e $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ .

Esempio — Valore di arcsin

Si calcola $\displaystyle { \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) }$ .

\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}

Infatti $\displaystyle { \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} }$ , e $\displaystyle { \frac{\pi}{6} }$ appartiene all'intervallo principale di arcsin.

Si ottiene quindi l'angolo principale associato a $\displaystyle { \frac{1}{2} }$ .

\arcsin x = y \iff \sin y = x, \quad x \in [-1,1], \ y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

In questa relazione, $x$ è il valore numerico, mentre $y$ è l'angolo restituito. Il dominio di arcsin è $[-1,1]$ .

Esempio — Controllo del dominio di arcsin

Si considera $\arcsin(2)$ .

L'espressione non è definita, perché $2 \notin [-1,1]$ .

Il valore di seno di un angolo reale non supera mai $1$ in valore assoluto.

La funzione inversa richiede quindi un argomento compreso tra $-1$ e $1$ .

\arcsin(-x)=-\arcsin(x)

Questa proprietà, cioè la disparità di arcsin, mostra una simmetria rispetto all'origine. Se $\displaystyle { x=\frac{1}{2} }$ , allora $\displaystyle { \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6} }$ .

\cos : [0,\pi] \to [-1,1]

La restrizione del coseno su $[0,\pi]$ permette di definire arccos. L'immagine, cioè l'insieme dei valori restituiti, è $[0,\pi]$ .

Esempio — Valore di arccos

Si calcola $\displaystyle { \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) }$ .

\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}

Infatti $\displaystyle { \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} }$ , e $\displaystyle { \frac{2\pi}{3} }$ appartiene a $[0,\pi]$ .

Non si sceglie $\displaystyle { \frac{4\pi}{3} }$ , perché non appartiene all'intervallo principale.

\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)

Questa identità, cioè la simmetria dell'arcocoseno, trasforma un valore positivo nel corrispondente valore negativo. Se $\displaystyle { x=\frac{1}{2} }$ , allora $\displaystyle { \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} }$ .

\tan : \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}

La tangente, cioè il rapporto $\displaystyle { \frac{\sin x}{\cos x} }$ , si inverte su tutto $\mathbb{R}$ . Si definisce così arctan, con valori compresi tra $\displaystyle { -\frac{\pi}{2} }$ e $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ .

Esempio — Valore di arctan

Si calcola $\arctan(1)$ .

\arctan(1)=\frac{\pi}{4}

Infatti $\displaystyle { \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 }$ .

Il valore $\displaystyle { \frac{\pi}{4} }$ appartiene all'intervallo principale di arctan.

\lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}

Questi limiti descrivono l'angolo asintotico della tangente inversa. L'espressione arctan di infinito indica il valore limite $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ , non un numero reale infinito.

Esempio — Comportamento per valori grandi

Si considera $\arctan(100)$ .

Il valore è molto vicino a $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ , perché $100$ è molto grande.

Si osserva quindi il comportamento limite della funzione.

Questo giustifica la scrittura $\displaystyle { \arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2} }$ , intesa in senso asintotico.

\sin x = a \iff x = \arcsin(a) + 2k\pi \ \text{oppure} \ x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Questa è la forma generale dell'equazione trigonometrica con seno. Il simbolo $k$ indica un intero. La relazione produce tutte le soluzioni reali.

Esempio — Equazione con arcoseno

Si risolve $\displaystyle { \sin x=\frac{1}{2} }$ .

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{oppure} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}

Si usa $\displaystyle { \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6} }$ , poi si considera anche la soluzione supplementare.

Le due famiglie descrivono tutti gli angoli con seno uguale a $\displaystyle { \frac{1}{2} }$ .

\left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}

Le derivate, cioè i tassi di variazione istantanei, si usano nello studio di funzioni composte e di grafici inversi. In analisi, queste formule sono fondamentali.

Esempio — Valore delle derivate in un punto

Si calcola la derivata di $\arcsin x$ in $x=0$ .

\left(\arcsin x\right)'_{x=0}=\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}=1

Si calcola poi la derivata di $\arctan x$ in $x=1$ .

\left(\arctan x\right)'_{x=1}=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}

I valori ottenuti mostrano che la pendenza della curva varia con l'argomento.

Nel punto $x=0$ l'arcoseno cresce più rapidamente che in $x=1$ , per l'arctan.

Esempi svolti

Esempio 1 — Calcolo di arcsin(1/2)

Si calcoli il valore di arcsin( $1/2$ )

Si cerca l'angolo $x$ tale che $sin(x)$ = $1/2$ .

Il valore principale dell'arcoseno appartiene a $[-\pi/2,\pi/2]$ .

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}

Quindi si ottiene $arcsin(1/2)$ = $\pi/6$ .

Il risultato finale è $\pi/6$ .

Errore comune: scegliere anche l'angolo 5\pi/6, che appartiene alla soluzione della trigonometrica ma non al valore principale di arcsin.

Esempio 2 — Risoluzione di arcsin(x) = \pi/6

Si risolva l'equazione arcsin(x) = $\pi/6$ .

Si usa la definizione di funzione inversa, cioè si applica il seno a entrambi i membri.

L'incognita è $x$ , il metodo è diretto e il dominio richiede $x\in[-1,1]$ .

\sin(\arcsin(x))=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

Si ottiene quindi $x = 1/2$ .

Il risultato finale è $x = 1/2$ .

Errore comune: scrivere arcoseno di \pi/6 invece di applicare il seno al secondo membro.

Esempio 3 — Valore di arccos(-1/2) e uso della simmetria

Si calcoli arccos( $-1/2$ ) e si verifichi la proprietà di simmetria.

Si cerca l'angolo principale in $[0,\pi]$ tale che $cos(x) = -1/2$ .

[IMMAGINE: Cerchio goniometrico con l'angolo 2\pi/3 evidenziato, asse orizzontale, punto corrispondente a cos(x) = -1/2 e intervallo [0,\pi] marcato.]

Poiché $\cos(2\pi/3) = -1/2$ , si ottiene $arccos(-1/2) = 2\pi/3$ .

\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)

Con $x = 1/2$ si ha $arccos(-1/2)=\pi-\arccos(1/2)=\pi-\pi/3=2\pi/3$ .

Errore comune: confondere l'angolo principale con l'angolo supplementare fuori dall'immagine di arccos.

Esempio 4 — Derivata di arcsin(x) in x = 0

Si determini la derivata di arcsin(x) nel punto $x = 0$ .

Si usa la formula della derivata, cioè $(arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$ .

L'incognita non è un valore da trovare, ma il tasso di variazione della funzione nel punto scelto.

(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Valutando in $x = 0$ , si ottiene $1/\sqrt{1-0^2}=1$ .

Il risultato finale è $1$ .

Errore comune: dimenticare che il dominio della derivata richiede |x|<1.

Esempio 5 — Limite di arctan(x) per x che tende a infinito

Si studi il comportamento di arctan(x) per $x\to +\infty$ .

Si cerca il valore asintotico, cioè il limite della funzione per argomento molto grande.

La funzione ha immagine $(-\pi/2,\pi/2)$ , quindi il valore massimo non viene raggiunto.

\lim_{x\to +\infty} \arctan(x)=\frac{\pi}{2}

Per valori crescenti di $x$ , i valori di $arctan(x)$ si avvicinano a $\pi/2$ , senza superarlo.

Il risultato finale è $\pi/2$ .

Errore comune: confondere arctan(x) con 1/tan(x), che è un'altra espressione.

Errori comuni nelle funzioni goniometriche inverse

✗

Pensare che $\sin^{-1}x$ significhi $\displaystyle { \frac{1}{\sin x} }$ .

✓

$\sin^{-1}x$ indica l'\u201carcoseno\u201d inverso del seno, cioè $\arcsin(x)$ ; invece $\displaystyle { \frac{1}{\sin x} }$ si scrive $\csc x$ .

L'errore nasce dalla notazione esponenziale usata in algebra. Nelle funzioni inverse, l'esponente $-1$ indica l'inversa della funzione, non il reciproco del valore.

✗

Credere che il dominio di $\arcsin$ sia tutto $\mathbb{R}$ .

✓

Il dominio di $\arcsin$ è $[-1,1]$ , perché si possono invertire solo valori compresi tra $-1$ e $1$ .

Il seno assume solo valori tra $-1$ e $1$ . Se si inserisce un numero fuori da questo intervallo, l'espressione non è definita nei reali.

✗

Risolvere $\arcsin(x)=a$ scrivendo soltanto $x=\sin a$ .

✓

Se $\arcsin(x)=a$ , allora si deve avere $x=\sin(a)$ e, soprattutto, $\displaystyle { a\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ .

L'arcoseno restituisce un angolo principale, non qualunque soluzione di seno uguale a $x$ . Va controllato anche l'intervallo dell'angolo ottenuto.

✗

Dare per scontato che $\sin x=a$ abbia una sola soluzione.

✓

Le soluzioni sono $x=\arcsin(a)+2k\pi$ oppure $x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi$ , con $k\in\mathbb{Z}$ .

Il seno è periodico e, nello stesso periodo, assume lo stesso valore in due punti diversi. Trascurare la seconda famiglia di soluzioni è un errore molto frequente.

✗

Attribuire a $\arctan(+\infty)$ un valore infinito.

✓

Si usa il limite $\displaystyle { \lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2} }$ , mentre per $x\to -\infty$ il limite è $\displaystyle { -\frac{\pi}{2} }$ .

L'arcotangente ha immagine limitata. Non cresce senza bound, ma si avvicina asintoticamente a $\displaystyle { \pm\frac{\pi}{2} }$ .

✗

Dimenticare che $\arccos(-x)$ non vale $-\arccos(x)$ .

✓

Vale invece $\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)$ .

L'errore nasce da un falso parallelismo con l'arcoseno. L'arccoseno ha immagine in $[0,\pi]$ , quindi il simmetrico va corretto rispetto a $\pi$ .

Domande frequenti

L’arcoseno, cioè la funzione inversa del seno ristretta al suo intervallo principale, restituisce l’angolo il cui seno vale un dato numero.

Per definizione, si indica con arcsin e si ottiene un valore compreso tra $\displaystyle { -\frac{\pi}{2} }$ e $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ .

Il dominio di arcsin è l’intervallo $[-1,1]$ , perché il seno assume solo valori compresi tra -1 e 1.

\arcsin(x) \text{ è definita solo per } x \in [-1,1]

Per esempio, $\displaystyle { arcsin(1)=\frac{\pi}{2} }$ e $arcsin(0)=0$ .

Si risolve imponendo che $x=\sin(a)$ , con la condizione $\displaystyle { a\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ .

\arcsin(x)=a \iff x=\sin(a) \quad \text{con } a\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

Per esempio, se $\displaystyle { a=\frac{\pi}{6} }$ , allora $\displaystyle { x=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} }$ .

Sono cose diverse: $sin^{-1}$ indica l’arcoseno, mentre $1/\sin(x)$ è il reciproco del seno, cioè la funzione cosecante.

La scrittura $sin^{-1}(x)$ non significa $\displaystyle { \frac{1}{\sin(x)} }$ .

\sin^{-1}(x)=\arcsin(x) \neq \frac{1}{\sin(x)}

Per esempio, $\displaystyle { sin^{-1}(\tfrac12)=\arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6} }$ , mentre $\displaystyle { 1/\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2 }$ .

L’arctangente di infinito si interpreta come un limite e vale $\displaystyle { \frac{\pi}{2} }$ .

\lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}

Analogamente, per $x\to -\infty$ , si ha $\displaystyle { \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2} }$ .

L’immagine di arctan è quindi $\displaystyle { \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }$ .

Si restringe il dominio perché seno e coseno non sono iniettive, cioè non associano sempre valori distinti a immagini distinte.

\sin(x_1)=\sin(x_2) \text{ può accadere anche con } x_1\neq x_2

Per esempio, $\sin(0)=\sin(\pi)=0$ , quindi il seno non è invertibile su tutto $\mathbb{R}$ .

Con una restrizione opportuna, si ottiene una funzione inversa ben definita. Per il seno si usa spesso $\displaystyle { \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ .

Sì, l’arcoseno è dispari, cioè il valore della funzione cambia segno quando cambia segno l’argomento.

\arcsin(-x)=-\arcsin(x)

Per esempio, $\displaystyle { \arcsin(-\tfrac12)=-\frac{\pi}{6} }$ , mentre $\displaystyle { \arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6} }$ .

Questa proprietà vale per l’intervallo principale dell’arcoseno. Non va confusa con le soluzioni periodiche delle equazioni goniometriche.

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