La funzione composta, cioè l’applicazione successiva di due funzioni, si ottiene sostituendo all’argomento di una funzione il valore prodotto dall’altra. La funzione inversa, cioè la funzione che annulla l’effetto di una funzione data, esiste solo quando la funzione è invertibile.
| Caso | Condizione | Risultato/Comportamento |
|---|---|---|
| Composizione | appartiene al dominio di e appartiene al dominio di | Si calcola prima , poi |
| Composizione | appartiene al dominio di e appartiene al dominio di | In generale non coincide con |
| Funzione inversa | deve essere invertibile, quindi iniettiva su un dominio adatto | Si ottiene una funzione che annulla l’effetto di |
| Invertibilità | è iniettiva; nei casi studiati, spesso strettamente monotona | A ogni valore di uscita corrisponde un solo ingresso |
| Grafico di | Si scambiano ascisse e ordinate | Il grafico è simmetrico rispetto alla retta |
| Calcolo di | Si pone , si risolve per e si scambiano le variabili | Si ricava l’espressione esplicita dell’inversa |
| Derivata dell’inversa | derivabile e nel punto considerato | , con |
La composizione di funzioni, cioè l’operazione che applica una funzione sul risultato di un’altra, serve a descrivere processi in più fasi.
Si osserva spesso in fisica, in economia e in geometria. Un dato entra in un primo passaggio, poi nel successivo, fino all’uscita finale.
La funzione inversa, cioè la funzione che annulla l’effetto di un’altra, serve invece a tornare al dato di partenza.
In questa sezione si studiano il significato operativo, il dominio, l’ordine di composizione e il metodo per costruire l’inversa.
Si immagina una macchina a due stadi. Il primo trasforma l’ingresso, e il secondo lavora sul risultato ottenuto.
Per questo motivo si definisce la funzione composta come . Prima si applica , poi si applica .
Per esempio, si prendano e . Allora .
Lo stesso calcolo, scritto in modo completo, dà: prima , poi . Il risultato finale è .
Il dominio della composta non coincide sempre con quello di entrambe le funzioni. Si devono rispettare due controlli in sequenza.
Si parte dai valori ammessi per . Poi si conserva solo ciò che produce un valore ammesso anche per .
Per esempio, si considerino e .
Si ha , quindi . Inoltre serve , quindi .
Il dominio della composta risulta dunque . Per esempio, con , si ottiene e .
La composizione non è commutativa, cioè non cambia in generale se si scambia l’ordine delle funzioni.
Questo accade perché il secondo passaggio riceve un valore già trasformato. Cambiando l’ordine, cambia anche il significato del calcolo.
Per esempio, si prendano e .
Si calcola ; invece . I risultati sono diversi.
L’ordine conta perché prima si modifica l’ingresso con una funzione, poi si applica l’altra al nuovo valore ottenuto.
La funzione inversa è il procedimento che riporta indietro il valore prodotto da una funzione.
Si può pensare a un’operazione di annullamento. Se una funzione sposta un punto, la sua inversa lo riporta alla posizione iniziale.
Formalmente, una funzione è inversa di se vale .
Per esempio, se , allora si cerca una regola che tolga prima il 3 e poi divida per 2.
Si ottiene . Infatti .
Una funzione è invertibile, cioè possiede una funzione inversa, quando ogni valore di uscita corrisponde a uno e un solo valore di ingresso.
In pratica, la funzione deve essere iniettiva, cioè deve associare uscite diverse a ingressi diversi.
Per esempio, se , allora valori diversi di danno valori diversi di . La funzione è invertibile.
Se invece su tutto , allora . In questo caso l’inversa non esiste su tutto il dominio reale.
Per le funzioni studiate a scuola, la monotonia stretta, cioè il crescere o il decrescere senza inversioni, garantisce l’invertibilità.
Il metodo nasce da un’idea semplice. Si scrive l’equazione e si scambiano i ruoli di e .
Poi si risolve la nuova equazione per ottenere . La formula finale è la funzione inversa.
Per esempio, si consideri . Si pone .
Si scambiano le variabili: . Poi si risolve: , quindi .
Si ottiene così . La verifica dà .
[IMMAGINE: Diagramma con due assi cartesiani affiancati. A sinistra il grafico di f e a destra quello di f⁻¹, simmetrici rispetto alla retta y = x. Etichette visibili: punti A(x, f(x)) e A'(f(x), x), retta y = x, frecce di riflessione.]
Il grafico dell’inversa si ottiene riflettendo quello di rispetto alla retta . Ogni punto scambia le coordinate con il suo corrispondente.
Questo fatto spiega anche perché il dominio e il codominio si scambiano. I valori in ingresso della funzione diventano valori in uscita dell’inversa.
Per esempio, se , allora sull’inversa vale .
La derivata dell’inversa descrive la rapidità con cui l’inversa cambia al variare dell’ingresso.
La relazione nasce dal fatto che le due funzioni si annullano a vicenda. Derivando l’identità si ottiene una formula utile.
Da questa identità segue la forma più nota: , dove .
Per esempio, se , allora . Nel punto , si ha .
Poiché , risulta .
Questa formula è utile quando si conosce la derivata di e si vuole studiare l’inversa senza ricostruirla ogni volta da zero.
La composizione e l’inversa sono due idee complementari. La prima costruisce un percorso a tappe, la seconda lo percorre all’indietro.
La composizione di funzioni, cioè l'operazione che applica prima una funzione e poi l'altra, si legge da destra verso sinistra.
Si parte da , si calcola , poi si inserisce il risultato in .
Si considerino e .
Per si ottiene .
Prima si aggiunge 1, poi si eleva al quadrato.
Il dominio, cioè l'insieme dei valori ammessi per la variabile, si ottiene imponendo due controlli.
Si considerino e .
Serve , quindi .
Il dominio è dunque .
La non commutatività, cioè il fatto che l'ordine conta, è una proprietà tipica della composizione.
Se si scambiano le funzioni, il risultato può cambiare valore o dominio.
Si prendano e .
Per si ottiene nel primo caso e nel secondo.
Le due composizioni non coincidono.
La funzione inversa, cioè la funzione che annulla l'effetto di , riporta al valore iniziale.
L'inversa esiste solo se è iniettiva, cioè assume valori diversi per argomenti diversi.
Si consideri .
Si verifica che .
La composizione con l'inversa restituisce l'argomento iniziale.
La monotonia stretta, cioè crescita o decrescita sempre nello stesso verso, garantisce l'iniettività su un intervallo.
Per funzioni definite su intervalli, la monotonia stretta è una condizione pratica molto usata per riconoscere l'invertibilità.
Si consideri su .
Per si ha .
La funzione cubica è strettamente crescente, quindi è invertibile.
Per trovare l'inversa, cioè la funzione che scambia ingresso e uscita, si risolvono i ruoli di e .
Dopo aver isolato , si ottiene la legge dell'inversa.
Si parta da .
Si ottiene quindi .
La verifica finale consiste nel comporre le due funzioni e ottenere .
La derivata dell'inversa, cioè il tasso di variazione della funzione inversa, è il reciproco della derivata della funzione originaria.
Il rapporto vale nei punti corrispondenti, con , e richiede .
Si consideri con .
Per si ha .
Il risultato coincide con il reciproco della derivata di nel punto corrispondente.
Calcolare sapendo che e .
Si cercano i dati delle due funzioni e si identifica l'ordine di composizione. Prima si applica f.
La composizione si definisce con la sostituzione di dentro .
Si sviluppa il quadrato e si semplifica.
Il risultato finale è .
Errore comune: invertire l'ordine e calcolare prima g.
Determinare il dominio di con e .
Si studiano i vincoli di definizione. La radice esiste solo se l'argomento è non negativo.
Si impone prima che f.
Si ottiene oppure .
Il dominio è .
Errore comune: usare solo il dominio di f.
Trovare la funzione inversa di .
Si verifica che la funzione è lineare con coefficiente angolare diverso da zero. Quindi è invertibile.
Si scrive l'equazione e si risolve rispetto a .
Scambiando le variabili si ottiene .
Si controlla la composizione. deve restituire la variabile iniziale.
Il risultato finale è .
Errore comune: non scambiare y alla fine.
Studiare se è invertibile su e confrontare con per .
[IMMAGINE: Grafico della parabola y=x^2 e della retta y=x sullo stesso piano cartesiano, con evidenza della simmetria assente su tutto R e delle composizioni f∘g e g∘f annotate.]
Si osserva che , perché valori diversi possono dare la stessa immagine.
Per esempio, e .
Quindi la funzione non è invertibile su tutto .
Si vede che le due composizioni sono diverse, quindi la composizione non è commutativa in generale.
Errore comune: credere che per ogni coppia di funzioni.
Il risultato finale è che e le composizioni differiscono.
Errore comune: dimenticare che l'invertibilità richiede iniettività.
Pensare che .
Si scrive . Prima si applica , poi .
L’ordine è decisivo nella composizione di funzioni, cioè nell’applicazione successiva di due regole. Lo scambio cambia, in generale, il risultato finale.
Calcolare la composta senza controllare il dominio di e di .
Si impone che appartenga al dominio di e che appartenga al dominio di .
Il valore intermedio deve essere ammesso anche dalla seconda funzione. Se questo controllo manca, si ottiene una formula non valida per alcuni valori di .
Credere che una funzione inversa esista sempre per ogni funzione.
Una funzione ha inversa solo se è invertibile, cioè se è iniettiva su un dominio opportuno.
L’invertibilità, cioè la possibilità di ricostruire univocamente l’input, richiede che valori diversi di partenza diano valori diversi in uscita. In molti casi serve anche restringere il dominio.
Confondere l’inversa con il reciproco e scrivere, per esempio, .
L’inversa è la funzione che annulla l’effetto di , mentre il reciproco è solo il numero .
Le due idee sono diverse. L’inversa soddisfa , quindi “annulla” la trasformazione, non prende il reciproco dei valori.
Dimenticare di scambiare e quando si trova l’inversa da .
Si scrive , poi si scambiano e , e infine si risolve per .
Questo passaggio serve a isolare la nuova legge della funzione inversa. Senza lo scambio si rischia di ottenere ancora la funzione iniziale, non la sua inversa.
Pensare che ogni funzione monotona abbia inversa su qualsiasi insieme di partenza.
Si verifica che la funzione sia strettamente monotona nel dominio considerato, così risulta iniettiva e quindi invertibile.
La monotonia stretta, cioè crescenza o decrescenza senza tratti costanti, garantisce l’unicità dei valori di uscita. Se il dominio non è adatto, la funzione può non essere invertibile.
La funzione composta è una funzione ottenuta applicando prima una funzione e poi un'altra. Si scrive con il simbolo e indica l'esecuzione in due passaggi.
Si calcola sostituendo al posto di dentro . Prima si applica , poi si applica .
La funzione inversa è la funzione che annulla l'effetto della funzione di partenza. Si indica con e restituisce l'input iniziale.
Una funzione è invertibile quando è iniettiva, cioè quando a valori diversi di ingresso corrispondono valori diversi di uscita. In molte situazioni scolastiche basta che sia strettamente monotona.
Si trova scambiando e , poi si risolve l'equazione ottenuta rispetto a .
No, in generale la composizione non è commutativa. Spesso e danno risultati diversi.
Il grafico della funzione inversa si ottiene riflettendo quello di rispetto alla retta . I punti si scambiano di posto tra ascissa e ordinata.
