Una frazione algebrica, cioè un rapporto tra due polinomi, si scrive come . È definita solo per i valori di che non annullano il denominatore.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Frazione algebrica, cioè rapporto tra due polinomi. | Definita solo se . | |
| Condizioni di esistenza | Valori di che non annullano il denominatore. | Si escludono le soluzioni di . |
| Semplificazione | Scomposizione in fattori e cancellazione di fattori comuni. | Si cancellano solo fattori, non termini sommati. |
| MCD tra polinomi | Massimo comune divisore, cioè il polinomio comune di grado massimo. | Serve per somma e per il denominatore comune minimo. |
| Somma e differenza | Si usa il denominatore comune. | Si portano le frazioni allo stesso denominatore prima di sommare i numeratori. |
| Prodotto | Si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro. | Si può semplificare prima o dopo la moltiplicazione. |
| Quoziente | Si moltiplica per il reciproco della seconda frazione. | La seconda frazione deve essere diversa da zero. |
| Equazione fratta | Si elimina il denominatore moltiplicando per il m.c.m. dei denominatori. | Le soluzioni trovate vanno sempre verificate nelle C.E. |
Una frazione algebrica, cioè un rapporto tra due polinomi, serve a descrivere quantità ottenute dividendo un’espressione algebrica per un’altra.
Si scrive e si legge come un quoziente. Per esempio, con e , si ottiene .
La presenza del denominatore impone una regola fondamentale. Si può dividere solo quando il denominatore non è nullo.
Per esempio, se , allora bisogna imporre e quindi . In , la frazione non ha significato numerico.
Questa regola prende il nome di condizione di esistenza, cioè l’insieme dei valori di per cui la frazione è definita.
Per esempio, nella frazione , il denominatore si annulla per e per . Le condizioni di esistenza sono quindi e .
[IMMAGINE: Schema con numeratore e denominatore di una frazione algebrica. Il numeratore A(x) è sopra una linea orizzontale, il denominatore B(x) sotto. Evidenziare con colore rosso i valori di x che annullano B(x). Inserire etichette: A(x), B(x), condizione B(x) ≠ 0, valori esclusi.]
La semplificazione, cioè la riduzione di una frazione eliminando fattori uguali sopra e sotto, rende l’espressione più semplice da studiare.
Si procede scomponendo numeratore e denominatore in fattori. Solo i si possono cancellare, non i termini sommati.
Per esempio, si consideri . Si scompone il numeratore in . Poi si elimina il fattore comune .
Nel punto la frazione iniziale non era definita. Perciò la semplificazione non cambia il dominio, cioè i valori ammessi restano gli stessi.
Si può usare anche il MCD tra polinomi, cioè il massimo comune divisore dei fattori di numeratore e denominatore, per individuare il fattore massimo da cancellare.
Per esempio, con , si scompone: e .
Si ottiene quindi una forma più compatta. La condizione di esistenza rimane .
Le operazioni con frazioni algebriche seguono la stessa idea delle frazioni numeriche. Si cercano prima denominatori compatibili.
Nella somma, cioè l’addizione di due frazioni, il denominatore comune si costruisce con il o, più precisamente, con un denominatore comune opportuno.
Per esempio, con , il denominatore comune è .
In questo caso si osserva che le condizioni di esistenza sono e .
Nel prodotto, cioè la moltiplicazione di due frazioni, si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro.
Per esempio, diventa, dopo la semplificazione, .
Nel quoziente, cioè la divisione tra frazioni, si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda.
Per esempio, diventa . Il risultato è .
Per esempio, il prodotto precedente richiede anche e . Questi valori si escludono perché annullano i denominatori iniziali.
Un’equazione fratta, cioè un’equazione che contiene frazioni algebriche, si risolve eliminando i denominatori con un multiplo comune.
L’idea è pratica: si trasforma il problema in un’equazione senza frazioni. Poi si controlla ogni soluzione ottenuta.
Per esempio, si consideri . Il denominatore impone .
La soluzione trovata è . Si verifica sostituendo nell’equazione iniziale, e il denominatore non si annulla.
In un caso più ricco, come , si moltiplica tutto per .
Le soluzioni si ottengono con la formula risolutiva e poi si controllano con le condizioni di esistenza. I valori e restano esclusi fin dall’inizio.
Si risolve l’equazione .
Si impone prima la condizione di esistenza: .
La soluzione è accettata perché non viola la condizione di esistenza.
Le frazioni algebriche si leggono quindi come strumenti per lavorare con rapporti tra espressioni. La chiave è sempre la stessa: scomporre, semplificare e controllare il dominio.
Una frazione algebricaè un rapporto, cioè una divisione tra due polinomi.
Qui è il numeratore, cioè il polinomio sopra la linea di frazione, mentre è il denominatore, cioè il polinomio sotto la linea di frazione.
La condizione di esistenza, cioè la regola che indica quando la frazione ha senso, è che il denominatore sia diverso da zero.
Si osserva che il denominatore non può annullarsi, perché la divisione per zero non è definita.
Si consideri la frazione .
Si impone , quindi .
La frazione è definita per tutti i valori reali tranne .
La semplificazione, cioè la riduzione di una frazione a una forma più semplice, si ottiene scomponendo numeratore e denominatore in fattori.
Si cancella un fattore comune non nullo , non un termine addizionato.
È importante notare che si può semplificare solo tra fattori, non tra addendi.
Si consideri .
Si scompone il numeratore: .
Si ottiene , con .
La somma di frazioni algebriche, cioè l'addizione di due o più rapporti polinomiali, richiede un denominatore comune.
In pratica si cerca il m.c.m., cioè il minimo comune multiplo dei denominatori, per scrivere le frazioni con lo stesso denominatore.
Si calcoli .
Il denominatore comune è .
Le condizioni di esistenza sono e .
Il prodotto, cioè la moltiplicazione tra frazioni algebriche, si esegue moltiplicando numeratori e denominatori.
Il quoziente, cioè la divisione tra frazioni algebriche, si trasforma nel prodotto per il reciproco.
Il reciproco, cioè la frazione capovolta, esiste solo se il numeratore della seconda frazione è diverso da zero.
Si consideri .
Si moltiplica e si semplifica: , con .
Nel quoziente si deve anche imporre che la seconda frazione non sia nulla.
Nelle equazioni fratte, cioè equazioni che contengono frazioni algebriche, si moltiplica per il denominatore comune e poi si controllano le soluzioni.
Il procedimento elimina i denominatori, ma può introdurre soluzioni estranee.
Per questo si verificano sempre le soluzioni ottenute nel dominio iniziale.
Si risolva .
La condizione di esistenza è .
Si ottiene , quindi .
La soluzione è accettata, perché rispetta la condizione .
Semplificare la frazione algebrica individuando i fattori comuni.
Si tratta di una frazione algebrica, cioè un rapporto tra due polinomi. Si cerca una scomposizione per fattori.
Il numeratore si scompone come . Il denominatore si scompone come .
Si cancella il fattore comune , che compare sia al numeratore sia al denominatore.
Con si ottiene .
Il risultato finale è , con condizioni di esistenza e .
Errore comune: cancellare termini che si sommano o si sottraggono, invece di cancellare solo fattori.
Calcolare trovando il denominatore comune.
Le frazioni hanno denominatori diversi. Si cerca il MCD, cioè il minimo comune denominatore, tra e .
Il denominatore comune è . Si riscrive ogni frazione con questo denominatore.
Si sommano i numeratori e si conserva il denominatore comune.
Per si ottiene .
Il risultato finale è con condizioni di esistenza e .
Errore comune: sommare i denominatori invece dei numeratori dopo aver trovato il comune denominatore.
Calcolare e poi dividere per .
Si fattorizza il numeratore . L'obiettivo è semplificare prima di moltiplicare.
Il prodotto diventa .
Il quoziente si trasforma in un prodotto per il reciproco.
Con si ottiene , coerente con .
Il risultato finale è , con , e .
Errore comune: dimenticare che nel quoziente si moltiplica per il reciproco della seconda frazione.
Risolvere l'equazione e controllare le soluzioni trovate.
Si tratta di un'equazione fratta, cioè un'equazione con l'incognita al denominatore. Si devono imporre le condizioni di esistenza.
La condizione di esistenza è . Si moltiplicano entrambi i membri per il denominatore comune .
Si sviluppa il secondo membro e si portano i termini con da una parte.
Si verifica la soluzione trovata nella condizione di esistenza. Poiché , la soluzione è accettata.
Il risultato finale è .La soluzione è valida perché rispetta le condizioni di esistenza.
Scrivere che una frazione algebrica è solo una divisione tra numeri.
Una frazione algebrica è il rapporto tra due polinomi, cioè espressioni con variabile e coefficienti.
L’errore nasce dal confondere il caso numerico con quello letterale. Si deve riconoscere che al numeratore e al denominatore compaiono polinomi, non soli numeri.
Semplificare cancellando la con il termine del numeratore.
Si possono cancellare solo fattori comuni, non termini separati di una somma.
La cancellazione è lecita solo dopo la scomposizione in fattori. Per esempio, si riduce a con .
Sommare facendo .
Si trova il denominatore comune, cioè il minimo comune multiplo dei denominatori, e si riscrive ogni frazione con quello stesso denominatore.
Le frazioni algebriche si sommano come le frazioni numeriche. Si deve prima costruire un denominatore comune, poi sommare solo i numeratori.
Dire che è definita per ogni valore di .
La frazione algebrica non è definita per i valori che annullano il denominatore, quindi qui si esclude .
Il denominatore non può mai essere zero. Si controlla sempre l’espressione sotto la linea di frazione prima di usare o semplificare la frazione.
Scrivere le condizioni di esistenza solo alla fine, dopo tutti i calcoli.
Le condizioni di esistenza si determinano subito, ponendo il denominatore diverso da zero.
Se si dimenticano le condizioni iniziali, si possono accettare valori impossibili. È utile scrivere le esclusioni prima di operare con la frazione.
Nelle equazioni fratte moltiplicare per il denominatore e basta, senza controllare le soluzioni ottenute.
Si moltiplica per il MCD dei denominatori, cioè il minimo comune multiplo, e poi si verifica ogni soluzione.
La moltiplicazione elimina i denominatori, ma può introdurre soluzioni estranee. Il controllo finale serve a conservare solo le soluzioni compatibili con le condizioni di esistenza.
Una frazione algebrica è il rapporto tra due polinomi, cioè due espressioni algebriche con le variabili elevate a esponenti interi non negativi.
Si semplifica scomponendo numeratore e denominatore in fattori e cancellando i fattori comuni, ma solo se sono moltiplicazioni, non somme.
Si sommano trovando un denominatore comune, spesso il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il polinomio più semplice divisibile per tutti.
Una frazione algebrica non è definita quando il denominatore vale zero, perché la divisione per zero non ha significato.
Le condizioni di esistenza si trovano imponendo che il denominatore sia diverso da zero e risolvendo l'inequazione ottenuta.
Nel prodotto si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro; nel quoziente si moltiplica per il reciproco della seconda frazione.
Si moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori per eliminare le frazioni, ma poi si devono controllare le soluzioni ottenute.
Le soluzioni estranee possono comparire, quindi ogni soluzione va verificata nelle condizioni iniziali.
