Frazioni

Cos'è una frazione?

Per spiegare cosa sia una frazione, raccontiamo una storiella comunemente usata:

E' il compleanno di un vostro amico. Avete giocato per ore ed adesso è arrivato il momento di soffiare le candeline. Il vostro amico soffia e voi applaudite e gli fate gli auguri. Ora volete mangiare la torta. La torta però è solo una, non potete dare un'intera torta a testa. Come fate allora? Tagliate la torta. Cioè la dividete in parti più piccole per darne una ad ognuno.

Poniamo che oltre a te e al festeggiato ci siano altri due vostri amici. Se volete che ognuno di voi quattro mangi la stessa quantità di torta, dovete dividerla in quattro parti uguali, come nella figura:

Ognuno di voi ora non ha un'intera torta, ma solo un pezzo. Avete solo un quarto della torta. Cioè avete diviso $1$ per $4$ .

Però non usiamo la notazione con i due punti, ma mettiamo il numero che stiamo dividendo, sotto di esso disegnamo una linietta e sotto ancora scriviamo il numero di parti in cui lo abbiamo diviso. Quindi ognuno di voi avrà ${1\over 4}$ della torta.

Se invece eravate in $5,$ avrete diviso la torta in $5$ parti uguali, come nella figura:

Quindi ognuno di voi avrebbe avuto ${1\over 5}$ della torta.

Poniamo che scopriate solo dopo aver tagliato la torta che uno dei vostri amici è intollerante al lattosio. Non può dunque mangiare la torta, quindi decidete di dare la fetta extra al festeggiato. Adesso quindi lui non avrà più solo ${1\over 5}$ della torta, ma, avendo $2$ fette, avrà ${2\over 5}$ della torta. I suoi pezzetti sono evidenziati nella seguente figura.

Quindi, per indicare una frazione, dovete mettere il numero di parti che avete, poi mettete un trattino e infine il numero di parti in cui è stata divisa. Proponiamo di seguito qualche altro esempio per chiarire il concetto.

Se taglio una mela in $4$ spicchi ma ne mangio solo $3,$ allora ho mangiato $3\over 4$ della mela.

Se ci sono $10$ cioccolatini sul tavolo e ne prendo $3,$ ho preso $3\over 10$ del numero di cioccolatini.

Diamo ora dei nomi alle varie parti di una frazione:

Il numero che sta sopra il trattino (cioè il numero di parti che ho) è detto numeratore .

Quello che invece si trova sotto (cioè il numero di parti in cui ho diviso l' $1$ ) si chiama denominatore .

Il trattino ha un nome specifico: si chiama linea di frazione .

Nella frazione ${5\over 7},$ dunque, il numeratore è $5$ e il denominatore è $7.$

Ora notiamo una cosa interessante: se prendo una pizza e la taglio in $10$ fette e ne prendo $5,$ avrò preso $5\over 10$ della pizza. Ma se guardiamo la figura qui sotto, notiamo che abbiamo preso esattamente metà pizza:

Quindi alcune frazioni sono uguali? Proprio così. Se io moltiplico o divido il numeratore e il denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero, la frazione rimane la stessa, non cambia.

Infatti, se prendo ${5\over 10}$ e divido il numeratore e il denominatore per $5,$ ottengo proprio ${1\over 2}.$

Come fa a funzionare? Questo succede perché se io aumento il numeratore, prendo più parti, ma se aumento il denominatore rendo ogni parte più piccola e quindi si compensano a vicenda. Ricordate però che potete solo moltiplicare o dividere, se sommate o sottraete cambiate la frazione.

Ricordandoci che una frazione non è altro che una divisione tra il numeratore e il denominatore, quello che abbiamo fatto è semplicemente stato applicare la proprietà invariantiva della divisione.

Vediamo ora le differenze tra frazioni proprie, frazioni improprie e frazioni apparenti.

Le frazioni proprie sono come gli esempi che abbiamo visto finora, dove il numeratore è più piccolo del denominatore.

Se invece il numeratore è più grande del denominatore, allora si dice che la frazione è impropria .

Che significa? Significa che io ho un'intero più qualche altro pezzetto. Per esempio, se ho ${3\over 2}$ pizze, significa che ho una pizza intera più mezza pizza:

Mentre si dice frazione apparente una frazione il cui numeratore è un multiplo del denominatore.

Perché sono chiamate apparenti? Perchè appaiono, cioè sembrano, delle frazioni, ma in realtà sono numeri interi. Se infatti ho ${4\over 2}$ pizze, siccome posso dividere numeratore e denominatore per $2,$ è la stessa cosa di avere $2\over 1$ pizze, cioè $2$ pizze. Quindi sì, ho diviso le pizze in più parti, ma ce l'ho tutte io:

Infine, il reciproco di una frazione è la frazione capovolta. Cioè scambio il numeratore con il denominatore. Quindi il reciproco di ${2\over 3}$ è ${3\over 2},$ mentre quello di ${7\over 12}$ è ${12\over 7}.$ Ricordatevi del reciproco perché ci servirà per fare la divisione fra frazioni tra poco.

Vediamo ora come si fanno le operazioni con le frazioni:

Operazioni con frazioni

Come abbiamo visto prima, se un vostro amico non poteva mangiare più la torta e davate due fette al vostro amico, egli aveva $2\over 5$ della torta.

Questo vuol dire che se prendo $1\over 5$ e gli sommo $1\over 5$ ottengo ${2\over 5},$ cioè:

${1\over 5}+ {1\over 5} = {2\over 5 }$

Poniamo adesso che un vostro amico debba tornare di corsa a casa e che dunque non mangi la sua fetta. Tu non la vuoi e nemmeno l'altro vostro amico la vuole, dunque date anche quest'altra al festeggiato. Ora lui ha $3$ fette della torta e, come si vede nella figura qui sotto, avrà ${3\over 5}$ della torta:

Quindi prima aveva ${2\over 5},$ gli abbiamo sommato ${1\over 5}$ ed abbiamo ottenuto ${3\over 5}:$

${2\over 5}+ {1\over 5} = {3\over 5}$

Ma non sarà mica che per sommare frazioni con lo stesso denominatore bisogna solo sommare i numeratori? Eh già, è proprio così! Quindi, se devo fare, per esempio, ${3\over7} + {2\over 7},$ farà ${5\over 7},$ facile no?

Vediamo qualche altro esempio di somma delle frazioni con lo stesso denominatore:

${4\over 7} + {2\over 7} = {6\over 7}$

${1\over 3} + {1\over 3} = {2\over 3}$

${2\over 10} + {5\over 10} = {7\over 10}$

Però potrebbe succedere che volete sommare due frazioni che non hanno lo stesso denominatore. Là le cose si fanno più complicate, ma tranquilli, ora vi spiegheremo come fare:

Poniamo di voler calcolare quanto fa ${1\over 6} + {1\over 9}.$ Come fare?

Arrivati a questo punto dobbiamo ragionare: noi, finora, cosa sappiamo fare? Sappiamo sommare due frazioni che hanno lo stesso denominatore. Come posso ricondurre il mio problema al caso che già conosco?

Noi sappiamo pure che moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero non cambia niente. Allora potrei usare questo fatto per portare le frazioni allo stesso denominatore e poi sommarle!

Vediamo più dettagliatamente cosa intendo:

Io prendo ${1\over 9},$ e so che posso moltiplicare il numeratore e il denominatore per $2$ senza cambiare la frazione. Dunque devo avere:

${1\over 9} = {2\over 18}$

Poi prendo ${1\over 6}$ e moltiplico il numeratore e il denominatore per $3,$ scoprendo che:

${1\over 6} = {3\over 18}$

Quindi, per fare ${1\over 6} + {1\over 9},$ posso scrivere ${3\over 18}$ al posto di ${1\over 6}$ e scrivere ${2\over 18}$ al posto di ${1\over 9}.$ Così facendo scopro che:

${1\over 6} + {1\over 9} = {3\over 18} + {2\over 18}$

Ed ora ho due frazioni con lo stesso denominatore che so come sommare! Quindi il risultato sarà ${5\over 18}.$

Ok, però potreste obbiettare che quel $3$ e quel $2$ per cui ho moltiplicato li ho tirati fuori dal niente, non vi ho spiegato perché usando quelli funziona.

Come ho fatto a scoprire che erano quelli i due numeri? Dovete notare che il denominatore a cui vogliamo arrivare è il minimo comune multiplo dei denominatori delle due frazioni (infatti $mcm(6,9) = 18$ ). Una volta trovato, ti basta trovare per quale numero devi moltiplicare il denominatore per arrivarci. Quindi nel caso di ${1\over 6},$ devo notare che $6\times 3 = 18$ e dunque moltiplicherò per $3,$ mentre nel caso di ${1\over 9}$ noto che $9\times 2 = 18,$ dunque è $2$ il nostro numero.

Se non riuscite a trovare ad occhio il numero per cui moltiplicare, potete dividere l'mcm per il denominatore per trovarlo ( $18:6 =3$ e $18:9 = 2$ ).

Vediamo qualche altro esempio: calcoliamo ${1\over 7} + {1\over 5}.$

L'mcm di $7$ e $5$ è $35$ . Quindi otterrò:

${1\over 7} + {1\over 5} = {5\over 35} + {7\over 35} = {12\over 35}$

Se invece voglio fare ${1\over 4} + {1\over 2},$ noto che l'mcm è $4$ ed ottengo:

${1\over 4} + {1\over 2} = {1\over 4} + {2\over 4} = {3\over 4}$

Se invece di sommare sto sottraendo, il procedimento è lo stesso, solo che alla fine invece di sommare i due numeratori, li sottrarò. Quindi, ad esempio, se voglio calcolare ${1\over 2} - {1\over 3},$ otterrò:

${1\over 2} - {1\over 3} = {3\over 6} - {2\over 6} = {1\over 6}$

Ora siamo pronti per studiare la moltiplicazione tra frazioni:

Poniamo di aver diviso una pizza in tre fette e noi prendiamo solo una fetta:

Avremo ${1\over 3}$ della pizza.

Adesso, prendiamo solo ${1\over 3}$ della nostra fetta. Per farlo la dividiamo in tre parti uguali e ne prendiamo solo una:

Se dividiamo pure le altre fette in tre, notiamo facilmente che quello che ci rimane è solo ${1\over 9}$ della pizza:

Dunque abbiamo preso ${1\over 3}$ di ${1\over 3},$ cioè abbiamo fatto ${1\over 3}\times {1\over 3}$ ed abbiamo ottenuto ${1\over 9}.$ Cioè:

${1\over 3}\times {1\over 3} = {1\over 9}$

Se torniamo a quando avevamo un terzo della pizza e questa volta prendiamo ${2\over 3}$ della nostra fetta, cioè la dividiamo in tre parti e ne prendiamo due, notiamo facilmente che avremo ${2\over 9}$ della pizza:

Quindi abbiamo ottenuto che:

${1\over 3}\times {2\over 3} = {2\over 9}$

Ma non sarà mica che basta moltiplicare i due denominatori e i due numeratori? Sì, è proprio così!

Quindi se ho ${2\over 7}\times {3\over 5}$ il risultato sarà ${6\over 35}.$

Ecco di seguito qualche altro esempio:

${1\over 2}\times {3\over 4} = {3\over 8}$

${5\over 9} \times {2\over 3} = {10\over 27}$

${13\over 2}\times {3\over 11} = {39\over 22}$

Ok, però ci sta un trucchetto che è fondamentale che voi impariate! Quando avete moltiplicazioni fra frazioni, nella maggior parte dei casi, potete semplificare alcune cose. In questo modo i numeri diventeranno molto più piccoli e sarà più facile fare i calcoli:

Innanzitutto, prima di moltiplicare, riducete le frazioni ai minimi termini. Che significa?

Una frazione è detta ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore non hanno nessun divisore in comune (tranne $1,$ che divide tutti i numeri).

Quindi, ${2\over 3}$ è ridotta ai minimi termini, mentre ${4\over 8}$ non lo è, perché sono entrambi divisibili per $4.$

Per ridurla ai minimi termini, devo sfruttare il fatto che posso dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero, che in questo caso sarà proprio il loro divisore comune.

Quindi ${4\over 8},$ dividendo numeratore e denominatore per $4,$ la trasformo in ${1\over 2}$ che adesso è ridotto ai minimi termini.

Riducendo le frazioni rendo i numeri con cui lavoro molto più piccoli.

Ma non è finita qui! C'è un altro trucchetto utilissimo: quando moltiplico due frazioni, possso semplificare lungo le linee della $\times .$ Che significa? Tranquilli, può suonare complicato ma è semplice, ora vedrete un esempio e lo capirete subito:

Calcoliamo ${2\over 3} \times {9\over 16}.$ Le frazioni sono ridotte ai minimi termini, ma ancora non ci conviene moltiplichiamo perché possiamo semplificare ulteriormente.

La prima linea della $\times$ è quella che va dal $3$ in basso a sinistra al $9$ in alto a destra:

Quindi possiamo semplificare il $3$ e il $9.$ Entrambi sono divisibili per $3,$ quindi dividiamoli per esso. Quando lo facciamo, tracciamo una sbarra obliqua sul vecchio numero e scriviamo accanto in piccolo il risultato della divisione:

E adesso guardiamo all'altra linea della $\times :$

Anche qui, possiamo dividere entrambi i numeri per $2,$ ottenendo:

Adesso riscriviamo i nuovi numeri che abbiamo ottenuto al posto di quelli vecchi:

E adesso moltiplichiamo, ottenendo ${3\over 8}.$ Visto come i numeri sono usciti molto più piccoli? Altrimenti avreste dovuto fare $2\times 9$ e $3\times 16.$

Quindi possiamo semplificare in verticale le singole frazioni e poi in obliquo lungo le linee della $\times ,$ ma mi raccomando, non si può semplificare in orizzontale! In orizzontale si moltiplica soltanto.

Ricordate: verticale e obliquo divido, orizzontale moltiplico.

Vediamo quindi la divisione tra frazioni.

In realtà è piuttosto semplice, infatti basta moltiplicare per il reciproco.

Quindi, se devo fare ${6\over 5} : {7\over 5},$ è uguale a fare ${6\over 5} \times {5\over 7},$ che, semplificando, fa ${6\over 7}.$

Infine, vediamo la potenza di una frazione.

Anche questa è abbastanza facile, infatti basta fare la potenza del numeratore e del denominatore. Quindi, per esempio :

$\left({2\over 3}\right)^2 = {2^2 \over 3^2} = {4\over 9}$

E anche:

$\left({3\over 5}\right)^3 = {3^3 \over 5^3} = {27\over 125}$

Quindi per questa lezione è tutto, se avete letto tutto quanto ed ora siete arrivati fino a qua, siete dei campioni e riuscirete a risolvere qualsiasi problema con le frazioni. Se volete studiare le espressioni con le frazioni, cliccate qui.