cosa sono le formule di Werner

Le formule di Werner sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni valore degli angoli, che trasformano un prodotto in una somma. Per esempio, con \alpha=60^\circ e \beta=30^\circ, si ottiene \sin60^\circ\cos30^\circ=\frac12[\sin90^\circ+\sin30^\circ], quindi il prodotto diventa una somma più semplice da gestire.

cosa sono le formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni valore degli angoli, che trasformano una somma in un prodotto. Per esempio, con \alpha=50^\circ e \beta=10^\circ, si scrive \sin50^\circ+\sin10^\circ=2\sin30^\circ\cos20^\circ. La somma iniziale diventa un prodotto.

differenza tra formule di Werner e prostaferesi

La differenza è la direzione della trasformazione.Le formule di Werner passano da prodotto a somma, mentre le formule di prostaferesi passano da somma a prodotto. Per esempio, il primo tipo aiuta quando compare un prodotto di seni e coseni. Il secondo tipo aiuta quando compare una somma di seni o coseni.

le formule di Werner valgono anche per cos\alpha cos\beta e sin\alpha sin\beta

Sì, esistono formule di Werner anche per questi casi, e completano la tabella delle trasformazioni prodotto-somma. Per esempio, con \alpha=40^\circ e \beta=20^\circ, si ottiene una somma di coseni, quindi un prodotto iniziale viene separato in termini più semplici.

Formule di Werner e prostaferesi

Prodotto e somma trigonometrici

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Concetto chiave

Formule di Werner e prostaferesi

Le formule di Werner trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma. Le formule di prostaferesi trasformano una somma o differenza di seni e coseni in un prodotto.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]

✓Werner: prodotto in somma, utile per semplificare espressioni e integrali.
✓Prostaferesi: somma in prodotto, utile per fattorizzare e confrontare ampiezze.
✓Combinazioni: esistono formule per $\sin\sin$ , $\cos\cos$ , $\sin\cos$ e $\cos\sin$ .
✓Derivazione: si ottengono dalle formule di addizione di seno e coseno.
✓Applicazioni: si usano anche nei battimenti in acustica.

Formule di Werner e di prostaferesi

Formula/Proprietà	Significato	Condizioni/Note
$\sin\alpha\,\cos\beta=\frac12\big[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big]$	Formula di Werner: trasforma un prodotto in una somma.	Valida per ogni $\alpha,\beta$ reali.
$\cos\alpha\,\sin\beta=\frac12\big[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\big]$	Formula di Werner con i fattori scambiati.	La differenza dei seni cambia segno.
$\cos\alpha\,\cos\beta=\frac12\big[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\big]$	Prodotto di coseni in somma di coseni.	Utile nelle semplificazioni algebriche e trigonometriche.
$\sin\alpha\,\sin\beta=\frac12\big[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big]$	Prodotto di seni in somma/differenza di coseni.	Attenzione all’ordine dei termini.
$\displaystyle { \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} }$	Formula di prostaferesi: trasforma una somma in un prodotto.	Funziona per la somma di due seni.
$\displaystyle { \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} }$	Differenza di seni in prodotto.	Il segno dipende dall’ordine di $\alpha$ e $\beta$ .
$\displaystyle { \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} }$	Somma di coseni in prodotto di coseni.	Molto usata per ridurre espressioni complesse.
$\displaystyle { \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} }$	Differenza di coseni in prodotto di seni.	Il meno iniziale è essenziale.
Derivazione dalle formule di addizione	Si ottengono combinando le identità per $\sin(\alpha\pm\beta)$ e $\cos(\alpha\pm\beta)$ .	Serve conoscere bene le formule di addizione.
Applicazioni	Semplificazione di espressioni, fattorizzazione trigonometrica, battimenti in acustica.	Si usano quando compaiono somme o prodotti di seni e coseni.

Formule di Werner e prostaferesi

Le formule di Werner, cioè le identità che trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma, servono a riscrivere espressioni trigonometriche in modo più gestibile.

Le formule di prostaferesi, cioè le identità inverse, trasformano una somma o una differenza di funzioni trigonometriche in un prodotto.

Si usano quando un’espressione sembra complicata, ma diventa più semplice dopo una riscrittura algebrica.

L’idea è simile a cambiare forma a un problema senza cambiarne il valore. Si passa da una scrittura a un’altra più comoda per calcolare, semplificare o interpretare un fenomeno fisico.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

Per esempio, con $\alpha=30^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , si ottiene $\sin30^\circ\cos20^\circ=\frac12(\sin50^\circ+\sin10^\circ)$ .

Queste identità nascono dalle formule di addizione, cioè dalle regole che descrivono seno e coseno della somma di due angoli.

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

Con $\alpha=40^\circ$ e $\beta=10^\circ$ , si calcola $\sin50^\circ=\sin40^\circ\cos10^\circ+\cos40^\circ\sin10^\circ$ .

Da queste due formule si ottengono tutte le altre, perciò la derivazione non introduce nuove ipotesi.

Derivazione delle formule di Werner

La derivazione parte da una somma di due formule di addizione. Si sceglie di sommare quelle con gli angoli $\alpha+\beta$ e $\alpha-\beta$ .

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

Sommandole membro a membro, il termine con $\cos\alpha\sin\beta$ si elimina.

\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta

Dividendo per $2$ , si ottiene la prima formula di Werner.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

Per esempio, con $\alpha=60^\circ$ e $\beta=15^\circ$ , il prodotto $\sin60^\circ\cos15^\circ$ diventa una somma di due seni più facili da sommare mentalmente.

\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

In questo caso, sottraendo le due relazioni, il termine con $\sin\alpha\sin\beta$ si elimina.

\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta

\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]

Per esempio, con $\alpha=45^\circ$ e $\beta=15^\circ$ , il prodotto $\sin45^\circ\sin15^\circ$ si riscrive come differenza di due coseni.

Formule di prostaferesi: somma in prodotto

Le formule di prostaferesi, cioè le identità che trasformano una somma in un prodotto, sono utili quando due termini simili si combinano tra loro.

L’idea è la stessa di mettere in evidenza un fattore comune in algebra. Si cerca una forma più compatta e spesso più facile da calcolare.

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=50^\circ$ e $\beta=10^\circ$ , si ottiene $\sin50^\circ+\sin10^\circ=2\sin30^\circ\cos20^\circ$ .

\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=70^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , la differenza diventa un prodotto di un coseno e di un seno.

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=80^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , la somma si riscrive come prodotto di due coseni.

\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=60^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , la differenza di coseni diventa un prodotto con segno meno davanti.

Queste relazioni sono particolarmente comode quando gli angoli si raggruppano in coppie simmetriche.

[IMMAGINE: Schema con due angoli α e β su una circonferenza goniometrica. A destra, frecce che mostrano il passaggio da somma a prodotto per seno e coseno. Etichette: sinα+sinβ, cosα+cosβ, 2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2), 2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).]

Derivazione delle formule di prostaferesi

La derivazione delle formule di prostaferesi parte dalle formule di Werner appena ottenute.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

\cos\alpha\sin\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]

Si sommano queste due espressioni per isolare $\sin(\alpha+\beta)$ e si eliminare il termine opposto.

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

Ora si pone $\displaystyle { \alpha=\frac{x+y}{2} }$ e $\displaystyle { \beta=\frac{x-y}{2} }$ . In questo modo si ottengono i mezzi angoli.

x=\alpha+\beta \qquad y=\alpha-\beta

Con questa sostituzione, la somma di due seni diventa un prodotto.

\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

Per esempio, con $x=50^\circ$ e $y=10^\circ$ , si verifica subito la forma compatta della somma.

Tabella completa delle combinazioni sin/cos

Le quattro combinazioni fondamentali coprono tutti i casi utili. Si distinguono due famiglie: prodotto in somma e somma in prodotto.

Prodotto di seno e coseno → somma di seni.
Prodotto di due seni → differenza di coseni.
Somma di due seni → prodotto.
Somma di due coseni → prodotto.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

\cos\alpha\sin\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]

\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]

\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

Per esempio, se $\alpha=30^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , il prodotto $\cos30^\circ\cos20^\circ$ si riscrive come media di due coseni con angoli somma e differenza.

Questa tabella è la base per riconoscere rapidamente quale identità usare in un esercizio.

Quando si usano e perché sono utili

Si usano soprattutto per semplificare espressioni, risolvere integrali trigonometrici e studiare segnali periodici.

Nell’analisi delle onde, due oscillazioni vicine possono produrre battimenti, cioè variazioni periodiche dell’intensità.

L’ampiezza apparente cresce e diminuisce perché una somma di seni si trasforma in un prodotto con un fattore lento e uno rapido.

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, se due onde hanno frequenze quasi uguali, il termine con la differenza resta lento e genera il battimento percepito.

Nelle espressioni algebriche, la riscrittura può rendere immediata una semplificazione che altrimenti richiederebbe passaggi più lunghi.

La scelta tra Werner e prostaferesi dipende dalla forma di partenza. Se compare un prodotto, si tende verso Werner. Se compare una somma, si tende verso prostaferesi.

Esempio — Semplificazione di un’espressione trigonometrica

Semplificare $\sin75^\circ\cos15^\circ$ .

Si applica Werner con $\alpha=75^\circ$ e $\beta=15^\circ$ .

\sin75^\circ\cos15^\circ=\frac12[\sin90^\circ+\sin60^\circ]

Si sostituiscono i valori noti: $\sin90^\circ=1$ e $\displaystyle { \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2} }$ .

\sin75^\circ\cos15^\circ=\frac12\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)

Il risultato è una forma più semplice della scrittura iniziale. Si ottiene così una verifica rapida e ordinata.

L’uso delle formule di Werner e di prostaferesi è quindi una tecnica di trasformazione, non una nuova teoria indipendente.

Formule e proprietà

Le formule di Werner, cioè le identità che trasformano un prodotto di funzioni goniometriche in una somma, servono a semplificare espressioni e integrali trigonometrici.

\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]

Nella formula, $\alpha$ $e$ $\beta$ sono angoli. La somma e la differenza degli angoli compaiono come argomenti delle funzioni seno.

Se si pone $\alpha=60^\circ$ e $\beta=30^\circ$ , si ottiene $\displaystyle { \sin60^\circ\cos30^\circ=\frac{1}{2}[\sin90^\circ+\sin30^\circ]=\frac{3}{4} }$ .

Esempio — Prodotto di seno e coseno

Verificare la formula con $\alpha=60^\circ$ e $\beta=30^\circ$ .

A sinistra si calcola $\displaystyle { \sin60^\circ\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4} }$ .

\frac{1}{2}\bigl[\sin(90^\circ)+\sin(30^\circ)\bigr]=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}\right]=\frac{3}{4}

I due risultati coincidono. La formula è quindi verificata in questo caso.

\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]

Questa identità trasforma un prodotto di due coseni in una somma di coseni. Risulta utile nella semplificazione di somme periodiche.

Per esempio, con $\alpha=45^\circ$ e $\beta=15^\circ$ , si ha $\displaystyle { \cos45^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}[\cos60^\circ+\cos30^\circ] }$ .

Esempio — Prodotto di due coseni

Si sostituiscono gli angoli nella formula.

Si ottiene $\displaystyle { \cos45^\circ\cos15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} }$ .

\frac{1}{2}\left[\cos60^\circ+\cos30^\circ\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]=\frac{1+\sqrt{3}}{4}

Anche in questo caso, i due membri coincidono.

\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]

Questa forma completa la tabella delle formule di Werner. Si ottiene un prodotto di seni come differenza di coseni.

Con $\alpha=75^\circ$ e $\beta=15^\circ$ , si ricava $\displaystyle { \sin75^\circ\sin15^\circ=\frac{1}{2}[\cos60^\circ-\cos90^\circ] }$ .

Esempio — Prodotto di due seni

Si applica la formula con angoli noti.

A sinistra si ha $\displaystyle { \sin75^\circ\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{8} }$ .

\frac{1}{2}\left[\cos60^\circ-\cos90^\circ\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-0\right]=\frac{1}{4}

Il calcolo mostra il vantaggio della trasformazione in somma.

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Le formule di prostaferesi, cioè le identità che trasformano una somma di funzioni goniometriche in un prodotto, sono l’inverso operativo delle formule di Werner.

Nella formula, i due angoli si sostituiscono con media e semidifferenza. Si ottiene una forma utile quando compare una somma di seni.

Per esempio, con $\alpha=60^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , si ha $\sin60^\circ+\sin20^\circ=2\sin40^\circ\cos20^\circ$ .

Esempio — Somma di due seni in prodotto

Si considera la somma $\sin60^\circ+\sin20^\circ$ .

Il primo membro vale circa $0{,}866+0{,}342=1{,}208$ .

2\sin40^\circ\cos20^\circ\approx 2\cdot 0{,}643\cdot 0{,}940\approx 1{,}208

I valori coincidono, quindi la trasformazione è corretta.

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Questa identità permette di riscrivere la somma di due coseni come prodotto di due coseni. È molto usata nelle semplificazioni algebriche.

Con $\alpha=50^\circ$ e $\beta=10^\circ$ , si ottiene $\cos50^\circ+\cos10^\circ=2\cos30^\circ\cos20^\circ$ .

Esempio — Somma di due coseni in prodotto

Si sostituiscono gli angoli nella formula.

Si ha $\cos50^\circ+\cos10^\circ\approx 0{,}643+0{,}985=1{,}628$ .

2\cos30^\circ\cos20^\circ\approx 2\cdot 0{,}866\cdot 0{,}940\approx 1{,}628

La verifica numerica conferma la formula di prostaferesi.

\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Anche la differenza di due seni si trasforma in un prodotto. Questa variante completa il quadro operativo delle formule inverse.

Per esempio, con $\alpha=70^\circ$ e $\beta=30^\circ$ , si ha $\sin70^\circ-\sin30^\circ=2\cos50^\circ\sin20^\circ$ .

Esempio — Differenza di due seni

Si calcola la differenza $\sin70^\circ-\sin30^\circ$ .

Il valore è circa $0{,}940-0{,}500=0{,}440$ .

2\cos50^\circ\sin20^\circ\approx 2\cdot 0{,}643\cdot 0{,}342\approx 0{,}439

L’accordo numerico è soddisfacente entro gli arrotondamenti.

Le formule di Werner trasformano un prodotto in somma.
Le formule di prostaferesi trasformano una somma in prodotto.
Si usano per semplificare espressioni e per studiare battimenti in acustica.

In acustica, cioè nello studio del suono, la sovrapposizione di due onde di frequenza vicina produce battimenti. La somma si riscrive con una modulazione lenta e una rapida.

Se due onde hanno ampiezza $A$ e frequenze $f_1$ e $f_2$ , si osserva un’onda risultante con inviluppo proporzionale a $\cos\!\left(\pi(f_1-f_2)t\right)$ .

Per esempio, con $f_1=440\,\text{Hz}$ e $f_2=442\,\text{Hz}$ , la frequenza di battimento vale $|f_1-f_2|=2\,\text{Hz}$ .

Le formule inverse aiutano anche a ricavare prodotti da somme note. È utile quando compaiono espressioni trigonometriche non immediatamente fattorizzabili.

Esempi svolti

Esempio 1 — Trasformare un prodotto in somma

Dato il prodotto $\sin 75^\circ\cdot\cos 15^\circ$ , si riscrive il risultato come somma di funzioni trigonometriche.

Si riconosce una situazione tipica delle formule di Werner, cioè delle formule che trasformano un prodotto in una somma.

Si usano gli angoli $\alpha = 75^\circ$ e $\beta = 15^\circ$ .

\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\big[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big]

Si sostituiscono i valori degli angoli e si ottiene $\displaystyle { \sin 75^\circ\cdot\cos 15^\circ = \frac{1}{2}[\sin 90^\circ+\sin 60^\circ] }$ .

\sin 75^\circ\cdot\cos 15^\circ = \frac{1}{2}\left[1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{2+\sqrt{3}}{4}

Il valore esatto è $\displaystyle { \frac{2+\sqrt{3}}{4} }$ .

La quantità iniziale è stata convertita in una somma più semplice da calcolare.

Errore comune: scambiare la formula di Werner con quella di prostaferesi e scrivere una somma al posto di un prodotto.

Esempio 2 — Trasformare una somma in prodotto

Si consideri la somma $\sin 20^\circ+\sin 40^\circ$ e si voglia riscriverla come prodotto.

Questo è un caso di formule di prostaferesi, cioè delle formule che trasformano una somma in un prodotto.

Si identificano gli angoli $\alpha = 20^\circ$ e $\beta = 40^\circ$ .

\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Si sostituisce e si ottiene $\sin 20^\circ+\sin 40^\circ = 2\sin 30^\circ\cos(-10^\circ)$ .

2\sin 30^\circ\cos(-10^\circ) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos 10^\circ = \cos 10^\circ

Il risultato finale è $\cos 10^\circ$ .

La somma iniziale diventa un prodotto con un solo termine trigonometrico.

Errore comune: dimenticare che il coseno è funzione pari e quindi \cos(-10^\circ)=\cos 10^\circ.

Esempio 3 — Semplificare un'espressione con somma e prodotto

Si deve semplificare l'espressione $\sin x\cos y+\cos x\sin y$ .

L'obiettivo è riconoscere una forma nota e trasformarla in una sola funzione trigonometrica.

Si osserva che i due termini coincidono con la formula di addizione per il seno.

\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin(x+y)

Quindi l'espressione si riduce a $\sin(x+y)$ .

Se $x=30^\circ$ e $y=20^\circ$ , allora $\sin 30^\circ\cos 20^\circ+\cos 30^\circ\sin 20^\circ=\sin 50^\circ$ .

Il valore finale dipende solo dalla somma degli angoli.

Errore comune: cercare di applicare subito una formula di Werner senza prima riconoscere una somma di prodotti già ordinata.

Esempio 4 — Applicazione ai battimenti

Si considerino due onde di uguale ampiezza con frequenze vicine e si studi la somma delle due oscillazioni.

Nel modello dei battimenti, cioè le variazioni periodiche di intensità prodotte da frequenze quasi uguali, compare una somma di seni.

Si usa la formula di prostaferesi per riscrivere la somma come prodotto e separare l'inviluppo lento dalla oscillazione rapida.

\sin \omega_1 t+\sin \omega_2 t=2\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)

Se $\omega_1=102\pi$ e $\omega_2=98\pi$ , allora si ottiene $2\sin(100\pi t)\cos(2\pi t)$ .

La parte lenta è $\cos(2\pi t)$ , mentre la parte veloce è $\sin(100\pi t)$ .

Il risultato mostra l'ampiezza modulata, cioè il battimento osservato in acustica.

Errore comune: non distinguere tra frequenza media e differenza di frequenze nella scomposizione finale.

Esempio 5 — Riconoscere quale formula usare

Si vuole semplificare l'espressione $\sin 12^\circ+\sin 48^\circ+2\sin 30^\circ\cos 18^\circ$ .

L'obiettivo è decidere se usare una formula di prostaferesi o una formula di Werner in ogni passaggio.

Si osserva che i primi due termini sono una somma di seni, quindi si applica la prostaferesi.

\sin 12^\circ+\sin 48^\circ=2\sin 30^\circ\cos 18^\circ

L'espressione diventa quindi $2\sin 30^\circ\cos 18^\circ+2\sin 30^\circ\cos 18^\circ$ .

2\sin 30^\circ\cos 18^\circ+2\sin 30^\circ\cos 18^\circ=4\sin 30^\circ\cos 18^\circ=2\cos 18^\circ

Il risultato finale è $2\cos 18^\circ$ .

La scelta corretta della formula riduce subito il numero di termini da trattare.

Errore comune: applicare una formula di Werner a una somma senza prima raggruppare correttamente i termini.

Errori comuni

✗

Le formule di Werner trasformano una somma in un prodotto, per esempio $\sin\alpha+\sin\beta$ .

✓

Le formule di Werner trasformano un prodotto in una somma, per esempio $\sin\alpha\cos\beta$ .

L’errore nasce dal confondere Werner con la prostaferesi. Werner significa prodotto → somma. Prostaferesi significa somma → prodotto.

✗

Le formule di prostaferesi servono a scrivere $\sin\alpha\cos\beta$ come somma di seni e coseni.

✓

Le formule di prostaferesi servono a scrivere somme come $\sin\alpha+\sin\beta$ in un prodotto.

La parola prostaferesi indica la trasformazione opposta rispetto a Werner. Si riconosce facilmente dal tipo di espressione iniziale: somma oppure prodotto.

✗

Non c’è differenza tra formule di Werner e di prostaferesi, perché danno sempre la stessa forma finale.

✓

Le formule di Werner passano dal prodotto alla somma, mentre quelle di prostaferesi passano dalla somma al prodotto.

Le due famiglie sono inverse per obiettivo, non identiche. Conviene guardare l’espressione di partenza prima di scegliere la formula.

✗

Si usano solo nei compiti di teoria, non nei calcoli.

✓

Si usano per semplificare espressioni goniometriche, risolvere equazioni e studiare i battimenti in acustica.

L’uso più comune è algebrico, ma c’è anche un’applicazione fisica importante. Nei battimenti si riscrive una somma di onde come prodotto.

✗

Nella formula $\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$ il segno è corretto.

✓

La formula corretta è $\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ .

L’errore di segno è molto frequente, perché le formule di addizione vanno combinate con attenzione. Si controlla sempre la simmetria degli argomenti e il segno finale.

✗

Per applicare la formula basta avere due termini trigonometrici qualunque.

✓

Serve una struttura precisa: una somma o differenza di seni e coseni, oppure un prodotto tra seno e coseno.

Non tutte le espressioni si trasformano subito con queste formule. Prima si verifica la forma iniziale, poi si sceglie la relazione adatta.

Domande frequenti

Le formule di Werner sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni valore degli angoli, che trasformano un prodotto in una somma.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]

Per esempio, con $\alpha=60^\circ$ e $\beta=30^\circ$ , si ottiene $\sin60^\circ\cos30^\circ=\frac12[\sin90^\circ+\sin30^\circ]$ , quindi il prodotto diventa una somma più semplice da gestire.

Le formule di prostaferesi sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni valore degli angoli, che trasformano una somma in un prodotto.

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=50^\circ$ e $\beta=10^\circ$ , si scrive $\sin50^\circ+\sin10^\circ=2\sin30^\circ\cos20^\circ$ . La somma iniziale diventa un prodotto.

La differenza è la direzione della trasformazione.Le formule di Werner passano da prodotto a somma, mentre le formule di prostaferesi passano da somma a prodotto.

\sin\alpha\cos\beta=\frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, il primo tipo aiuta quando compare un prodotto di seni e coseni. Il secondo tipo aiuta quando compare una somma di seni o coseni.

Si usano per semplificare espressioni goniometriche, cioè espressioni con seni e coseni, e per studiare segnali periodici in fisica.

In algebra trigonometrica sono utili quando si vuole trasformare un prodotto in somma o una somma in prodotto per rendere il calcolo più rapido.

\sin\alpha\cos\beta\to\frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]

Per esempio, nell’analisi dei battimenti acustici si riscrive la somma di due onde vicine in frequenza come prodotto di un’onda veloce e di una lenta modulazione.

Sì, esistono formule di Werner anche per questi casi, e completano la tabella delle trasformazioni prodotto-somma.

\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]

\sin\alpha\sin\beta=\frac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]

Per esempio, con $\alpha=40^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , si ottiene una somma di coseni, quindi un prodotto iniziale viene separato in termini più semplici.

Sì, anche la somma di due coseni si trasforma in prodotto.

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Per esempio, con $\alpha=80^\circ$ e $\beta=20^\circ$ , si ha $\cos80^\circ+\cos20^\circ=2\cos50^\circ\cos30^\circ$ . Questa forma è spesso più comoda da calcolare.

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