Le formule parametriche, cioè la sostituzione t = tan(x/2), trasformano funzioni trigonometriche in espressioni razionali in t. Si usano per semplificare e risolvere equazioni trigonometriche.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Sostituzione parametrica che trasforma le funzioni goniometriche in espressioni razionali. | Si usa spesso per equazioni del tipo ; non è definita per . | |
| Espressione di in funzione del parametro . | Vale con ; utile per eliminare il seno dall’equazione. | |
| Espressione di in funzione del parametro . | Vale con ; permette di sostituire il coseno con una frazione razionale. | |
| Espressione di in funzione del parametro . | Deriva dalle formule precedenti; il denominatore non deve annullarsi. | |
| Forma tipica di equazione trigonometrica risolvibile con la sostituzione. | Dopo la sostituzione si ottiene un’equazione razionale in . | |
| Caso degenere della sostituzione. | Qui non è definito; il valore va controllato separatamente. | |
| Equazione in | Passaggio risolutivo della procedura. | Si risolve la razionale ottenuta e poi si torna da a . |
La sostituzione parametrica, cioè il cambiamento di variabile che trasforma le funzioni goniometriche in funzioni razionali di un nuovo parametro, nasce per semplificare equazioni difficili.
Si introduce il parametro ponendo . In questo modo, seno e coseno si riscrivono con una sola variabile.
L'idea si può pensare come a un ponte. Un problema trigonometrico viene spostato in un problema algebrico più maneggevole.
Da questa scelta si ricavano le relazioni fondamentali. Esse permettono di esprimere tutte le funzioni richieste tramite .
Per esempio, se , allora si ottiene e . Il valore corrisponde all'angolo .
Questa sostituzione è utile quando compaiono insieme seno e coseno. Si riduce così un'equazione trigonometrica a un'equazione in .
Le formule si ottengono partendo dalle identità di angolo metà. Si usa il triangolo associato a , cioè la tangente della metà dell'angolo.
Si considerano le relazioni tra , e . Il passaggio è algebrico e non richiede nuove ipotesi.
Per esempio, se , allora . Si ottiene .
Lo stesso calcolo dà anche . Il risultato coincide con i valori noti.
Il motivo principale è la semplificazione. Un'equazione del tipo diventa un'equazione algebrica in .
Si sostituiscono seno e coseno con le formule precedenti. Poi si elimina il denominatore comune.
A questo punto si raccoglie tutto in un polinomio di secondo grado. Per esempio, con si ottiene una sola equazione in .
Le soluzioni sono e . Da qui si risale agli angoli cercati.
Si risolve l'equazione trigonometrica usando la sostituzione parametrica.
Si ottiene quindi oppure .
Nel primo caso si ha , dunque .
Nel secondo caso si ha , quindi .
Esiste una situazione speciale. La sostituzione non copre tutti gli angoli, perché non è definito quando .
In particolare, per si ha non definita. Questo va controllato a parte.
La sostituzione parametrica non deve quindi essere usata in modo cieco. Si verifica sempre anche il caso escluso.
Per esempio, se un'equazione ammette come soluzione, tale valore va controllato separatamente. La formula parametrica da sola non lo restituisce.
La sostituzione è utile anche per equazioni con frazioni goniometriche. Il vantaggio è che numeratore e denominatore diventano polinomi in .
Per esempio, in un'espressione del tipo si sostituiscono le formule e si semplifica.
Quindi l'espressione iniziale si riduce semplicemente a . Per esempio, se , il valore è direttamente .
[IMMAGINE: Schema con un angolo x diviso in due parti uguali, etichetta t = tan(x/2), e frecce verso le formule sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), tan x = 2t/(1−t²).]
Le formule parametrichesono sostituzioni che trasformano le funzioni goniometriche in espressioni razionali di una sola variabile , cioè un parametro ausiliario.
Si introduce il parametro , cioè . Questa scelta rende più semplici molte equazioni trigonometriche.
Per ogni valore ammesso di , si ottiene un valore di , salvo il caso , in cui la tangente non è definita.
Si consideri .
Si calcola .
Il parametro è quindi finito e permette di sostituire le funzioni goniometriche con frazioni di .
Nelle formule precedenti , cioè , sostituisce l'angolo originale. Si ottengono seno, coseno e tangente come funzioni razionali di .
I simboli , e indicano rispettivamente seno, coseno e tangente dell'angolo .
Si prenda .
Si calcola .
Il valore del seno viene ottenuto senza usare direttamente l'angolo .
L'uso principale delle formule parametriche è la risoluzione di equazioni del tipo , con , e costanti reali.
Dopo la sostituzione, l'equazione diventa algebrica in . Si studiano poi le soluzioni ammissibili e si torna all'angolo iniziale.
Si consideri .
Si sostituiscono le formule parametriche e si ottiene un'equazione razionale in .
Le soluzioni trovate in si riconducono poi ai valori di , verificando eventuali valori esclusi.
Il caso è degenere, cioè la sostituzione non funziona perché non è definito.
In questi casi si controlla separatamente se l'equazione è soddisfatta da o dagli angoli equivalenti modulo .
Si consideri l'equazione .
La soluzione va verificata a parte, perché non esiste in quel punto.
Si osserva che la sostituzione parametrica non deve eliminare soluzioni reali dell'equazione originale.
La forma inversa si ottiene da risolvendo per . Si recupera l'angolo con , tenendo conto della periodicità.
Si ponga .
Si ottiene .
La soluzione va poi adattata all'intervallo richiesto dal problema.
Risolvere l’equazione trigonometrica usando la sostituzione .
Si cerca una trasformazione che porti seno e coseno a espressioni razionali in .
Si usa il fatto che e .
Si moltiplica per per eliminare il denominatore.
Si ottiene , cioè .
Le soluzioni sono oppure .
Dal parametro si ricava , quindi oppure .
La soluzione è x=0 oppure .
Errore comune: dimenticare di eliminare il denominatore prima di raccogliere i termini.
La trasformazione funziona perché rende l’equazione algebrica in , cioè più facile da risolvere.
Risolvere con la sostituzione parametrica trigonometrica.
Si tratta di un’equazione lineare in seno e coseno. Si applica per passare a un’equazione razionale.
Si sostituiscono le formule parametriche.
Si moltiplica per .
Si riordina:.
Si divide per e si risolve.
Il discriminante vale , quindi oppure .
Si torna a con .
Le soluzioni sono e .
Errore comune: sostituire solo il seno e dimenticare il coseno.
Il metodo è utile perché ogni termine diventa una frazione in .
Determinare quando .
Si usa direttamente la formula parametrica per il seno.
Si sostituisce .
Si calcola il numeratore: .
Si calcola il denominatore: .
Il valore ottenuto è \frac{24}{25}.
Errore comune: sbagliare la somma nel denominatore e scrivere al posto di .
Le formule parametriche permettono di passare da a un calcolo razionale in .
Studiare il valore corrispondente a nella sostituzione .
Si osserva che implica .
La tangente di non è definita.
Quindi il parametro non rappresenta il punto .
Questo è il caso degenere della sostituzione parametrica trigonometrica.
Nelle equazioni, il punto va controllato a parte.
Si verifica spesso sostituendolo direttamente nell’equazione iniziale.
Se l’equazione è verificata, si aggiunge alle soluzioni ottenute con .
Errore comune: pensare che la sostituzione copra tutti gli angoli senza eccezioni.
Il controllo separato evita di perdere soluzioni ammissibili.
In questo modo il metodo resta corretto anche nei casi limite.
La soluzione completa richiede sempre attenzione al dominio di .
Si usa al posto di .
La sostituzione corretta è .
Questo errore confonde la sostituzione parametrica con un’altra variabile trigonometrica. Con si ottengono le formule razionali per e .
Si scrive .
La formula corretta è .
Il segno al denominatore è spesso invertito per distrazione. La formula si ricava dalle identità di bisezione e va ricordata con attenzione, perché cambia anche il risultato numerico.
Si applicano le formule parametriche a qualunque equazione goniometrica.
Si usano soprattutto per equazioni del tipo .
La sostituzione rende l’equazione algebrica solo in casi adatti. Se l’equazione contiene termini come o , spesso serve prima una trasformazione preliminare.
Si dimentica il caso , dove non è definito.
Si controlla sempre separatamente il caso .
Per si ha , che non esiste. Questo valore va escluso o verificato a parte, altrimenti si perdono soluzioni.
Si conclude che ogni soluzione in corrisponde automaticamente a una soluzione in senza controlli.
Ogni soluzione in va ricondotta a con e verificata nell’equazione iniziale.
La trasformazione può introdurre passaggi algebrici delicati. È importante tornare sempre alla variabile angolare per controllare eventuali soluzioni estranee.
Si ricava ma poi si usa .
La formula corretta è , quando definita.
Si confondono spesso le espressioni di e . Le tre formule vanno tenute distinte, perché derivano da passaggi diversi e hanno domini diversi.
Sono una sostituzione, cioè un cambio di variabile, che trasforma le funzioni goniometriche in funzioni razionali di .
È il cambio di variabile , cioè si introduce una nuova variabile per riscrivere seno e coseno in forma algebrica.
Si usano soprattutto per risolvere equazioni trigonometriche del tipo , perché la sostituzione rende l’equazione più trattabile.
Si applicano anche quando compaiono più termini con seno e coseno e si vuole eliminare la dipendenza diretta da .
Si ricava con la formula , dove .
Si scrive , con .
Compare perché per si ha , che non è definito.
In quel caso si studia il punto separatamente, senza usare la sostituzione parametriche. Questo è un caso degenere, cioè un caso eccezionale che non segue la regola generale.
