Le formule di duplicazione sono identità trigonometriche che esprimono seno, coseno e tangente di un angolo doppio tramite le funzioni dell’angolo metà. Si ottengono dalle formule di addizione ponendo i due angoli uguali.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Il seno dell’angolo doppio si ottiene dal prodotto tra seno e coseno dell’angolo iniziale. | Vale per ogni angolo ; per esempio, con , si ha . | |
| È la forma fondamentale del coseno dell’angolo doppio. | Si ricava dalle formule di addizione; per esempio, con , si ottiene . | |
| Forma utile quando è noto il coseno dell’angolo. | Deriva da ; per esempio, con , si ha . | |
| Forma utile quando è noto il seno dell’angolo. | Deriva dalla stessa identità fondamentale; per esempio, con , si ha . | |
| Formula della tangente dell’angolo doppio. | Serve quando è definita e ; per esempio, con , si ottiene . | |
| Derivazione dalle formule di addizione | Le formule di duplicazione si ottengono ponendo nelle formule di somma. | Per esempio, da segue . |
| Applicazioni | Si usano per semplificare espressioni e risolvere equazioni trigonometriche. | Per esempio, si riconosce subito come e si può trasformare un’equazione in forma più semplice. |
Le formule di duplicazione, cioè le relazioni che esprimono seno, coseno e tangente di un angolo doppio, servono a riscrivere espressioni trigonometriche in forma più semplice.
Si osserva che il passaggio da a permette di trasformare un problema con un angolo in uno con prodotti o quadrati di funzioni note.
Questo è utile quando si devono semplificare calcoli, confrontare espressioni o risolvere equazioni trigonometriche.
L’idea intuitiva è questa: invece di lavorare direttamente con l’angolo doppio, si scompone il risultato in quantità già conosciute.
Per esempio, se , allora e si può verificare che viene anche da .
Per esempio, con , si ha .
La formula del seno doppio nasce dalla formula di addizione, cioè la regola che calcola il seno della somma di due angoli.
Si parte da , e si sceglie .
Raccogliendo i termini uguali, si ottiene la relazione finale.
Per esempio, con , si ha e anche .
Si nota quindi che la formula non introduce nuove quantità. Trasforma solo una somma di angoli in un prodotto di funzioni note.
Il coseno dell’angolo doppio ha tre forme equivalenti, cioè tre scritture diverse che descrivono la stessa quantità.
La prima forma è simmetrica e mostra il legame con seno e coseno insieme.
Per esempio, con , si ottiene .
La seconda forma usa solo il coseno ed è utile quando il problema contiene soprattutto .
Per esempio, con , si ha .
La terza forma usa solo il seno ed è comoda quando compare già .
Per esempio, con , si ottiene .
Le tre scritture si ricavano una dall’altra usando , cioè l’identità fondamentale della trigonometria.
Per esempio, se , allora .
Per esempio, con , si ha .
La tangente doppia si ottiene dividendo seno doppio e coseno doppio per il coseno doppio dell’angolo.
Per esempio, con , si ha e la formula restituisce .
La formula è valida solo quando il denominatore non si annulla.
Per esempio, se , il denominatore diventa , quindi la formula non si può usare direttamente.
In questi casi si preferisce tornare a seno e coseno, perché il calcolo resta controllabile.
La derivazione si basa sull’idea che un angolo doppio è la somma di due angoli uguali.
Si parte dalle formule di addizione e poi si sostituisce .
Per il coseno si procede nello stesso modo, partendo dalla formula di somma.
Poi si usa l’identità fondamentale per ottenere le altre due forme.
Per esempio, se , allora e si ottiene .
[IMMAGINE: Schema su piano cartesiano con un angolo α nel primo quadrante, il raggio finale, il cerchio goniometrico, le proiezioni di seno e coseno sugli assi, e una freccia che mostra il passaggio da α a 2α con etichette sin(2α), cos(2α), tan(2α)]
Le formule di duplicazione sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni angolo per cui i membri hanno significato.
Si usano per trasformare un angolo doppio in funzioni dell'angolo e per passare da prodotti a somme o da somme a prodotti.
Nella formula per compaiono il seno e il coseno dello stesso angolo .
La relazione è utile quando si deve semplificare un prodotto trigonometrici, perché sostituisce un termine con un’unica funzione dell’angolo doppio.
Si consideri .
Si hanno e .
Il valore ottenuto coincide con il seno di .
La prima forma di confronta direttamente i quadrati di coseno e seno.
Le forme equivalenti si ottengono sostituendo nella formula principale.
Le tre forme sono equivalenti, cioè descrivono lo stesso valore in modi diversi e risultano utili in contesti differenti.
Si scelga .
Si ha e .
Anche le altre due forme danno , quindi le espressioni sono coerenti.
La tangente dell’angolo doppio si ottiene dividendo la formula di addizione per un termine opportuno.
La formula richiede , cioè il denominatore non deve annullarsi.
Si consideri .
Si usa .
Si ottiene così , in accordo con il valore noto.
Le formule di duplicazione si usano per semplificare espressioni, risolvere equazioni trigonometriche e riscrivere prodotti o potenze in forma più gestibile.
Quando compare un angolo doppio, conviene cercare una sostituzione con , o , così da ridurre il problema a funzioni di un solo angolo.
Si consideri .
L’espressione si riconosce come una forma di .
La sostituzione riduce subito la complessità dell’espressione e rende più rapidi i calcoli.
Si calcoli il valore di sapendo che e .
Si riconosce una sostituzione diretta nella formula di duplicazione del seno, cioè .
Il dato richiesto è immediato, perché sono noti entrambi i valori trigonometrici di .
Si esegue il prodotto tra i fattori numerici. Prima si moltiplica per , poi si moltiplica per .
Il valore ottenuto è , quindi il seno dell’angolo doppio risulta positivo e minore di .
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare il fattore 2 nella formula di duplicazione.
Si determini sapendo che .
Si deve scegliere una forma della formula di duplicazione del coseno che usi il dato disponibile, cioè .
Il valore di non serve direttamente. Si sfrutta invece il quadrato del seno già noto.
Si calcola prima il quadrato di , cioè .
Si porta allo stesso denominatore. Si ottiene .
Il valore finale è .
Errore comune: usare una forma di \cos(2\alpha) che richiede un dato non disponibile.
Si verifichi che, per , la formula di duplicazione della tangente fornisce un valore coerente. Si calcoli .
Si usa la formula , cioè il rapporto tra il doppio della tangente e un termine correttivo al denominatore.
La condizione importante è che il denominatore non sia nullo. In questo caso si controlla prima il valore di .
Si semplifica il numeratore. Il valore di è .
Si esegue la divisione tra frazioni. Il risultato equivale a moltiplicare per il reciproco del denominatore.
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare che la formula della tangente doppia ha un denominatore e può non essere definita.
Si semplifichi l’espressione sapendo che e .
Si applicano due formule di duplicazione. Il seno doppio si calcola con , mentre il coseno doppio si può scrivere come .
Si sostituiscono i valori noti in entrambe le espressioni, poi si sommano i risultati ottenuti.
Si sommano i due risultati. Si ottiene , che ha lo stesso denominatore.
Il risultato finale è .
Errore comune: sommare direttamente i valori di seno e coseno senza applicare prima le formule di duplicazione.
Scrivere che le formule di duplicazione sono identità valide solo per i doppi angoli in gradi.
Le formule di duplicazione sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni valore ammesso di .
L’errore nasce dal confondere il nome con un caso numerico. Si applicano a qualunque angolo, purché siano rispettate le condizioni di definizione delle funzioni coinvolte.
Concludere che .
Si usa .
La formula di addizione non si trasforma in una somma semplice. Si sostituisce con e poi si applica la formula corretta di addizione.
Pensare che abbia una sola forma, per esempio solo .
ha tre forme equivalenti: , , .
L’errore limita le possibilità di calcolo. Le tre scritture sono utili in contesti diversi, soprattutto quando si conosce una sola delle due funzioni quadrate.
Applicare senza controllare il denominatore.
Si verifica che , cioè .
La formula della tangente doppia non è definita quando il denominatore è nullo. Prima di usarla, si controlla sempre la condizione di esistenza.
Usare le formule di duplicazione solo quando compare esplicitamente nell’esercizio.
Si usano anche per semplificare espressioni, riscrivere prodotti e risolvere equazioni trigonometriche.
Le formule non servono solo a riconoscere un angolo doppio. Sono strumenti di trasformazione algebrica e trigonometrica, utili in molti passaggi di calcolo.
Sostituire con o .
Si usano solo le forme corrette: , , .
L’errore nasce dal dimenticare i quadrati. Le formule corrette derivano dall’identità fondamentale , quindi i termini devono essere al quadrato.
Le formule di duplicazione sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze sempre vere, che esprimono le funzioni di angolo doppio in funzione dell’angolo semplice.
Per esempio, se , allora .
Si ricava dalla formula di addizione del seno, sostituendo .
Ponendo , si ottiene .
Per esempio, con , si ha .
La formula di ha tre forme equivalenti.
Per esempio, se , allora .
Si usano quando compare un angolo doppio e si vuole riscriverlo con seno e coseno dell’angolo semplice.
Sono utili per semplificare espressioni, trasformare prodotti in somme e risolvere equazioni trigonometriche.
Per esempio, se compare in una formula, si può sostituire e lavorare sui fattori.
Per esempio, con , si ottiene .
La formula della tangente dell’angolo doppio è espressa in funzione di .
Per esempio, se , allora .
Perché si possono usare le identità fondamentali per sostituire uno dei due quadrati con l’altro.
Da si ricavano subito le altre due forme.
Per esempio, sostituendo , si ottiene .
