Le formule di bisezione permettono di esprimere seno, coseno e tangente di un angolo metà a partire dal coseno o dal seno dell'angolo doppio. Si ricavano dalle formule di duplicazione e richiedono la scelta corretta del segno in base al quadrante.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| Permette di calcolare il seno della metà di un angolo. | Il segno dipende dal quadrante di . | |
| Permette di calcolare il coseno della metà di un angolo. | Il segno dipende dal quadrante di . | |
| Permette di scrivere la tangente della metà angolo in due forme equivalenti. | Si usa quando una delle due frazioni è definita. | |
| Scelta del segno | Si stabilisce il segno con il quadrante di . | I segni di seno, coseno e tangente seguono il cerchio goniometrico. |
| Derivazione dalle formule di duplicazione | Le formule di bisezione si ottengono invertendo e . | Serve conoscere le identità fondamentali di duplicazione. |
| Esempio: calcolo di | Si usa e . | Si sceglie il segno positivo perché è nel primo quadrante. |
Le formule di bisezione sono identità trigonometriche, cioè uguaglianze vere per ogni angolo per cui i termini hanno senso.
Servono per scrivere seno, coseno e tangente di un mezzo angolo a partire dai valori dell'angolo intero.
Si osserva che questo è utile quando si conosce b1 e si vuole trovare b1/2, oppure quando si deve semplificare un'espressione con angoli dimezzati.
L'idea nasce dalle formule di duplicazione, cioè dalle relazioni che collegano un angolo con il suo doppio.
Per esempio, se , allora . Questa relazione permette di risalire a valori esatti notevoli.
Le formule di bisezione si ricavano proprio invertendo queste formule.
In pratica, si parte da una formula nota per o e si isola il valore di oppure .
Per esempio, se e si pone , si ottiene una relazione per .
[IMMAGINE: Schema con un angolo \u03b1 diviso in due parti uguali. Disegnare il semicerchio goniometrico con il punto associato a \u03b1/2, l'angolo intero \u03b1, e frecce che mostrano il passaggio dalle formule di duplicazione alle formule di bisezione.]
La derivazione si basa su un'idea semplice: si parte da un'identità con angolo doppio e si risolve rispetto a una funzione del mezzo angolo.
Si usa la formula perché contiene direttamente .
Si sostituisce .
Ora si isola il quadrato del seno.
Si divide per 2 e si prende la radice quadrata.
Per esempio, se , allora .
Lo stesso procedimento si ottiene partendo da .
Per esempio, se , allora .
Il segno non si sceglie a caso. Dipende dal quadrante di .
Le radici quadrate danno sempre un valore non negativo, ma seno e coseno possono essere positivi o negativi.
Si usa quindi il segno coerente con la posizione geometrica dell'angolo.
Per esempio, se , allora , che sta nel II quadrante. Il seno è positivo e il coseno è negativo.
Questa scelta è indispensabile per ottenere il valore corretto.
Per esempio, da si ottiene , non .
La tangente di mezzo angolo è utile quando si vogliono semplificare espressioni razionali in seno e coseno.
Si può ricavare combinando le formule precedenti con .
Per esempio, se e , allora .
Un'altra forma equivalente è spesso più comoda.
Le due espressioni sono equivalenti dove entrambe sono definite.
Per esempio, se e , allora anche .
Questa formula è molto usata nelle semplificazioni algebraiche.
Si usano quando è noto l'angolo intero e si vuole calcolare il mezzo angolo, oppure quando compaiono espressioni con radicali e rapporti trigonometrici.
Sono utili anche per trovare valori esatti di angoli notevoli non immediati.
Per esempio, è la metà di , quindi si può partire da .
Si vuole trovare usando una formula di bisezione.
Si pone , così .
Si sostituisce .
Poiché è nel I quadrante, il segno è positivo.
Si ottiene quindi il valore esatto cercato.
In modo analogo, si può calcolare o una tangente di mezzo angolo.
[IMMAGINE: Rappresentazione del cerchio goniometrico con gli angoli 30°, 15° e 150°. Evidenziare i quadranti, i segni di seno e coseno, e le formule sin(\u03b1/2), cos(\u03b1/2), tan(\u03b1/2) a lato con frecce verso il punto corrispondente.]
In sintesi, le formule di bisezione traducono un angolo intero in un mezzo angolo e permettono di ottenere valori esatti e semplificazioni algebriche.
Le formule di bisezione, cioè le relazioni che esprimono seno, coseno e tangente di un angolo dimezzato, si ottengono dalle formule di duplicazione.
Si usa l'angolo per ricavare valori esatti di angoli noti e per trasformare espressioni trigonometriche in forme più gestibili.
La formula di dipende dal segno del quadrante di . Il valore assoluto nasce dal quadrato di seno.
Si calcola usando .
Poiché e è nel primo quadrante, si prende il segno positivo.
La formula di si ricava dalla stessa identità di duplicazione. Anche qui il segno dipende dal quadrante di .
Nel primo e nel quarto quadrante il coseno è positivo. Negli altri quadranti il coseno è negativo.
Si considera con .
Poiché e cade nel primo quadrante, si sceglie il segno positivo.
La tangente dell'angolo metà si scrive in due forme equivalenti. Le due scritture sono utili quando uno dei denominatori è nullo o scomodo.
Si osserva che la formula è pratica nei calcoli con angoli notevoli. Per esempio, con si ottiene .
Si usa la forma con .
Si sostituiscono i valori noti e .
La scelta del segno è fondamentale. Il seno è positivo nei quadranti primo e secondo, mentre il coseno è positivo nei quadranti primo e quarto.
Per il dimezzamento, il quadrante di si deduce prima dal valore dell'angolo e poi si applica il segno corretto alla radice.
Queste forme quadratiche sono utili quando si vuole passare dalla relazione con la radice alla relazione con il quadrato. Per esempio, da si ricava .
Le formule di bisezione si usano soprattutto per ottenere valori esatti, semplificare espressioni trigonometriche e risolvere identità con angoli metà.
Quando compare un angolo come , o , le formule di bisezione sono spesso la scelta più diretta.
Si considera e quindi .
Il valore di è nel secondo quadrante. Il coseno è quindi negativo.
Calcolare usando una formula di bisezione.
Si osserva che è metà di . Si usa quindi la formula di metà angolo per il seno.
Si parte da . Il valore è noto e si sostituisce nella formula.
Con si ottiene .
Il risultato numerico è .
Errore comune: sostituire il segno meno senza controllare il quadrante.
Calcolare con una formula di bisezione.
Si nota che è metà di . La formula del coseno di metà angolo è quindi appropriata.
Serve il valore di . Si ricorda che .
Con si ottiene .
Poiché è nel primo quadrante, il coseno è positivo.
Il valore finale è .
Errore comune: dimenticare di scegliere il segno in base al quadrante.
Determinare una forma utile per partendo dalle identità di bisezione.
Si considerano le due espressioni note per e . Il rapporto tra esse fornisce la tangente.
Sostituendo le formule di bisezione e semplificando, si ottiene una delle forme razionali.
Per esempio, con si ha .
Il risultato coincide con il valore noto di .
Errore comune: usare una sola delle due forme senza controllare quando il denominatore si annulla.
Stabilire il segno di quando .
Si calcola prima l'angolo dimezzato. Si ottiene .
L'angolo si trova nel secondo quadrante, dove il seno è positivo.
Poiché il seno è positivo nel secondo quadrante, si sceglie il segno .
Il valore finale è .
Errore comune: decidere il segno guardando l'angolo \alpha invece di \alpha/2.
Scrivere senza segno.
Usare .
Il segno dipende dal quadrante di . Si sceglie osservando il segno del seno in quel quadrante, non il valore della radice.
Pensare che le formule di bisezione servano solo per dimezzare un angolo in modo geometrico.
Le formule di bisezione trasformano funzioni di in funzioni di .
Si usano per calcolare valori trigonometrici di metà angolo. Sono utili anche per semplificare espressioni e risolvere equazioni trigonometriche.
Ricavare partendo direttamente da una formula già pronta, senza mostrare il legame con le formule di duplicazione.
Si parte da e si isola il seno.
La derivazione corretta nasce dall’inversione delle formule di duplicazione. In questo modo si capisce da dove arriva il segno e perché compare la radice.
Scrivere .
Usare .
La formula con appartiene al seno, non al coseno. Anche qui il segno non è fisso e dipende dal quadrante di .
Applicare \displaystyle { \tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha} } in ogni situazione senza controllare il denominatore.
Usare anche e verificare quando una delle due forme è più comoda.
Le due scritture sono equivalenti, ma non sempre sono entrambe utilizzabili. Se un denominatore è nullo o scomodo, si sceglie l’altra forma.
Calcolare usando direttamente la formula di bisezione senza partire da un angolo noto.
Si parte da un angolo noto, per esempio , perché .
Le formule di bisezione servono proprio a passare da un angolo noto a metà del suo valore. Nel calcolo di si usa spesso come dato di partenza.
Le formule di bisezione sono identità goniometriche, cioè uguaglianze vere per ogni angolo, che esprimono seno, coseno e tangente di metà angolo.
Si ricava partendo dalla formula di duplicazione del coseno, cioè dalla relazione che lega \alpha a 2\cdot\frac{\alpha}{2}.
Si isola il seno di metà angolo e si ottiene la formula con il segno corretto in base al quadrante di \frac{\alpha}{2}.
Si ricava invertendo la formula di duplicazione del coseno, cioè la stessa identità usata al contrario.
Si isola il coseno di metà angolo e poi si sceglie il segno in base al quadrante di \frac{\alpha}{2}.
Si usano quando serve calcolare il seno, il coseno o la tangente di metà di un angolo noto, oppure quando si deve semplificare un’espressione trigonometrica.
Sono utili anche negli esercizi in cui si conosce \cos\alpha e si vuole ottenere \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\), oppure il contrario.
Il segno si sceglie in base al quadrante in cui si trova \frac{\alpha}{2}.
Se \frac{\alpha}{2} sta nel primo o nel quarto quadrante, il seno è positivo nel primo e il coseno è positivo nel primo e nel quarto.
Se \frac{\alpha}{2} sta nel secondo o nel terzo quadrante, il segno cambia secondo il segno della funzione considerata.
Il segno non si decide dalla radice, ma dal quadrante.
Si calcola usando \alpha=30^\circ e la formula di bisezione del seno.
Sono utili perché trasformano angoli difficili in espressioni con angoli già noti e permettono di passare da un angolo grande alla sua metà.
Questo riduce molti esercizi di trigonometria a calcoli con valori notevoli e controlli di segno.
